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2015-2016学年高中数学 2.4正态分布课件 新人教A版选修2-3


第二章 随机变量及其分布

第二章
2.4 正态分布

1

自主预习学案

2

典例探究学案

3

课 时 作 业

自主预习学案

通过实例了解正态分布的意义和性质,借助于图象掌握正
态分布的性质.

重点:正态分布的特点及其应用. 难点:正态曲线的特征、正态分布的应用.

正态分布

新知导学 ?x-μ?2 1 1.称函数 φμ,σ(x)= e- 2σ2 ,x∈(-∞,+∞)的 2πσ 正态分布密度曲线 , 正态曲线 , 图象为__________________ 简称__________ 其中 μ 和 σ(σ>0) 为参数.

2.一般地,如果对于任意实数 a<b,随机变量 X 满足

φμ,σ(x)dx 正态分布 . a P(a<x≤b)=__________ ,则称 X 的分布为__________
正态分布完全由参数 μ 和 σ 确定,因此正态分布常记作 N(μ,σ2).

?b ? ? ?

μ 注意:①参数__________ 是反映随机变量取值的平均水平
σ 的特征数,可以用样本均值去估计;__________ 是衡量随机变 量总体波动大小的特征数,可以用样本标准差去估计.把 μ= 0,σ=1的正态分布叫做标准正态分布. ②正态分布是自然界中最常见的一种分布,许多现象都近 似地服从正态分布.如长度测量误差、正常生产条件下各种产 品的质量指标等. ③一般地,一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不 分主次的偶然因素作用结果之和,它就服从或近似服从正态分

布.

3.正态分布的特点是:单峰性、对称性、正态曲线与 x 轴围成的平面图形面积为 1. ?x-μ? 1 正态曲线 f(x)= e- 2σ2 ,x∈R 有以下性质: 2πσ 上方 ,与 x 轴不相交; ①曲线位于 x 轴__________
2

x=μ ②曲线关于直线_________ 对称; μ 处达到最大值 ③曲线只有一个最大值,在 x=_____ 1 ④曲线与 x 轴之间的面积为__________ ;
1 ; σ 2π

⑤当σ 一定时,曲线的位置由 μ 确定,曲线随着 μ 的变化而

沿x轴左右平移,如下图.

⑥当μ 一定时,曲线的形状由 σ 确定. σ 越小,曲线越“高
瘦”,表示总体的分布越集中; σ 越大,曲线越“矮胖”,表 示总体的分布越分散,如下图.

4.3σ 原则 正态总体几乎总取值于区间(μ-3σ,μ+3σ)之内,而在此 区间以外取值的概率只有 0.0026,通常认为这种情况在一次试 验中几乎不可能发生. 若 X~N(μ,σ2),则对任意实数 a>0,有
μ+a P(μ-a<X≤μ+a)=? f(x)dx. ?

?μ-a

特别地,当 a=σ,2σ,3σ 时有 P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6826, P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9544, P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.9974.

牛刀小试

1 .已知随机变量 X 服从正态分布 N(3,1) ,且 P(2≤X≤4) =
0.6826,则P(X>4)=( A.0.1588 C.0.1586 [答案] B
[解析] 1 ∵ X ~ N(3,1) , ∴ P(X>4) = P(X<2) = 2 [1 - P

) B.0.1587 D.0.1585

1 (2≤X≤4)]=2(1-0.6826)=0.1587.

1 2.若 ξ~N(1,4),η=6ξ,则 E(η)等于( A.1 C.6 3 B.2 D.36
1 ∵ξ~N(1,4),∴E(ξ)=1,

)

[答案] C
[解析]

∴E(η)=6E(ξ)=6.

3.(2015· 潍坊市五县高二期中)设随机变量 ξ 服从正态分布 N(4,5),若 P(ξ<2a-3)=P(ξ>a+2),则 a 的值等于( 7 A.3 C.5 5 B.3 D.3 )

[答案] D
[解析] 已知 ξ~N(4,5),所以 μ=4, 又因为 P(ξ<2a-3)=P(ξ>a+2), ?2a-3?+?a+2? 所以 =4,解得 a=3. 2

4 . (2015· 福州市高二期末 ) 已知随机变量 ξ 服从正态分布
N(1,σ2),且P(ξ<2)=0.6,则P(0<ξ<1)=________. [答案] 0.1 [解析] ∵随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2), ∴曲线关于直线x=1对称, ∵P(ξ<2)=0.6, ∴P(0<ξ<1)=0.6-0.5=0.1, 故答案为0.1.

