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货币时间价值及计算


货币时间价值及计算

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辅导内容
?货币时间价值的概念 ?一次性收付款时间价值计算 ?年金时间价值计算 ?计息频数和有效利率 ? ? ? ?

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一.货币时间价值的概念
? 1.货币时间价值的概念 ? ? 2.货币时间价值与利率的区别 ? ? 3.现值与终值 ? ? 4.单利制和复利制 ?

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1.1 货币时间价值的概念
货币时间价值,是指货币经历一定时间的投资和 再投资所增加的价值。

举例:报酬支付方案。如果向你支付1000元报酬, 你会选择现在就得到这1000元呢,还是会选择一 年以后再得到这1000元?

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1.2 货币时间价值与利率的区别
利率 是指可贷资金的价格,它是借款人在贷出资金 时对其贷出资金所要求的报酬。因为任何贷款都存在风 险,并且,贷款人在贷款期间可能由于通货膨胀而使实 际报酬降低,因此,贷款人所要求的利率是由纯利率、 风险报酬和通货膨胀贴补三部分组成的。 而货币时间价值通常是指在没有风险、没有通货膨胀 时的社会平均利润率,在没有通货膨胀或通货膨胀很低 时,可用国库券的利率表明货币时间价值.

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1.3 现值和终值
由于货币存在时间价值,不同时点上的等额货币价 值不等,因此,在比较不同时点上的货币金额时,需 将它们折算到同一时点上才能比较,由此引出了现值 和终值概念。 现值 是指未来某一时点上一定金额的货币在现在 的价值,即本金。
终值 是指现在一定金额的货币在未来某一时点上 的价值,即本利和。

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1.4 单利制和复利制
单利制,是指在进行货币时间价值计算时, 只就本金计息,而不对以前积存的利息计息。

复利制,是指是指在进行货币时间价值计算 时,不但就本金计息,而且对以前积存的利息计 息。即利滚利。

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二、一次性收付款时间价值 计算
? 1.一次性收付款终值计算 ? ? 2.一次性收付款现值计算 ? ? 3.一次性收付款利率计算 ? ? 4.一次性收付款期数计算 ?
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2.1 一次性收付款终值计算
【例1】

P=100

F=?

I=10% 0 1 图1-1 2 3

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2.1 一次性收付款终值计算
例1 解:
第一年末本利和=100+100?0.1=100+10=110 第二年末本利和=110+110 ? 0.1=110+11=121

第三年末本利和=121+121 ? 0.1=121+12.1=133.1
100+100 ? 0.1=100 ? (1+0.1)=100 ? (1.1) 110+110 ? 0.1=100 ? (1+0.1)2 =100 ? (1.21) 121+121 ? 0.1=100 ? (1+0.1)3=100 ? (1.331)

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2.1 一次性收付款终值计算
由上面的计算可以得到由现值求终值的公式:

F=P(1+i)n

=P(F/P,I,n)
(1+i)n称为一次性收付款普通复利终值系数,用
(F/P,I,n)表示。

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2.1 一次性收付款终值计算
【练习1】 你现在存入银行10000元,银行按 每年复利10%计息,30年后你在银行 存款的本利和是多少?
[查看答案]

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2.1 一次性收付款终值计算

【答案】

解:F=P (F/P,I,n)
=10000(F/P,10%,30) =10000(17.4494) =174494

2.2 一次性收付款现值计算
【例2】

P=?

F=100

I=10%
0 1 图1-2 2 3

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2.2 一次性收付款现值计算
根 据一次性收付款终值计算公式 F=P(1+I)n 可以得到一次性收付款现值计算公式:

P=F(1+I) -n =F(P/F,I,n)
(1+i)-n称为一次性收付款普通复利现值系数,
用(P/F,I,n)表示。 注意:n,I越大, (P/F,I,n)越小。

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2.2 一次性收付款现值计算
【例2】 解: P=? F=100

I=10% 0 1 2 3

解:P=F(P/F,I,n) =100(P/F,10%,3) =100(0.751) =75.1

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2.3 一次性收付款利息计算
【例3】

P=100

F=200

I=? 0 1 2 图1-3 3 4 5

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2.3 一次性收付款利息计算
【例3】解:F=P(F/P,I,n) 200=100(F/P,I,5) (F/P,I,5)=2 查表,插值计算: = x=0.87% I=14%+0.87%=14.87% I 14% ? 15% x F/P 1.9254 2.0 2.0114

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2.3 一次性收付款利息计算
【练习2】 已知1992年5月20日上海证券股票指 数为617.28,2002年5月20日这一指数为 1541.53。试计算10年中上海证券市场股票 投资的平均收益率?

