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湛江市2012年普通高考测试题(二)数学(理科)

湛江市 2012 年普通高考测试题(二) 数学(理科)
本试卷共 4 页,共 21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1. 答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡 上.用 2B 铅笔将答题卡试卷类型(A)填涂在答题卡上.在答题卡右上角的“试室号”和“座 位号”栏填写试室号、座位号,将相应的试室号、座位号信息点涂黑. 2. 选择题每小题选出答案后, 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑; 用 如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,不能答在试卷上. 3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域 内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改 液.不按以上要求作答的答案无效. 4. 考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 参考公式:

1 ? S ? h ,其中 S 是底面面积, h 是高. 3 柱体的体积公式: V ? S ? h ,其中 S 是底面面积, h 是高. 圆锥的侧面积公式: S ? ? ? r ? l ,其中 r 是圆锥的底面半径, l 是母线长.
锥体的体积公式: V ? 如果事件 A,B 互斥,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B). 如果事件 A,B 相互独立,那么 P( AB) ? P( A) P( B) 参考数据:

P K2 ? k
k

?

?

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.OlO

0.005

0.001

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.84I

5.024

6.635

7.879

10.828

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 A={1,2,3,4},集合 B = {2,4},则 A ? B = A.{2,4} B. {1,3} C. {1,2,3,4} D.0

? 1? 2. 复数 ? i ? ? 等于 ? i?
A.8 B.-8 C.8i 3. 通过随机询问 110 名大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表: 男 爱好 不爱好 总计 40 20 60 女 20 30 50 总计 60 50 110 D.-8i

3

由上表算得 k ? 7.8 ,因此得到的正确结论是 A. 在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”
1

B. C. D. 4. A.

在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关” 有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” 有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” —个几何体的三视图及其尺寸如下,则该几何体的表面积为 12? B. 15? C. 24? D. 36?

5. “ x ? 1 ? 2 ”是 x?x ? 3? ? 0 ”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 6. 设 F 是双曲线 的最小值为 A. 5 7. 若函数 是 A. f ?x ? ? 8x ? 2 B. f ?x? ? ?x ? 1?
2

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点,A(1,4),P 是双曲线右支上的动点,则|PF| +|PA| 4 12

B. 5 ? 4 3

C. 7

D. 9

的零点与 g ?x? ? 4x ? 2x ? 2 的零点之差的绝对值不超过 0.25,则 f ?x ? 可以

C. f ?x ? ? e x ? 1

D. f ?x ? ? ln? x ?

? ?

1? ? 2?

8. 对一个定义在 R 上的函数 f ?x ? 有以下四种说法: ① ?x ? R, f ?1 ? x ? ? f ?1 ? x ? ; ③对任意 x1 ? x2 ? 0 满足 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ; 则以上说法中能同时成立的最多有 A. 1 个 B. 2 个 ②在区间(-∞,0)上单调递减; ④是奇函数.

C. 3 个

D. 4 个

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.(一)必做题(9 ?13 题) 9. 已知向量 m=(1,3),n=( x ,1),若 m 丄 n,则 x =________ 10. ? x3 ?

? ?

1? ? 的展开式中常数项是_______.(用数字作答) x?

12

11.曲线 y ? ? x3 ? 3x 2 在点(1,2)处的切线方程为_______. 12. 给出下列六种图象变换方法: ①图象上所有点的横坐标缩短到原来的

1 ,纵坐标不变; 2

②图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变; ③图象向右平移

? ? 个单位;④图象向左平移 个单位; 3 3
2

⑤图象向右平移

2? 2? 个单位;⑥图象向左平移 个单位.请用 3 3

上述变换中的两种变换,将函数 y ? sin x 的图象变换到函数

?x ?? y ? sin ? ? ? 的图象, 那么这两种变换的序号依次是_______ .. ?2 3?
(填上一种你认为正确的答案即可).

?x ? y ? 3 ? 0 ? 13. 运行如图所示框图,坐标满足不等式组 ? x ? y ? 2 ? 0 的点 ?x ? 3 ?
共有_______个. (二)选做题(14?15 题,考生只能从中选做一题) 14. (几何证明选讲选做题)如图,Rt?ABC 中, ?C ? 90?, ?A ? 30? , 圆 O 经过 B、C 且与 AB、AC 分别相交于 D、E.若 AE=EC= 2 3 ,则圆 O 的半径 r=________. 15. (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系 xOy 中, 直线 l 的参 数方程为. ?

