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2019届高三适应性测试数学(理科A)试题(2019)

华中师大一附中高三 2019 年五月适应性考试 数学试题(理工农医类) (试卷类型:A)

本试卷共 6 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 祝考试顺利 注意事项: 1. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上,并将准考证号条
形码粘贴在答题卡上指定位置。 2. 选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,
用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答在试题卷上无效。 3. 填空题和解答题用 0.5 毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内,答在
试题卷上无效。 4. 考试结束,请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只
有一项是满足题目要求的。
1.若集合 M ? {y | y ? 2x , x ? R} , P ? {y | y ? x ?1, x ? 1} , 则 M P ?

A. {y | y ? 1}

B. {y | y ? 1}

C. {y | y ? 0}

D. {y | y ? 0}

2.在复平面内,复数 z ? ? 2i 在复平面内所对应的点在 3?i

A. 第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

3.设 (5x ? x )n 的展开式的各项系数之和为 M,二项式系数之和为 N,若 M ? N ? 240 ,

则展开式中 x3 的系数为

A.-150

B.150

C.-500

D.500

4.设{ an }为公比大于 1 的等比数列,若 a2008 和 a2007 是方程 4x2 ? 8x ? 3 ? 0 的两根,则

a2009 ? a2010 =

A.16

B.18

C. 24

D. 27

5. F1, F2 是双曲线的两个焦点,Q 是双曲线上任一点,从焦点 F1 引 ?F1QF2 的平分线的垂

线,垂足为 P,则点 P 的轨迹为

A.直线

B.圆

C.椭圆

D.双曲线

6.对于函数 f (x) ? x3 ? ax2 ? x ?1的极值情况,3 位同学有下列看法:

甲:该函数必有 2 个极值;

乙:该函数的极大值必大于 1;

丙:该函数的极小值必小于 1;

这三种看法中,正确的的个数是

A.0 个

B.1 个

C.2 个

D.3 个

7.将函数 y ? f (x) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,同时将纵坐标缩小到原

来的 1 倍,得到函数 y ? cos(x ? ? ) 的图象.另一方面函数 f (x) 的图象也可以由函数

2

6

y ? 2cos2x ?1的图象按向量 c 平移得到,则 c 可以是

A. ( ? , ?1) 12

B. ( ? ,1) 12

C. (? , ?1) 6

D. (? ,1) 6

8.如果关于 x 的一元二次方程 x 2 ? 2(a ? 3)x ? b2 ? 9 ? 0 中, a 、 b 分别是两次投掷骰

子所得的点数,则该二次方程有两个正根的概率 P ?

A. 1 18

B. 1 9

C. 1 6

D. 13 18

9.若 a , b , c ? 0 且 a(a ? b ? c) ? bc ? 4 ? 2 3 ,则 2a ? b ? c 的最小值为

A. 3 ?1

B. 3 ? 1

C. 2 3 ? 2

D. 2 3 ? 2

10.在四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 a 的正方形,顶点 S 在底面内的射影 O

在正方形 ABCD 的内部(不在边上),且 SO ? ?a ,? 为常数,设侧面 SAB, SBC, SCD, SDA

与底面 ABCD 所成的二面角依次为?1,?2 ,?3,?4 ,则下列各式为常数的是

① cot ?1 ? cot ?2

② cot ?1 ? cot ?3

③ cot ?2 ? cot ?3

④ cot ?2 ? cot ?4
A.①②

B.②④

C.②③

D.③④

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在答题卡对应题号的位 置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写.
11.设函数 y ? f (x) 存在反函数 y ? f ?1(x) ,且函数 y ? 2x ? f (x) 的图象过点 (2, 3) ,

则函数 y ? f ?1(x) ? 2x 的图象一定过点



12.已知函数

f

(x)

?

?? a ?x

?

b x2 ?

x

,

x

?

0



R

上连续,则

a

?b

?



??x ?1,

x?0

13.已知 a 、 b 、 c 、 d ? R? ,且满足下列两个条件:

① a 、 b 分别为回归直线方程 y ? bx ? a 的常数项和一次项系数,其中 x 与 y 之间有

如下对应数据:

x

3

4

y

2.5

3

5

6

4

4.5

② 1 ? 1 ? 1 ;则 ac ? bd 的最小值是



c d 20

14.A、B、C 是球面上三点,且 AB ? 2cm ,BC ? 4cm ,?ABC ? 60 ,若球心 O 到截面 ABC

的距离为 2 2cm ,则该球的表面积为



?

?x ? y ? 3 ? 0?

15.设 M

?

??( x,

y)

|

? ?

y

?