[查看答案]

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2.3 一次性收付款利息计算
【 答案】
解:F=P(F/P,I,n) 1541.53=617.28(F/P,I,10)
解:1541.53=617.28(F/P,I,10) (F/P,I,10)=2.4973 (F/P,I,10)=2.4973

查表,插值计算得

I=9.58%

查表,插值计算得 I=9.58%

2.4 一次性收付款期数计算
【例4】 P=100 F=200

I=10% 0 1 2 3 n=?

图1-4

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2.4 一次性收付款期数计算
【例4】解: F=P(F/P,I,n) 200=100(F/P,10%,n) (F/P,10%,n)=2
查表,插值计算: 设n与7之差为x = N 7 n 8 x F/P 1.9487 2.0 2.1436

X=0.26 n=7+0.26=7.26

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三、年金货币时间价值计算
? ? ? ? 1.年金的概念 2.年金的种类 3.普通年金货币时间价值计算 4.其他年金货币时间价值计算 ? ? ? ?

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3.1 年金的概念
年金是指等额、定期的系列收支。例如, 分期付款赊购,分期支付租金,发放养老金。 按照收付的次数和支付的时间划分,年 金分为普通年金、预付年金、递延年金和永 续年金。 各种年金时间价值的计算以普通年金时 间价值计算为基础。

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3.2 年金的种类

普通年金
各期期末支付的年金

A

A

A

0

1

2

3

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3.2 年金的种类 预付年金
A A 各期期初支付的年金

A

0

1

2

3

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3.2 年金的种类

递延年金
A

第一次支付在第二期 及第二期以后的年金 A A

0

1

2

3

4

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3.2 年金的种类

永续年金

无限期定额支 付的年金 A A A

0

1

2

3

永久

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3.3.1 普通年金时间价值计算
? ? ? ? 1.普通年金终值计算 2.普通年金现值计算 3.普通年金利息计算 4.普通年金期数计算 ? ? ? ?

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3.3.1 普通年金终值计算
【例5】 I=10%
0 1 2 3 100 100×(1+10%) 100×(1+10%)2 FA=100+100×(1+10%)+100×(1+10%)2 =100×(1+1.1+1.21) =100×(3.31) =3.31 三年期利率10%年金终值系数

100

100

100

FA=?

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3.3.1 普通年金终值计算
普通年金终值计算公式:
【公式推倒过程】

F=A [(1+I) -1] /I

n

=A(F/A,I,n)
(F/A,I,n)称为年金终值系数。

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3.3.1 普通年金终值计算
普通年金终值计算公式推倒过程:
F=A+A(1+I)+A(1+I)2+……+A(1+I)n-1 =A[1+(1+I)+(1+I)2+… …+(1+I)n-1] [1+(1+I)+(1+I)2+… …+(1+I)n-1]年金终值系数,用F/A表 示。 F/A= 1+(1+I)+(1+I)2+… …+(1+I)n-1 F/A(1+I)= (1+I)+(1+I)2+… …+(1+I)n (1) (2)

用(2)-(1)得:

( F/A,I,n)= [(1+I)n -1]/I

3.3.1 普通年金终值计算
【 练习3】

在未来30年中,你于每年末存 入银行10000元,假定银行年存款利 率为10%,请计算30年后你在银行 存款的本利和是多少?
[查看答案]

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3.3.1 普通年金终值计算
【答案】
解:F=A(F/A,I,n) =10000(F/A,10%,30) =10000(164.4940) =1644940

3.3.1 普通年金终值计算
根据年金终值求年金问题:

由 F=A(F/A,I,n)得到:

A=F / (F/A,I,n)
1/(F/A,I,n)称为年偿债基金系数。

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3.3.1 普通年金终值计算
【 练习4】
某企业5年后有一1000万元到期债 务要偿还,企业为准备偿债,在未来的 5年中于每年年末存入银行一笔款项。 假如银行年存款利率为10%,问:该企 业需每年年末存入银行多少钱,才能偿 还5年后到期的1000万元债务?
[查看答案]

? ?

