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广东省广雅中学、佛山一中等2014届高三2月联考数学(文)试题(扫描版)


2014 届高三下学期三校联考参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题的 4 个选项中,只有一项是符合题目要 求的.
题次 答案 1 B 2 D 3 D 4 D 5 B 6 C 7
[来源:www.shulihua.net

C

8 B

9 A

10 B

二、填空题:本大题共 5 小题, 考生作答4小题,每小题 5 分,共 20 分. 11. ( ,1) ; 12.

1 2

?
6

; 13. ? 2 3 ? a ? 4 ;

14. 1;

15. 1.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 解:(1)由已知可得 cos ? ?

3 4 , sin ? ? . 5 5 6 6

???2 分 ???3 分

? ? ? ? cos(? ? ) ? cos ? cos ? sin ? sin
6

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3 3 4 1 3 3?4 . ? ? ? ? ? 5 2 5 2 10
(2) f ?? ? ? OP ? OQ ? (

???5 分 ???6 分 ???7 分 ???8 分 ???9 分 ???10 分

3 1 , ) ? (cos ? , sin ? ) 2 2

?

3 1 cos ? ? sin ? 2 2

? ? cos ? ? cos sin ? 3 3 ? ? sin(? ? )
? sin
3

? ? ? [0, ? ) ,? ? ? ??

?

? 4? ?[ , ) , 3 3 3

3 ? ? sin(? ? ) ? 1 . 2 3 3 ,1] . 2

???11 分 ???12 分

故 f ?? ? 的值域是 (? 17. (本小题满分 12 分)

解:(1)设三个“非低碳小区”为 A, B, C ,两个“低碳小区”为 m, n,

???1 分

用 ( x, y ) 表示选定的两个小区, x, y ? ? A, B, C , m, n? ,则从 5 个小区中任选两个小区,所有可能的结果有 10 个,它们是 ( A, B ) , ( A, C ) , ( A, m) , ( A, n) , ( B, C ) , ( B, m) , ( B, n) ,

(C , m) , (C , n) , (m, n) .
用 D 表示: “选出的两个小区恰有一 个为非低碳小区”这一事件,

???3 分 ???4 分

则 D 中的结果有 6 个,它们是: ( A, m) , ( A, n) , ( B, m) , ( B, n) ,

(C , m) , (C , n) .
故所求概率为 P ( D ) ?

???6 分

6 3 ? . 10 5

???7 分 ???9 分 ???11 分 ???12 分
[来源:www.shulihua.net

(2)由图 1 可知月碳排放量不超过 300 千克的成为“低碳族”. 由图 2 可知,三个月后的低碳族的比例为 0.07 ? 0.23 ? 0.46 ? 0.76 ? 0.75 , 所以三个月后小区 A 达到了“低碳小区”标准. 18. (本小题满分 14 分) (1)连接 AC,BD,设 AC ? BD ? O ,连接 EO

? 底面 ABCD 为菱形 ? O为BD中点
又 N 为线段 PB 的中点 ? NO // PD, NO ? 又 EC // PD, 且PD ? 2 EC

???1 分

1 PD 2

???2 分

? EC // NO, EC ? NO ? 四边形 NOCE 为平行四边形 ? NE // OC
又 NE ? 平面ABCD , OC ? 平面ABCD ???3 分 ???4 分

? NE // 平面ABCD
(2) ? 底面 ABCD 为菱形且 ?DCB ? 60?

???6 分

? ?BCD 为正三角形 , 取 CD 中点 F,连接 BF ? BF ? CD , ? PD ? 平面ABCD
? PD ? BF
又 PD ? CD ? D ???7 分

BF ? 平面ABCD
???8 分

? BF ? 平面PDCE
DC ? 平面ABCD ? PD ? DC
( PD ? CE ) ? CD (2 ? 1) ? 2 ? ?3 2 2

???9 分 ???10 分 ???11 分

? PD ? 平面ABCD

? 四边形 PDCE 的面积 S1 ?
而 BF ?

3 3 BC ? ?2 ? 3 2 2

1 1 ? VB ?CDFE ? S1 ? BF ? ? 3 ? 3 ? 3 3 3
而 S ?ABD ?