4

? ?



Q 是 x 轴上一个动点,定点 R(2,3) ,当点 P 在 M

? ?

??x ? 1

? ?

所表示的平面区域内运动时,设| PQ | ? | QR | 的最小值构成的集合为 S ,则 S 中最大的数

是. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16.(本小题满分 10 分)(注意:在.试.题.卷.上.作.答.无.效.) 如图,已知 O 为 ?ABC 的外心,a,b,c分别是 角 A、B、
C 的对边,且满足 CO ? AB ? BO ? CA .
(Ⅰ)证明: 2a2 ? b2 ? c2 ;
(Ⅱ)求 tan A ? tan A 的值. tan B tan C A
17.(本小题满分 12 分)(注意:在.试.题.卷.上.作.答.无.效.)

C O
B

某种项目的射击比赛,开始时选手在距离目标 100m 处射击,若命中则记 3 分,且停 止射击.若第一次射击未命中,可以进行第二次射击,但需在距离目标 150m 处,这时命 中目标记 2 分,且停止射击.若第二次仍未命中,还可以进行第三次射击,此时需在距离 目标 200m 处,若第三次命中则记 1 分,并停止射击.若三次都未命中则记 0 分,并停止 射击.已知选手甲的命中率与目标的距离的平方成反比,他在 100m 处击中目标的概率为
1 ,且各次射击都相互独立. 2
(Ⅰ)求选手甲在三次射击中命中目标的概率;
(Ⅱ)设选手甲在比赛中的得分为? ,求? 的分布列和数学期望.

18.(本小题满分 12 分)(注意:在.试.题.卷.上.作.答.无.效.) 如图,在多面体 ABCD ? A1B1C1D1中,上、下两个底面 ABCD 和 A1B1C1D1 互相平行,
且都是正方形, DD1 ? 底面 ABCD , AB ? 2A1B1 ? 2DD1? 2a . (Ⅰ)求异面直线 AB1 与 DD1 所成的角的余弦值; (Ⅱ)试在平面 ADD1A1 内确定一个点 F ,使得 FB1 ? 平面 BCC1B1 ; (Ⅲ)在(Ⅱ)条件下,求二面角 F ? CC1 ? B 的余弦值.

D1

C1

A1

B1

D C

A

B

19.(本小题满分 13 分)(注意:在.试.题.卷.上.作.答.无.效.)

以 F1(0, ?1), F2 (0,1) 为焦点的椭圆 C 过点 P (

2 ,1). 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;
(Ⅱ)过点 S ( ? 1 ,0)的动直线 l 交椭圆 C 于 A、 B 两点,试问:在坐标平面上是否存 3
在一个定点T ,使得无论 l 如何转动,以 A B 为直径的圆恒过点T ? 若存在,求出点T 的
坐标;若不存在,请说明理由.

20.(本小题满分 14 分)(注意:在.试.题.卷.上.作.答.无.效.)
对于函数 f (x) ,若存在 x0 ? R, 使得 f (x0 ) ? x0. 则称 x0 为函数 f (x) 的一个不动

点.比如函数 h(x) ? ln(1? x) 有唯一不动点 x ? 0. 现已知函数 f (x) ? x2 ? a 有且仅有两个 bx ? c

不动点 0 和 2. (Ⅰ)试求 b 与 c 的关系式;

(Ⅱ)若 c

?

2 ,各项不为

0

的数列 ?an ?满足 4Sn

?

f

1 ( an

)

?

1, 其中 S n

为?an ?的前 n



和,试求?an ?的通项公式;

? ? (Ⅲ)设 bn

?

?1 an

,Tn为数列

bn

的前n项和. 记 A ? T2009 , B ? ln 2010,C ? T2010

?1, 试

比较 A,B,C 的大小,并说明理由.

21.(本小题满分 14 分) (注意:在.试.题.卷.上.作.答.无.效.)

已知定义在实数集上的函数 fn (x) ? xn , n? N? ,其导函数记为 fn?(x) ,且满足:

f2 (?2 )

?

f2 (?1) ? (?2

? ?1) f2?[?1

?

1 ?

(?2

? ?1)]

(?1

? ?2)

, ?,?1,?2 为常数.

(Ⅰ)试求 ? 的值;

(Ⅱ)设函数 f2n?1(x) 与 fn (1? x) 的乘积为函数 F(x) ,求 F(x) 的极大值与极小值;

(Ⅲ)试讨论关于 x 的方程

fn?(1 ? x) fn??1(1 ? x)

?

?n ?1 ? n?1 ?1

在区间

(0,1)

上的实数根的个数.


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