?x ? t ? 3 ? x ? 2 cos? 〔参数 t ? R ), C 的参数方程为 ? 圆 (参数 ? ? [0,2? ) ) , ?y ? 3 ? t ? y ? 2 sin ? ? 2

则圆心到直线 l 的距离为______ 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)在Δ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a , b , c ,面积

S?

3 ab cosC 2 A A ?? ? cos ? cos? ? B ? 的最大值,及取得最大值时角 A 的值. 2 2 ?3 ?

(1) 求角 C 的大小; (2) 求 H ? 2 sin

3

17 本小题满分 12 分)设数列{an}满足:. a1 ? (1) 求数列 ?an ? 的通项公式;

1 1 1 , ? ? 1, n ? N * 2 1 ? an ?1 1 ? an

(2)若[ x ]表示不超过实数 x 的最大整数, 如[3.2]=3, -1. 3] = -2 等, [ 已知函数 f ?x ? ? [x] , 数列 ?bn ?的通项为 bn ? f ? ? ? 2 1 ? a ? ,试求 ?bn ?的前 2n 项和 S 2 n ? n ? ?

?1

1

?

18.(本小题满分 14 分)某市为了解今年高中毕业生的身体素质状况, 从本市某校高中毕业班 中抽取一个班进行实心球测试,成绩在 8 米及以上的为合格.把所得数据进行整理后,分成 6 组画出频率分布直方图的一部分(如图) ,已知第一小组为[5,6),从左到右前 5 个小组的 频率分别为 0.06,0.10,0.14,0.28,0.30.第 6 小组的 频数是 6. (1) 求这次实心球测试成绩合格的人数; (2) 用此次测试结果估计全市毕业生的情况.若从今年 的高中毕业生中随机抽取两名, X 表示两人中成绩不 记 . 合格的人数,求 X 的分布列及数学期望; .. (3) 经过多次测试后, 甲成绩在 8?10 米之间, 乙成绩 在 9.5?10.5 米之间,现甲、乙各投一次,求甲投得比乙远的概率.

4

19. (本小题满分 14 分)如图, 五面体 EF-ABCD 中, ABCD 是以点 H 为中心的正方形, EF//AB, EH 丄平面 ABCD,AB=2,EF=EH=1. (1) 证明:平面 ADF 丄平面 ABCD; (2) 求五面体 EF—ABCD 的体积; (3) 设 N 为 EC 的中点,若在平面 ABCD 内存在一点 M,使 MN 丄平 面 BCE,求 MN 的长.

20. (本小题满分 14 分) 已知抛物线 y 2 ? mx(m ? 0, m 为常数) 的焦点是 F(1, P?x0 , y0 ? 0), 是抛物线上的动点,定点 A(2,0). (1) 若 x0 ? 2 ,设线段 AP 的垂直平分线与 X 轴交于 Q?x1,0? ,求 x1 的取值范围; (2) 是否存在垂直于 x 轴的定直线 l ,使以 AP 为直径的圆截 l 得到的弦长为定值?若存在, 求其方程,若不存在,说明理由.

21. (本小题满分 14 分)设 x ? 1 是函数 f ? x ? ? 的底).

x ? b ? ax e 的一个极值点( a ? 0, e 为自然对数 x ?1

(1) 求 a 与 b 的关系式(用 a 表示 b ),并求 f ?x ? 的单调区间; (2) 若 f ?x ? 在闭区间 [m, m ? 1] 上的最小值为 0, 最大值为 值.

1 ?a e ,且 m ? ?1 试求 m 与 a 的 2

5

参考答案
一、选择题:本大题共 8 小题.每小题 5 分.共 40 分. 1.A 2.D 3.C 4.C 5.B 6.D 7.A 8.B 二、填空题:本大题共 7 小题.考生作答 6 小题。每小题 5 分。满分 30 分. 9.-3 13.2 10.-220 14. 7 11. y ? 3x ? 1 15. 2 2 12.④②或②⑥

三、解答题:本大题共 6 小题。共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.解:(1)由 S ?

1 1 3 ab sin C 及题设条件,得 absin C ? abcosC ??????1 分 2 2 2

即 sin C ? 3 cosC, 又cosC ? 0 ?????????2 分 ?

? tan C ? 3 ,? 0 ? C ? ? ,? C ?
(2)由(1)得 B ?

