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高二数学选修2-1第二章《圆锥曲线》测试题


高二数学选修 2-1 第二章《圆锥曲线》测试题
一.选择题:本大题共 8 题,每小题 5 分,共 40 分。请将答案写在括号里。

x2 y2 ? ?1 1、已知方程 2 ? k k ? 1 的图象是双曲线,那么 k 的取值范围是(
A.k<1 B.k>2
2 2



C.k<1或 k>2

D.1<k<2

2、 已知方程 ax ? by ? ab和ax ? by ? c ? 0(其中ab ? 0, a ? b, c ? 0 ) 它们所表示的曲线可能是 , ( )









x2 y 2 1 e? ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 0) 2 ,右焦点为 F (c, ,方程 ax2 ? bx ? c ? 0 的两个实根 b 3、设椭圆 a 的离心率为
分别为

x1 和 x2 ,则点 P( x1,x2 ) (
2 2


2 2 2 2

A.必在圆 x ? y ? 2 内B.必在圆 x ? y ? 2 上C.必在圆 x ? y ? 2 外D.以上三种情形都有可能
x2 y2 ? ?1 4、椭圆 100 36 上的点 P 到它的左准线的距离是 10,那么 P 点到椭圆的右焦点的距离是 (



A.15

B.10

C.12

D.8

x2 ? y2 ?1 3 5、双曲线 的两条渐近线所成的锐角是 (
A.30° B.45°
2

)

C.60°

D.75°

P ( x,y ), P2 ( x, y2) , P ( x3,y3 ) 在抛物线上,且 2 3 6、已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,点 1 1 1 2x2 ? x1 ? x3 , 则有(
A. C. ) B. D.

FP ? FP ? FP 1 2 3 2 FP ? FP ? FP 2 1 3

FP ? FP2 ? FP3 1
2 2

2

FP2 ? FP· FP3 1
2

x2 y2 2 2 7、双曲线 a - b =1 的两条渐近线互相垂直,那么它的离心率为(
3 D. 2

)

A.

2

B. 3

C. 2

2 PP 1 8、过抛物线 x ? 4 y 的焦点 F 作直线交抛物线于 P ?x1 , y1 ?, P2 ?x2 , y2 ? 两点,若 y1 ? y 2 ? 6 ,则 1 2 的

值为 ( A.5

) B.6 C.8
1

D.10

二、选择题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上. 9、设中心在原点的椭圆与双曲线 2 x2-2y2=1 有公共的焦点,且它们的离心互为倒数,则该椭圆的方程 是 。

x2 y 2 ? ?1 AB ? 2 10、直线 y ? x ? 1 与椭圆 4 相交于 A, B 两点,则



2 MP ? MF 11、已知 P(4,?1), F 为抛物线 y ? 8x 的焦点,M 为此抛物线上的点,且使 的值最小,则 M

点的坐标为



y2 x2 ? ?1 4 12 、 过 原 点 的 直 线 l , 如 果 它 与 双 曲 线 3 相交,则直线 l 的斜率 k 的取值范围

2



13、抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F ,准线为 l ,经过 F 且斜率为 3 的直线与抛物线在 x 轴上方的部分相交 于点 A , AK ⊥ l ,垂足为 K ,则 △ AKF 的面积是 .
2

14、在平面直角坐标系 xoy 中,有一定点 A(2,1) ,若线段 OA 的垂直平分线过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦 点,则该抛物线的准线方程是 . 三.解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

x2 y 2 ? 2 ?1 2 b 15、 (14 分)已知抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线 a 的右焦点,而且与 x 轴垂直.又抛物
3 (? , 6) 线与此双曲线交于点 2 ,求抛物线和双曲线的方程.

? 16、 (12 分)过抛物线 y ? 4 x 的焦点 F 作倾斜角为 45 的直线,交抛物线于 A,B 两点.

2

(1)求 ?? 的中点 C 到抛物线准线的距离; (2)求

AB

的长.

2

x2 y 2 ? 2 ?1 2 b 17、 (14 分)双曲线 a (a>1,b>0)的焦距为 2c,直线 l 过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线 l 的
4 距离与点(-1,0)到直线 l 的距离之和 s≥ 5 c.求双曲线的离心率 e 的取值范围.

x2 ? y2 ? 1 4 18、 (14 分)直线 y=kx+b 与椭圆 交于 A、B 两点,记△AOB 的面积为 S.
(I)求在 k=0,0<b<1 的条件下,S 的最大值; (Ⅱ)当|AB|=2,S=1 时,求直线 AB 的方程.