???12 分

1 1 3 AD ? AB ? sin 60? ? ? 2 ? 2 ? ? 3 2 2 2
???13 分

1 1 2 3 ? VP ? ABD ? S ?ABD ? PD ? ? 3 ? 2 ? 3 3 3

? 该简单组合体的体积为 VB ?CDFE ? VP ? ABD ? 3 ?
19. (本小题满分 14 分) (1)? f ( x) ? 3 x ? 2

2 3 5 3 ? 3 3

???14 分

? a n ? a n ?1 ? 当 n ? 2 时, a n ? a1 ? (a 2 ? a1 ) ? (a3 ? a 2 ) ? ? ? (a n ? a n ?1 )
= 2 ? 4 ? (3 ? 3 ? 3 ? ? ? 3
0 1 2 n?2

? a1 ? 2 f (1) ? 2(3 ? 2) ? 2 ? 4 ? 3 n ? 2 (n ? 2)

???1 分 ???3 分

)
???4 分 ???5 分

=2 ? 4? =2?3

1 ? (1 ? 3 n ?1 ) 1? 3

n ?1

当 n ? 1 时, a1 也满足上式 ∴ S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn

? an ? 2 ? 3
n

n ?1

???6 分 ???7 分 ???8 分 ???9 分

(2) bn ? f (a n ) ? 3 ? a n ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 .

? 2(31 ? 3 2 ? ? ? 3 n ) ? 2n ? 3 n ?1 ? 2n ? 3 . S ? 4n 3 2 n ?1 ? 3 ? n ?1 ∴ 2n S n ? 2n 3 ?3
? 3(3 2 n ? 1) 3(3 n ? 1)

???10 分

(3 n ? 1)(3 n ? 1) 3n ? 1 ? 3n ? 1 ∴ 3 n ? 1 ? 2 ? 3 n ? t 恒成立,即 t ? (?3n ? 1) max . ?

???11 分 ???12 分

[来源:www.shulihua.net]

? n ? 1且 n ? N *
故 t ? ?2 .

∴3 ? 3
n

? ?3 n ? 1 ? ?2

???13 分 ???14 分

20. (本小题满 分 14 分) 解: (1)? 椭圆 C :

x2 3 ? y 2 ? 1(a ? 1) 的离心率为 2 2 a

?

c 3 ? a 2

???1 分 ???2 分

?c2 ?

3 2 a ? a2 ?1 4

? a2 ? 4

? 椭圆 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1 4 (2)由(1)知 A(?2,0), B (2,0) ,设 S ( x 0 , y 0 )
10 ? x0 3 2

???3 分

? A 为线段 MS 的中点
? ?2 ? ?
???4 分

? x0 ? ?4 ?

10 2 ?? 3 3
x0 1 2 2 ? 1? ? 4 9 3
2

? y0 ? 1 ?

?? ?5 分

? ?SAB 的面积为: 1

2

AB ? y 0 ?

1 2 2 4 2 ? 4? ? 2 3 3
10 4 ,? k ) 3 3

???7 分 ???8 分

(3)设直线 AS 的斜率为 k (k ? 0) ,则 l AS : y ? k ( x ? 2), M (?

? y ? k ( x ? 2) ? 2 2 由 ? x2 消得 y 得 x ? 4[k ( x ? 2)] ? 4 2 ? ? y ?1 ?4 2 2 2 2 即 (1 ? 4k ) x ? 16k x ? 16k ? 4 ? 0

???9 分 ???10 分

16k 2 ? 4 2 ? 8k 2 ? x ? S 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 2 ? 8k 2 4k 4k S ( , ) 将 x S 代入 y ? k ( x ? 2) 得 y S ? 即 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 1 ? 4k ? x A ? x S ? (?2) ? x S ?
? k BS 4k ?0 2 1 ? 1 ? 4k 2 ?? 4k 2 ? 8k ?2 2 1 ? 4k

? 直线 BS 的方程为: y ? ? ? yN
??

1 ( x ? 2) 4k

???11 分

1 10 4 (? ? 2) ? 4k 3 3k

? MN

? yN ? yM ?
?
?