?
3

???????????4 分

2? ? A ?????????5 分 3

H ? 2 sin

A 2

cos

A

? ? 2? ? cos( ? B) ? sin A ? cos[ ? ( ? A)] ? sin A ? cos A ?7 分 2 3 3 3

? 2 sin( A ?

?
4

) ????????9 分

?0 ? A ?
∴当 A ?

2? ? ? 11 ,? ? A ? ? ? 3 4 4 12
?

?
4

?
2

,即 A ?

?
4

时,H 取得最大值 2 ????????12 分

17.解:(1)由

1 1 ? ? 1, 1 ? an ?1 1 ? an

知{

1 1 } 是首项为 ? 2 公差为 1 的等差数列,?????????????2 分 1 ? an 1 ? a1

?

1 ? 2 ? (n ? 1) ? 1 ? n ? 1 ???????????4 分 1 ? an

n ???????????5 分 n ?1 n ?1 ) (2) bn ? f ( 2 2 3 4 5 2n ? 2 2n ? 1 2n 2n ? 1 S2n ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( )? f( )? f( )? f( ) 2 2 2 2 2 2 2 2
即 an ?
6

? 1 ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? (n ? 1) ? (n ? 1) ? n ? n ?????????????8 分 ? 2 ? (1 ? 2 ? ? ? n) ? n2 ? n ?????????????11 分
即 {bn } 的前 2n,项和 S 2n ? n 2 ? n. ?????????????12 分 18.解:(1)第 6 小组的频率为 1 ? (0.06 ? 0.10 ? 0.14 ? 0.28 ? 0.30) ? 0.12 ∴此次测试总人数为

6 ? 50 (人).????????????????????2 分 0.12

∴第 4、5、6 组成绩均合格,人数为 (0.28 ? 0.30 ? 0.12) ? 50 ? 35 (人).?????4 分 (2) X ? 0,1,2 此次测试中成绩不合格的概率为

15 3 3 ? ,? X ~ B(2, ) ??????6 分 50 10 10

3 21 7 49 1 7 P( X ? 0) ? ( )2 ? , P( X ? 1) ? C 2 ( )( ) ? ? 10 100 10 10 50
3 9 P( X ? 2) ? ( )2 ? , ????????????????????8 分 10 100
所求分布列为

3 3 ? ??????????l0 分 10 5 (3)设甲、乙各投掷一次的成绩分别为 x、 y 米,则基本事件满足的区域 EX ? 2 ?
为?

?8 ? x ? 10 ?????????11 分 ?9.5 ? y ? 10.5

事件“甲投得比乙远的概率”满足的区域为 x ? y 如图所示.??12 分

1 1 1 ? ? 2 2 2 ? 1 ????????14 分 ∴由几何概型 P( A) ? 1? 2 16 1 19.解:(1)由题得 EF // AB ,且 EF ? AB 2
取 AD 的中点 G ,连结 GH, GF ??????1 分 则 GH // AB , GH ?

1 AE ??????2 分 2

? EF // GH , EF ? GH ,即 EFGH 为平行四边形
? FG // EH ????????3 分
7

又 EH ? 平面 ABCD ? FG ? 平面 ABCD ,且 FG ? 平面 ADF ∴平面 ADF ? 平面 ABCD ??????4 分 (2)在面 ABCD 内过 H 作 RT // AD 如图,则面 RTE // 面 ADF, ADF ? RTE 为三棱柱,???6 分 由(1)及 HG ? AD 得 GH 为该柱体的高

VABCD? EF ? VADF ? RTE ? VE ? BCTR ???????8 分
1 1 5 ? ( ? 2 ? 1) ? 1 ? ? (2 ? 1) ? 1 ? ????9 分 2 3 3
(3)以 G 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系则

1 3 1 B(1,2,0),C (?1,2,0), E (0,1,1), N (? , , ) 2 2 2
设 M ( x, y,0) ?????11 分

1 3 1 EB ? (1,1,?1), EC ? (?1,1,?1), NM ? ( x ? , y ? ,? ) 2 2 2
?????????12 分

1 3 1 ? ?x ? 2 ? y ? 2 ? 2 ? 0 ? 若 MN ? 面 BCF ,则 ? ??????????13 分 ?? x ? 1 ? y ? 3 ? 1 ? 0 ? 2 2 2 ?
得 x ? ? , y ?1

1 2

1 1 2 ??????????14 分 MN ?| MN |? 0 2 ? (? )2 ? (? ) 2 ? 2 2 2
20.解:(1)由焦点为 F (1,0) ,得 m ? 4 ,即抛物线方程是 y ? 4 x ????????1 分
2

2 则 y0 ? 4x0 ,且 AP 的斜率 k ?

y0 ???????????2 分 x0 ? 2

所以线段 AP 的垂直平分线的方程为 y ?

y0 x ?2? x0 ? 2 ? ? ? ?x ? ? ?????????3 分 ?? 0 ? 2 y0 ? 2 ? ?