y

A

O B

x

3

x2 ? y2 ? 1 F1 、 F2 分别是椭圆 4 19、 (本小题满分 12 分)设 的左、右焦点. ???? ???? ? PF1 ? PF2 的最大值和最小值; (Ⅰ)若 P 是该椭圆上的一个动点,求
(Ⅱ)设过定点 M (0,2) 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A 、 B ,且∠ AOB 为锐角(其中 O 为坐标原点) , 求直线 l 的斜率 k 的取值范围

2 20、 (12 分)如题(21)图,倾斜角为 a 的直线经过抛物线 y ? 8 x 的焦点 F,且与抛物线交于 A、B 两点。

题(20)图 (Ⅰ)求抛物线的焦点 F 的坐标及准线 l 的方程; (Ⅱ)若 a 为锐角,作线段 AB 的垂直平分线 m 交 x 轴于点 P,证明|FP|-|FP|cos2a 为定值,并求此定值。

4

第二章《圆锥曲线》答案 一.选择题:CBACC CAC

二.填空题:9.

x2 ? y2 ? 1 2

1 4 5 ( , ?1) 10. 3 11. 8

k??
12.

3 3 或k ? 2 2

13. 4 3

14、

x??

5 4
2

三、解答题 15 解:由题意可设抛物线方程为 y ? ?2 px( p ? 0)

3 3 (? , 6 ) 6 ? ?2 p ? ( ? ) 2 ,解得 p ? 2 因为抛物线图像过点 2 ,所以有
所以抛物线方程为 y ? ?4 x ,其准线方程为 x ? 1
2

所以双曲线的右焦点坐标为(1,0)即 c ? 1

3 (? , 6 ) 又因为双曲线图像过点 2 ,

9 1 3 4 ? 6 ?1 a2 ? ,b2 ? 2 2 2 2 2 2 4 4 或 a ? 9, b ? ?8 (舍去) b 所以有 a 且 a ? b ? 1 ,解得
x2 y2 ? ?1 1 3 4 所以双曲线方程为 4
16 16 (1) 4 (2)

8

17. 解:直线 l 的方程为 bx+ay-ab=0.由点到直线的距离公式,且 a>1,得到点(1,0)到直线 l 的距离 d1

2ab 4 = a ? b .同理得到点(-1,0)到直线 l 的距离 d2 = a ? b .s= d1 +d2= a ? b = c .由 s≥ 5 c,
2 2 2 2 2 2

b(a ? 1)

b(a ? 1)

ab

2ab 4 5 2 2 2 得 c ≥ 5 c,即 5a c ? a ≥2c2.于是得 5 e ? 1 ≥2e2.即 4e2-25e+25≤0.解不等式,得 4 ≤e2≤5.

5 ?e? 5 由于 e>1>0,所以 e 的取值范围是 2
18、(I)解:设点 A 的坐标为(

( x1 , b) ,点 B 的坐标为 ( x2 , b) ,

5

x2 ? y2 ? 1 x1,2 ? ?2 1 ? b 2 4 由 ,解得
1 S ? b | x1 ? x2 |? 2b 1 ? b 2 ? b 2 ? 1 ? b 2 ? 1 2 所以

b?
当且仅当

2 2 时, 取到最大值 1. .S

? y ? kx ? b ? 2 ?x 2 ? ? y ?1 ?4 (Ⅱ)解:由 得

(4k 2 ? 1) x2 ? 8kbx ? 4b2 ? 4 ? 0 ? ? 16(4k 2 ? b2 ? 1)


|AB|=

1 ? k 2 | x1 ? x2 |? 1 ? k 2
d? |b| 1? k 2 ?

16(4k 2 ? b2 ? 1) ?2 4k 2 ? 1
2S ?1 | AB |



又因为 O 到 AB 的距离

2 2 所以 b ? k ? 1



4 2 ③代入②并整理,得 4k ? 4k ? 1 ? 0

k2 ?
解得,

1 2 3 ,b ? 2 2 ,代入①式检验,△>0

故直线 AB 的方程是

y?

2 6 2 6 2 6 2 6 y?? x? y?? x? x? y? x? 2 2 或 2 2 . 2 2 或 2 2 或

19、解: (Ⅰ)解法一:易知 a ? 2, b ? 1, c ? 3 所以

F1 ? 3, 0 , F2

?

? ?

3, 0

? ,设 P ? x, y ? ,则
2 3 ? x, ? y ? x ? y ? 3 ? x ? 1 ?
2 2

x2 1 ? 3 ? ? 3x 2 ? 8 ? 4 4 ???? ???? ? x ?? ?2, 2? x ? 0 ,即点 P 为椭圆短轴端点时, PF1 ? PF2 有最小值 ?2 因为 ,故当
???? ???? ? PF1 ? PF2 ? ? 3 ? x, ? y ,

?

??

?