4 4 ? (? k ) 3k 3

???12 分

4 1 4 1 ? k ? ( ? k) 3 k 3 k
8 3
???13 分

当且仅当

1 ? k 即 k ? 1 时等号成立 k 8 3
???14 分

? MN

的最小值为

21 . (本小题满分 14 分)

1 1 ? ax . ?a ? x x (1)当 a ? 2 时, f ?(1) ? 1 ? 2 ? ?1 ,则切线方程为 y ? (?2) ? ?( x ? 1) , 即 x ? y ?1 ? 0
解:在区间 ? 0, ?? ? 上, f ?( x) ? (2)法 1: ①当 a ? 0 时, f ( x) ? 0 , f ( x) 在 (1, e ) 单调递增
' 2

???1 分 ????2 分 ????3 分

此时 f (1) ? ? a ? 0

? f ( x) 在 x ? (1, e2 ) 没有零点
②当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 得 x ? i) 当0 ? a ?

????4 分

1 a

1 1 即 ? e 2 时, 2 a e 2 ' 2 则当 x ? (1, e ) , f ( x) ? 0 , f ( x) 在 (1, e ) 单调递增; 2 2 2 2 此时 f (1) ? ? a ? 0 , f (e ) ? ln e ? ae ? 2 ? ae ? 0 ? f ( x) 在 x ? (1, e2 ) 有一个零点
ii)当

????5 分 ????6 分

e2 1 1 2 ? ? e 2 , 时,则 ? a ? 即 2 2 2 a e e 1 1 ' 当 x ? (1, )时,f ( x) ? 0 , f ( x) 在 (1, ) 单调递增; a a
1 a
2 '

当 x ? ( , e )时,f ( x) ? 0 , f ( x) 在 ( , e ) 单调递减
2

1 a

????7 分

1 1 ? 1 ? 0 , f (1) ? ?a ? 0 , f (e 2 ) ? 2 ? ae 2 ? 0 a a ? f ( x) 在 x ? (1, e2 ) 有一个零点 2 综上,当 a ? 0 时, f ( x) 在 x ? (1, e ) 没有零点;
而 f ( ) ? ln 当0 ? a ?

????8 分

1 时,函数 f ( x) 有一个零点. e2
ln x x

????9 分

法 2:由 f ( x) ? 0 得 a ?

2 函数 f ( x) 在 x ? (1, e ) 的零点个数等价于函数 y ? a 与函数 y ?

ln x 的交点个数 x

????4 分

令 g ( x) ?

ln x 1 ? ln x ,则 g ?( x) ? x x2

由 g ?( x) ? 0 即

1 ? ln x ? 0 得: x ? e x2

????5 分

在区间 (1, e) 上, g ?( x) ? 0 ,函数 g ( x) 是增函数; g (1) ? g ( x) ? g (e) ,即 0 ? g ( x) ? 在区间 (e, e ) 上, g ?( x) ? 0 ,函数 g ( x) 是减函数; g (e ) ? g ( x) ? g (e) ,即
2

1 e

????6 分 ????7 分

2

2 1 ? g ( x) ? 2 e e

?a ?

2 e2

[来源:www.shulihua.net]

? 当 a ? 0 时, f ( x) 在 x ? (1, e 2 ) 没有零点;
当0 ? a ?

1 时,函数 f ( x) 有一个零点. e2

????9 分

(3) 原不等式 x1 ? x2 ? e 2 ? ln x1 ? ln x2 ? 2 不妨设 x1 ? x2 ? 0,

????10 分

? f ( x1 ) ? 0, f ( x 2 ) ? 0 ? ln x1 ? ax1 ? 0, ln x2 ? ax2 ? 0
? ln x1 ? ln x2 ? a( x1 ? x2 ) , ln x1 ? ln x2 ? a ( x1 ? x2 )
ln x1 ? ln x2 2 ? x1 ? x2 x1 ? x2

? a( x1 ? x 2 ) ? 2 ?
? ln


????11 分

x1 2( x1 ? x2 ) ? x2 x1 ? x2
????12 分

x1 x 2( x1 ? x2 ) 2(t ? 1) . ? t ,则 t ? 1 ,于是 ln 1 ? ? ln t ? x2 x2 x1 ? x2 t ?1
2(t ? 1) (t ? 1) , t ?1

设函数 g (t ) ? ln t ? 求导得: g ?(t ) ? ?

1 4 (t ? 1) 2 ? ?0 t (t ? 1) 2 t (t ? 1) 2

故函数 g (t ) 是 ?1, ?? ? 上的增函数, ? g (t ) ? g (1) ? 0 即不等式 ln t ?

2(t ? 1) 成立,故所证不等式 x1 ? x2 ? e 2 成立. t ?1

????14 分


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