2 y0 x ?2 x ?2 4 令 y ? 0 ,得 x1 ? ??????????4 分 ? 0 ?4? ? 0 2( x0 ? 2) 2 x0 ? 2 2

? x 0 ? 2,? x 0 ? 2 ? 0, x1 ? 4 ? 2
(当且仅当 x0 ? 2 ? 2 2 时取等号),

4 x0 ? 2

?

x0 ? 2 2

? 4 ? 2 2 ???????5 分

8

即 x1 的取值范围是 [4 ? 2 2 ,??) ???????????7 分 (2)假设存在所求直线为 l : x ? n ??????????????8 分 AP 的中点 M(圆心)到 l 的距离为 d ?| 1 ? 半径为 r ?

x0 ? n | ???????????9 分 2

1 1 2 2 ( x0 ? 2) 2 ? y0 ? x0 ? 4 ??????????10 分 2 2

2 弦长 d0 ? 4(r 2 ? d 2 ) ? 4x0 (n ? 1) ? 8n ? 4n2 ?????????11 分 2 若 d0 为定值,则 n ? 1 ? 0, n ? 1 ?????????13 分

检验 d ? r 即圆 M 恒与直线 x ? 1 相交,且截得弦长恒为 2.???????14 分

[ax ? (ab ? a) x ? ab ? b ? 1] ? ax 21.解:(1) f ? ( x) ? ? e ???????????2 分 2
2

( x ? 1)

由已知有: f (1) ? 0,? a ? (ab ? a) ? ab ? b ? 1 ? 0,? b ?

?

1 ? 2a ????????3 分 2a ? 1

从而 f ?( x ) ? ?

a ( x ? 1)( x ?

( x ? 1) 2

2a ? 3 ) 2a ? 1 e ? ax ????????4 分

2a ? 3 .? a ? 0 ? x2 ? ?1 ??????????5 分 令 f ? ( x) ? 0 得: x1 ? 1, x2 ? ? 2a ? 1
当 x 变化时, f ? ( x)、f ( x) 的变化情况如下表:

从上表可知: f (x) 在 ( ?? ,? 在 (?

2a ? 3 ,?1), (?1,1) 上是增函数.??????7 分 2a ? 1 (2)? m ? ?1,由(1)知:

2a ? 3 ), (1,?? ) 上是减函数; 2a ? 1

①当 ? 1 ? m ? 0 时, 0 ? m ? 1 ? 1, f ( x) 在闭区间 [m, m ? 1] 上是增函数.

1 ?a e 2 m ? 1 ? b ? a ( m ?1) 1 ? a m ? b ?am ? e ? 0 ,且 e ? e m ?1 m?2 2 2 ? e am 解得 b ? ? m, m?2

? f (m) ? 0 ,且 f (m ? 1) ?

9

2 ? 1, e am ? 1 m?2 故此时的 a, m 不存在???????????????????9 分 1 ?a ②当 0 ? m ? 1时, m ? 1? [1,2) ,则最大值为 f (1) ? e ? b ? 0 2 1 ? 2a 1 将 b ? 0 代入 b ? ,得 a ? 2 2a ? 1
又 又 f (m ? 1) ? 0, f ( x) 的最小值为 f (m) ? 0,? m ? ?b ? 0. ???????11 分 ③当 m ? 1 时, f (x) 在闭区间 [m, m ? 1] 上是减函数,

2 x ?1? x ? b ? ax 2a ? 1 e? ax ? 0 其最小值不可能为 0 又 x ? 1 时, f ( x) ? e ? x ?1 x ?1 ∴此时的 a, m 也不存在.????????13 分 1 综上所述 m ? 0, a ? ????????????????14 分 2

注:如上各题若有其它解法.请评卷老师酌情给分.

10


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