3.3.1 普通年金终值计算
【答案】 解:A=F/(F/A,I,n) =1000/(F/A,10%,5) =1000/(6.1051) =163.7975

3.3.2 普通年金现值计算 P=?
【例6】 100 I=10% 0 1 2 3 100(1+0.1) -1 100(1+0.1) -2 100(1+0.1) -3 P=100(1+0.1) -1+100(1+0.1) -2+100(1+0.1) -3 =100[(1+0.1) -1+ (1+0.1) -2+(1+0.1) -3] =100(0.9091+0.8264+0.7513) =100(2.4868) ? ? =248.68 三年期利率10%年金现值系数 100 100

3.3.2 普通年金现值计算
普通年金现值计算公式:

P=A[(1-(1+I) -n)/I]

=A(P/A,I,n)
(P/A,I,n)称为年金现值系数

? ?

3.3.2 普通年金现值计算
【练习5】 计算从夏利汽车公司取得的汽车
借款的现值

夏利汽车公司预计在36个月中,每 月从其一名顾客处收取2000元的汽车贷 款还款。第一笔还款在借款后1个月, 贷款利率为每月1%,问:顾客借了多 少钱?
[查看答案]

? ?

3.3.2 普通年金现值计算
【答案】

解:P= A(P/A,I,n) =2000(P/A,1%,36) =2000(30.1075) =60215

3.3.2 普通年金现值计算
根据年金现值求年金问题 由P= A(P/A,I,n)得到根据年金现值求年金 的公式:

A=P / (P/A,I,n)
1/(P/A,I,n),称为年等额回收系数。

? ?

3.3.2 普通年金现值计算
借款的分期等额偿还

【例7】 假如你现在用10万元购置一处房子,购 房款从现在起于3年内每年年末等额支付。在购房 款未还清期间房产开发商按年利率10%收取利息。 你每年末的还款额是多少?

解: A=P / (P/A,I,n) A=100000/(P/A,10%,3) =100000/(1/2.4868) =100000/(0.40211) =40211

? ?

3.3.2 普通年金现值计算
借款分期等额偿还表
借款分期等额偿还表说明借款如何随时间清偿, 即本金(初始借款额)和利息如何清偿。
借款分期等额偿还表

时 期 第一年 第二年 第三年

年初本金 100000 69789 36556.9

还款额 40211 40211 40211

本期利息 10000 6978.9 3655.69

本期还本 30211 33232.1 36555.53

年末本金 69789 36556.9 1.59 *

* 因四舍五入余额不为零

? ?

3.3.2 普通年金现值计算
借款分期等额偿还图
100000 90000 80000 70000 60000 50000 40000 30000 20000 10000 0

100000 69789

36557

0
0 1 2 3

第一年初至第三年末借款余额

? ?

3.3.2 普通年金利息计算
【例8】根据年金现值和年金求利息

P=200
100 I=? 100 100

0

1

2

3

[查看答案]

? ?

3.3.3 普通年金利息计算
【例8】解:P= A(P/A,I,n) 200=100(P/A,I,3) (P/A,I,3)=2 查表,插值计算: =

I

P/A x

20%
? 24%

2.106
2.0 1.981

X=3.392% I=20%+3.392%=23.92%

3.3.4 普通年金期数计算

【例9】 某企业准备投资100000元购入一 种设备,企业每年可因此节约成本25000元, 若该企业要求的投资报酬率为10%,假设设备 使用期满残值为0,问:该设备至少应使用多 少年才应投资?
[查看答案]

? ?

3.3.4 普通年金期数计算
【例9】解: P= A(P/A,I,n) 100000=25000(P/A,10%,n) (P/A,10%,n)=4 N 查表,插值计算: 5 ? = 6

P/A
x 3.791 4 4.355

X=0.36 n=5+.036=5.36

3.4 其他年金计算问题
3.4.1预付年金计算 ①②③④ 100

【例10】

100

100 I=10% 1

F=?

0

2

3 100×1.1 100×1.21 100×1.331

? ?

3.4.1 预付年金计算
F=100×1.1+100×1.21+100×1.331 =100×(1.1+1.21+1.331) =100×(1+1.1+1.21)×(1.1) =100×(3.31)×(1.1) =364.1 ①②③④

由以上计算过程可知,预付年金与普通年金 相比,其每笔款项的终值多计了一次利息。由此 可得出预付年金终值计算公式:

F A’=A(F/P,I,n)(1+I)
普通年金终值系数

? ?

3.4.1 预付年金计算
预付年金求终值的另一种方法 A A A F=? ① ② ③ ④

0 A

1 A

2 A

3 F=? A

-1

0

1

2

3

? ?