???? ???? ? x ? ?2 ,即点 P 为椭圆长轴端点时, PF1 ? PF2 有最大值1 当
F1 ? 3, 0 , F2 解法二:易知 a ? 2, b ? 1, c ? 3 ,所以

?

? ?

3, 0

? ,设 P ? x, y ? ,则

6

???? 2 ???? 2 ???? 2 ? ? ???? ???? ???? ???? ? ? ???? ???? PF1 ? PF2 ? F1 F2 ? PF1 ? PF2 ? PF1 ? PF2 ? cos ?F1 PF2 ? PF1 ? PF2 ? ???? ???? ? 2 PF1 ? PF2

?

2 2 1? x ? 3 ? y 2 ? x ? 3 ? y 2 ? 12? ? x 2 ? y 2 ? 3 ? ? ? 2? (以下同解法一)

?

?

?

?

(Ⅱ)显然直线 x ? 0 不满足题设条件,可设直线

l : y ? kx ? 2, A? x1, y2 ? , B ? x2 , y2 ?



? y ? kx ? 2 ? 2 ?x ? 2 1? 2 2 ? k ? ? x ? 4kx ? 3 ? 0 ? ? y ?1 4? 联立 ? 4 ,消去 y ,整理得: ?

x1 ? x2 ? ?


4k k2 ? 1 4

, x1 ? x2 ?

3 k2 ? 1 4

1? 2 ? 3 3 ? ? ? 4k ? ? 4 ? k ? ? ? 3 ? 4k 2 ? 3 ? 0 k ?? k? 4? ? 2 2 或 由 得: ??? ??? ? ? 00 ? ?A0B ? 900 ? cos ?A0B ? 0 ? OA ? OB ? 0 又

??? ??? ? ? OA ? OB ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 ∴
?


3k 2 k2 ? 1 4

?

y1 y2 ? ? kx1 ? 2?? kx2 ? 2? ? k 2 x1x2 ? 2k ? x1 ? x2 ? ? 4
3 k2 ? ? ?k 2 ? 1 ?0 1 2 k ? 2 4 ,即 k ? 4

?k 2 ? 1 ?8k 2 ?4 ? 1 1 k2 ? k2 ? 4 4



1 4

∴ ?2 ? k ? 2

?2 ? k ? ?
故由①、②得

3 3 ?k?2 2 或 2

2 20(Ⅰ)解:设抛物线的标准方程为 y ? 2 px ,则 2 p ? 8 ,从而 p ? 4.

p F ( ,0) 因此焦点 2 的坐标为(2,0).

又准线方程的一般式为

x??

p 2。

从而所求准线 l 的方程为 x ? ?2 。

7

(Ⅱ)解法一:如图作 AC⊥l,BD⊥l,垂足为 C、D,则由抛物线的定义知 |FA|=|FC|,|FB|=|BD|. 记 A、B 的横坐标分别为 xxxz,则 p p p 4 x x ? ?| FA | cos a ? ? ?| FA | cos a ? 4 | FA |? 2 2 2 1 ? cos a , |FA|=|AC|= 解得 类似地有 | FB |? 4? | FB | cos a ,解得 记直线 m 与 AB 的交点为 E,则
| FE |?| FA | ? | AE |?| FA | ? | FA | ? | FB | 1 1? 4 4 ? 4 cos a ? (| FA | ? | FB |) ? ? ? ?? 2 2 2 ? 1 ? cos a 1 ? cos a ? sin 2 a

| FB |?

4 1 ? cos a 。





| FP |?

| FE | 4 ? cos a sin2 a 。
4 sin 2 a (1 ? cos 2a) ? 4·2 sin 2 a sin 2 a ?8

| FP | ? | FP | cos 2a ?





解法二:设 A( x A , y A ) , B( x B , y B ) ,直线 AB 的斜率为 k ? tan a ,则直线方程为 y ? k ( x ? 2) 。
x A ? xB ? k (k 2 ? 2) k2

将此式代入 y ? 8 x ,得 k x ? 4(k ? 2) x ? 4k ? 0 ,故
2 2 2 2 2



记直线 m 与 AB 的交点为 E ( x E , y E ) ,则
xE ? x A ? x B 2(k 2 ? 2) ? 2 k2 ,

y E ? k ( xE ? 2) ?

4 k,

y?
故直线 m 的方程为

4 1? 2k 2 ? 4 ? ? ? ? ?x ? k k? k2 ? ? ?
2k 2 ? 4 k2 4 sin 2 a 。 ?4

.

令 y=0,得 P 的横坐标
| FP |? x P ? 2 ?

xP ?



4(k 2 ? 1) k
2

?

8

| FP | ? | FP | cos 2a ?

4 sin a
2

(1 ? cos 2a) ?

4·2 sin 2 a sin 2 a

?8

从而

为定值。

9


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