5.某班有50名学生,一次考试的数学成绩ξ服从正态分布

N(100,102),已知P(90≤ξ≤100)=0.3,估计该班学生数学成绩在
110分以上的人数为________. [答案] 10

[解析] 由 ξ~N(100,102)知,μ=100,σ=10, 又 P(90≤ξ≤100)=0.3, 1-P?90≤ξ≤110? ∴P(ξ>110)=P(ξ<90)= 2 1-2P?90≤ξ≤100? 1-2×0.3 = = =0.2. 2 2 ∴该班学生成绩在 110 分以上的人数为 0.2×50=10 人.

6.商场经营的某种包装的大米质量服从正态分布

N(10,0.12)(单位:kg).任选一袋这种大米,质量在9.8~10.2kg
的概率是多少? [解析] 因为大米的质量服从正态分布 N(10,0.12),要求质 量在9.8~10.2的概率,需化为(μ-2σ, μ+2σ)的形式,然后利 用特殊值求解. 由正态分布N(10,0.12)知,μ=10,σ=0.1, 所以质量在9.8~10.2kg的概率为 P(10-2×0.1<X≤10+2×0.1)=0.9544.

典例探究学案

正态曲线的性质 把一条正态曲线 C1 沿着横轴方向向右移动 2 个

单位,得到一条新的曲线C2,下列说法中不正确的是(
A.曲线C2仍然是正态曲线 B.曲线C1和曲线C2的最高点的纵坐标相等

)

C.以曲线 C2为概率密度曲线的总体的期望比以曲线 C1为 概率密度曲线的总体的期望大2 D.以曲线C2为概率密度曲线的总体的方差比以曲线 C1为 概率密度曲线的总体的方差大2 [答案] D

[解析]

正态曲线沿着横轴方向水平移动只改变对称轴位

置,曲线的形状没有改变,所得的曲线依然是正态曲线. 在正态曲线沿着横轴方向水平移动的过程中,σ 始终保持 不 变 , 所 以 曲 线 的 最 高 点 的 纵 坐 标 即正态密 1 ? ? 2 度函数的最大值 不变,方差 σ ,也没有变化.设曲线 2πσ? ? C1 的对称轴为 x=μ,那么曲线 C2 的对称轴则为 x=μ+2,说明 期望从 μ 变到了 μ+2,增大了 2.
? ? ? ?

[方法规律总结] 利用正态曲线的性质可以求参数 μ、σ (1)正态曲线是单峰的,它关于直线 x=μ 对称,由此性质 结合图象求 μ. 1 (2)正态曲线在 x=μ 处达到峰值 ,由此性质结合图象 σ 2π 可求 σ. (3)由 σ 的大小区分曲线的胖瘦.

关于正态曲线性质的叙述:
(1)曲线关于直线x=μ对称,在x轴上方; (2)曲线关于直线 x= σ 对称,只有当x∈(- 3σ,3σ)时才在x 轴上方; (3) 曲线关于 y 轴对称,因为曲线对应的正态密度函数是一 个偶函数; (4)曲线在x=μ时,处于最高点,由这一点向左、右两边延 伸时,曲线逐渐降低;

(5)曲线的对称轴由μ确定,曲线的形状由σ确定; (6)σ越大,曲线越“矮胖”,σ越小,曲线越“高瘦”.

上述说法正确的是(
A.(1)(4)(5)(6) C.(3)(4)(5)(6)

)
B.(2)(4)(5) D.(1)(5)(6)

[答案] A
[解析] 正态曲线关于直线 x =μ对称,在x =μ时处于最高 点,并且由该点向左、右两边延伸逐渐降低.该曲线总是位于 x 轴上方.曲线的形状由 σ 确定,而且比较若干不同的 σ 对应的 正态曲线,可以发现:σ越大,曲线越“矮胖”,σ越小,曲线

越“高瘦”.

求正态分布在三个特殊区间内取值的概率 设X~N(5,1),求P(6<X≤7). [分析] 由 X ~ N(5,1) 知 μ = 5 , σ = 1 , 故 P(4<X≤6) = 0.6826 , P(3<X≤7) = 0.9544. 由对称性知 P(3<X≤4) = P(6<X≤7) ,

由此可求P(6<X≤7).

[解析]

由 已 知 得 P(4<X≤6) = 0.6826 , P(3<X≤7) =

0.9544, 所以 P(3<X≤4)+P(6<X≤7)=0.9544-0.6826=0.2718, 0.2718 由对称性得 P(3<X≤4)=P(6<X≤7), 所以 P(6<X≤7)= 2 = 0.1359.
[ 方法规律总结 ] 要记住正态总体在三个区间取值的概

率,并会利用对称性将待求区间加以转化.

