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全国高中数学竞赛专题-不等式


全国高中数学竞赛专题-不等式 证明不等式就是对不等式的左右两边或条件与结论进行代数变形和化归,而变形的依据是不等式的性质,不等 式的性质分类罗列如下: 不等式的性质: a ? b ? a ? b ? 0, a ? b ? a ? b ? 0. 这是不等式的定义,也是比较法的依据. 对一个不等式进行变形的性质: (1) a ? b ? b ? a (对称性) (2) a ? b ? a ? c ? b ? c (加法保序性) (3) a ? b, c ? 0 ? ac ? bc; a ? b, c ? 0 ? ac ? bc. (4) a ? b ? 0 ? a n ? b n , n a ? n b (n ? N*). 对两个以上不等式进行运算的性质. (1) a ? b, b ? c ? a ? c (传递性).这是放缩法的依据. (2) a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d . (3) a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d . (4) a ? b ? 0, d ? c ? 0, ? 含绝对值不等式的性质: (1) | x |? a(a ? 0) ? x 2 ? a 2 ? ?a ? x ? a. (2) | x |? a(a ? 0) ? x 2 ? a 2 ? x ? a或x ? ?a. (3) || a | ? | b ||?| a ? b |?| a | ? | b | (三角不等式). (4) | a1 ? a2 ? ? ? an |?| a1 | ? | a2 | ??? | an | . 证明不等式的常用方法有:比较法、放缩法、变量代换法、反证法、数学归纳法、构造函数方法等.当然在证 题过程中,常可“由因导果”或“执果索因”.前者我们称之为综合法;后者称为分析法.综合法和分析法是解决一 切数学问题的常用策略,分析问题时,我们往往用分析法,而整理结果时多用综合法,这两者并非证明不等式的特 有方法,只是在不等式证明中使用得更为突出而已.此外,具体地证明一个不等式时,可能交替使用多种方法.因此, 要熟练掌握不等式的证明技巧,必须从学习这些基本的常用方法开始。 a b ? , ad ? bc. c d 1.比较法(比较法可分为差值比较法和商值比较法。) (1)差值比较法(原理:A- B>0 例 1 设 a, b, c∈R+, A>B.) 试证:对任意实数 x, y, z, 有 x2+y2+z2 ? 2 证明:左边-右边= x2+y2+z2 ?2 ? a?b abc b?c c?a ? ? xy ? yz ? xz ? ?. (a ? b)(b ? c)(c ? a) ? c a b ? ? ab bc ca xy ? 2 yz ? 2 xz (b ? c)(c ? a) (a ? b)(c ? a) (a ? b)(b ? c) ? b 2 ab a 2 c bc b 2 x ?2 xy ? y ? y2 ? 2 yz ? z b?c (b ? c)(c ? a) c?a c?a (a ? b)(c ? a) a ?b ? a 2 ca c 2 z ?2 xz ? x a?b (a ? b)(b ? c) b?c 2 2 2 ? b a ? ? c b ? ? a c ? ?? x ? y ? y ? z ? z ? x? ? ? ? ? ? b?c ? ? c?a ? ? a?b ? ? 0. c ? a a ? b b ? c ? ? ? ? ? ? 所以左边≥右边,不等式成

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