3.4.1 预付年金计算
由上面两图对比可以看出:如果在第三期末还 存在一笔款项A,从一年前看是一个求四期普通年 金终值的问题。但是,第三期末的笔款项A是不存 在的,所以,求三期预付年金终值,可先求四期普 通年金的终值,然后再减去A。即: F’=A(F/A,I,n+1)-A 由此得出预付年金的公式:
① ② ③ ④

F A’=A【(F/A,I,n+1)-1】 ? ?

3.4.1 预付年金计算
预付年金求现值问题 P=? 【例11】 100 100 I=10% ①② 100

0
100×1 100×0.909 100×0.826

1

2

3

P=100×(1.1)×(0.909+0.826+0.751) =100×(1.1)×(2.486) =273.46

P A’=A(P/A,I,n)(1+i)

? ?

3.4.1 预付年金计算
预付年金求现值问题的另一种方法 P=? A A A ①②

0

1

2

3

从上图可以看出,若第一期初没有A,是一个两期普通 年金问题,因此,可按如下该上公式计算预付年金现值:

P A’=A【(P/A,I,n-1)+1】

? ?

3.4.2 递延年金计算
递延年金终值计算问题
A A A

0

1

2

3

4

如图所示是一个从第二期开始的三期递延 年金,其终值可按三期普通年金求终值计算。

? ?

3.4.2 递延年金计算
递延年金现值计算问题 【例12】 ①② A A A

P=?

0

1

2

3

4

5

如图所示,递延年金现值可按下式计算:

P=A【(P/A,I,5)-(P/A,I,2)】 ? ?

3.4.2 递延年金计算
求递延年金现值的另一种方法 ①② A A

P=?
A

0

1

2

3

4

5

可先按三期普通年金折现到第二期末,再折现到第一期初。

P=A(P/A,I,3)(P/F,I,2)

? ?

3.4.3 永续年金计算
由于永续年金会一直持续下去,没有到期日,所 以递延年金不存在求终值问题。 永续年金现值的计算可根据普通年金现值计算公 式推导如下:

P=A[(1-(1+I) -n)/I]
当n趋近于无穷大时, (1+I) -n趋近于0。 由此,得到永续年金现值的计算公式:

P=A/i

? ?

3.4.3 永续年金计算
[练习]
①②

计算利率为8%,每年1000元的永 续年金的现值是多少?现在假定每年 1000元的年金只持续50年,则其现值 是多少?它与永续年金的现值相近到 什么程度?
[查看答案]

? ?

3.4.3 永续年金计算
【答案 】 ①②

PA永续=A/I=1000/0.08=12500.00 PA50 =1000(P/A,8%,50) =1000(12.23348) =12233.48
在本例中,50期年金的现值和永续年金的现值仅差 2%。在实际应用中,常用永续年金现值公式求长期年 金的现值。

四、 计息频数和有效利率
到目前为止我们一直使用与现金流量频数一致的贴 现率,如年付款额用10%年利率,月付款额用1%的月 利率。在实际中,尽管利息多以短于一年的计息期计 算和支付,但利率却多以年度名义利率(i)和年度有 效利率(r)两种方式表示。 年度名义利率(i)是以期间利率(I/m)乘以年度 内的计息期数(m),复利计息频数是利息在一年中 复利多少次。年有效(真实、实际)会因复利计息频 数的不同而不同。

? ?

四、计息频数和有效利率
【例13】 P=100 I=10% 0 0.5 1 F=?

解:如图所示,当每半年复利一次时,现在的100 元在一年后的价值为: F=100×(1+10%/2)2=100×(1.1025) =110.25

? ?

四、计息频数和有效利率
根据上面的实例,现在的100元在年名义利率 10%每年复利两次的情况下,一年后的价值是 110.25元,即其有效利率为10.25%。

由此,可得出计算有效利率的公式:

r=(1+I/m) -1
? ?

m

四、计息频数和有效利率

【练习】假如银行存款的年名义利率 为10%,试计算每季度、每月、每天复 利一次时,年有效利率分别是多少?
【查看答案】

? ?

四、计息频数和有效利率
【答案】 r=(1+I/m)
m

-1
4

每季度复利一次时,r=(1+0.1/4) -1=10.3813%

每月复利一次时, r=(1+0.1/12) -1=10.4713%
每天复利一次时, r=(1+0.1/365)
365

12

-1=10.5156%


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