某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站,由于交通
拥挤,所需时间 ( 单位:分 ) 服从 X ~ N(50,102) ,求他在时间段 (30,70)内赶到火车站的概率. [解析] 因为X~N(50,102),所以μ=50,σ=10, 所以P(30<X≤70)=P(50-2×10<X≤50+2×10)=0.9544, 所以所求概率为0.9544.

正态分布的应用 (2015· 河南八市质量监测 ) 某市在 2015 年 2月份 的高三期末考试中对数学成绩数据统计显示,全市 10000 名学

生的成绩服从正态分布N(115,25),现某校随机抽取了50名学生
的数学成绩分析,结果这 50名同学的成绩全部介于 80 分到 140 分之间.现将结果按如下方式分为 6 组,第一组 [80,90) ,第二 组[90,100),??第六组[130,140],得到如下图所示的频率分布 直方图.

(1) 试估计该校数学的平均成绩 ( 同一组中的数据用该区间
的中点值作代表); (2)这50名学生中成绩在120分(含120分)以上的同学中任意 抽取3人,该3人在全市前13名的人数记为X,求X的分布列和期 望. 附:若 X ~ N(μ , σ2) ,则 P(μ - σ<X<μ + σ) = 0.6826 , P(μ - 2σ<X<μ+2σ)=0.9544,P(μ-3σ<X<μ+3σ)=0.9974.

[解析] (1)由频率分布直方图可知[120,130)的频率为: 1 - (0.01×10 + 0.024×10 + 0.03×10 + 0.016×10 + 0.008×10)=1-0.88=0.12, 所以估计该校全体学生的数学平均成绩约为 85×0.1 + 95×0.24 + 105×0.3 + 115×0.16 + 125×0.12 + 135×0.08 =8.5+22.8+31.5+18.4+15+10.8=107, 所以该校的平均成绩为 107.

13 (2)由于10000=0.0013,根据正态分布: ∵P(115-3×5<X<115+3×5)=0.9974, 1-0.9974 ∴P(X≥130)= =0.0013, 即 0.0013×10000=13, 2 所以前 13 名的成绩全部在 130 分以上, 根据频率分布直方图这 50 人中成绩在 130 分以上(包括 130 分)的有 0.08×50=4 人,而在[120,140]的学生共有 0.12×50+ 0.08×50=10,所以 X 的取值为 0,1,2,3,

C3 20 1 6 所以 P(X=0)=C3 =120=6, 10
1 C2 C 60 1 5 4 P(X=1)= C3 =120=2, 10 2 3 C1 C 36 3 C 4 1 4 4 4 P(X=2)= C4 =120=10,P(X=3)=C2 =120=30. 10 10

所以 X 的分布列为 X P 0 1 6 1 1 2 2 3 10 3 1 30

1 1 3 1 E(X)=0×6+1×2+2×10+3×30=1.2.

某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布 N(70, 102),如果规定低于60分为不及格,求:

(1)成绩不及格的人数占多少?
(2)成绩在80~90间的学生占多少?

[解析]

(1) 设 学 生 的 得 分 情 况 为 随 机 变 量 X , X ~

N(70,102),则 μ=70,σ=10. 分析在 60~80 之间的学生的比为: P(70-10<X≤70+10)=0.6826, 1 所以不及格的学生的比为2(1-0.6826)=0.1587, 即成绩不及格的学生占 15.87%.

(2)成绩在 80~90 内的学生的比为 1 2[P(70-2×10<X≤70+2×10)-0.6826] 1 =2(0.9544-0.6826)=0.1359. 即成绩在 80~90 间的学生占 13.59%.

要准确应用正态分布的对称性转化 随机变量 ξ 服从正态分布 N(0,1) ,如果 P(ξ≤1) = 0.8413,求P(-1<ξ≤0).
[错解] 0.07935. 1 1 P( - 1<ξ≤0) = 2 [1 - P(ξ≤1)] = 2 (1 - 0.8413) =

[辨析] 由于ξ~N(0,1),∴对称轴为x=0, ∴与(-1,0)对称的区间应为(0,1),与(1,+∞)对称的区间

为(-∞,-1).

[ 正解 ]

如图所示,因为 P(ξ≤1) = 0.8413 ,所以 P(ξ>1) = 1

-0.8413=0.1587.所以P(ξ≤-1)=0.1587,所以P(-1<ξ≤0)=0.5
-0.1587=0.3413.

[ 警示 ]

对于 X ~ N(μ , σ2) ,要特别注意 X = μ 为其对称

轴.解答正态分布问题,这是主要着眼点.


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