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全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷+Word版含答案

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2018 全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷

一、填空题(本题共 10 小题,每小题 107 分,满分 70 分.要求直接将答案写在横线上.)

1.函数 y ? cos x ? cos 2x(x ?R) 的值域为__

.

2.已知 (a ? bi)2 ? 3 ? 4i ,其中 a,b ? R , i 是虚数单位,则 a?? b?的值为__

.

3. 圆 心 在 抛 物 线 x?? 2 y 上 , 并 且 和 该 抛 物 线 的 准 线 及 y 轴 都 相 切 的 圆 的 方 程 为

__

.

4.设函数

f

(x)

?

1? 4x 2x

?

x

,则不等式

f

(1 ?

x2) ?

f

(5x ? 7)

?

0

的解集为__

___.

5.已知等差数列{an}的前 12 项的和为 60,则 a1 ? a2 ? ? a12 的最小值为__

.

6.已知正四面体内切球的半径是 1,则该四面体的体积为___

__.

7. 在 ?ABC 中 , AB ? 5,AC ? 4 , 且 AB ? AC ? 12 , 设 P 是 平面 ABC 上 的 一 点, 则

PA ? (PB ? PC) 的最小值为_____

.

n
? 8.设 g(n) ? (k, n) ,其中 n ? N* , (k, n) 表示 k 与 n 的最大公约数,则 g(100) 的值为 k ?1

=__

.

9.将1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9 ,这 9 个数随即填入 3?3 的方格中,每个小方格恰填写一个数,且所

填的数各不相同,则使每行、每列所填的数之和都是奇数的概率为__

.

10.在1, 2,3, 4, ,1000 中, 能写成 a?? b??1(a,b ? N) 的形式,且不能被 3 整除的数有__

____个. 二、解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分)
11.如图,在平面直角坐标系 xoy 中,已知圆 O 的方程为 x2 ? y2 ? 4 ,过点 P(0,1) 的直线 l 与 圆 O 交于 A, B 两点,与 x 轴交于点 Q ,设 QA ? ? PA,QB ? ? PB ,求证: ? ? ? 为定值.
12.已知{an}是公差为 d (d ? 0) 的等差数列,且 a1 ? t2 ? a2 ? t3 ? a3 ? t , (1)求实数 t,d 的值; (2)若正整数满足 m<p<r,am ? 2tm ? ap ? 2t p ? ar ? 2tr ? 0 ,求数组 (m, p, r) 和相应的 通项公式 an . 13.如图,在圆内接四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 交于点 P , ?ABD 与 ?ABC 的内心 分别为 I1 和 I 2 ,直线 I1I2 分别与 AC,BD 交于点 M , N ,求证: PM ? PN .
14.从1, 2,3, , 2050 这 2050 个数中任取 2018 个数组成集合 A ,把 A 中的每个数染上红色或

蓝色,求证:总存在一种染色方法,是使得有 600 个红数及 600 个蓝数满足下列两个条件:
①这 600 个红数的和等于这 600 个蓝数的和; ②这 600 个红数的平方和等于这 600 个蓝数的平方和.

一、填空题
1.[0, 9]; 8
2. 5 ; 3. (x ?1)2 ? ( y ? 1)2 ? 1 ;
2 4. (2,3) ;

参考答案

5. 60 ;

6. 8 3 ;

7. ? 65 ; 8
8. 520; 9. 1 ;
14 10. 501;

二、解答题
11. 8 3
证明:当 AB 与 x 轴垂直时,此时点 Q 与点 O 重合

从而 ? ? 2 , ? ? 2 , ? ? ? ? 8 .

3

3

当点 Q 与点 O 不重合时,直线 AB 的斜率存在.



AB

:

y

?

kx

?1,

A( x1 ,

y1 ),

B(

x2

,

y2

)

,则

Q(?

1 k

,

0)

.

由题设得:

x1

?

1 k

?

?

x1



x2

?

1 k

? ? x2 ,即 ? ? ?

?

1 kx1

?1? 1 kx2

? 2?

x1 ? x2 kx1x2

.

将 y ? kx ?1代入 x2 ? y2 ? 4 ,得 (1? k 2 )x2 ? 2kx ?3 ? 0 ,

则?

?

0,

x1

?

x2

?

?2k 1? k2



x1x2

?

?3 1? k2

.

所以 ? ? ? ? 2 ? ?2k ? 8 . ?3k 3

综上, ? ? ? 为定值 8 . 3

12.

①t

??1 2

,d

?

3 8

;②

(m,

p,

r)

?

(1,

3,

4)



an

?

1 (3n ?11) ; 8

解:(1)由题, ???a1 ??a1

? t2 ? a1 ? d ? d ? t3 ? a1

? t3, ? 2d

? t,



??d ?

?? d

? ?

t2 t3

? t3, ? t,

因为 d ? 0 ,所以 t ? 0,t ? 1,所以由 2t2 ? t ?1 ? 0 得 t ? ? 1 , d ? 3 . 28

(2)由 an

? 2tm

?

ap

? 2t p

?

ar

? 2t r

?

0,t

?

?

1,d 2

?

3 8



得 ( p ? m)d ? 2 [(? 1) p ? (? 1)m ] ,及 (r ? p)d ? 2[(? 1)r ?(? 1) p ] ,

2

2

2

2

即 3 ( p ? m) ? 2 [(? 1) p ? (? 1)m ] ,及 3 (r ? p) ? 2[(? 1)r ?(? 1) p ] ,

8

2

2

8

2

2

也即 3( p ? m) ? 24 [(? 1) p ? (? 1)m ] ,及 3(r ? p) ? 24[(? 1)r ?(? 1) p ] ,

2

2

2

2

两式左边都是正整数,故 m ? p ? r ? 4 ,且 m, p 都是奇数,

所以 m ? 1, p ? 3 , r ? 4, a1 ? ?1 .

验证如下:

a1

?

2(?

1 2

)

?

?1

?2(?

1 2

)

?

0



a3

?

2(?

1 )3 2

?

9 8

?

11 8

?

2(?

1 )3 2

?

0



a4

? 2(?

1)4 2

?

12 8

?

11 ? 8

2(?

1)4 2

?

0.

所以 (m,

p, r)

?

(1,3, 4)

, an

?

?1?

3 (n 8

?1)=

3n 8

? 11. 8

13.

证明:因为 I1, I2 分别为 ?ABD 和 ?ABC 的内心,

所以 ?I1AB

?

1 2

?DAB



?I1BA

?

1 2

?DBA ,

?I2

AB

?

1 2

?CAB



?I 2 BA

?

1 2

?CBA



故 ?AI1B ? 180

?1 2

(?DAB ? ?DBA) ,

?AI2B ? 180

?1 2

(?CAB ? ?CBA) .

在 ?ABD 和 ?ABC 中, ?ADB ? ?ACB ,

所以 ?DAB ? ?DBA ? ?CAB ? ?CBA,

从而 ?AI1B ? ?AI2B ,故 A, I1, I2 , B 四点共圆.

因此 ?I1I2 A

?

?I1BA

?

1 2

?DBA ,

则 ?PMN

?

?MAI2

?

?MI2 A

?

1 2

(?CAB

? ?DBA)

.

同理, ?PNM ? 1 (?CAB ? ?DBA) . 2

所以 ?PMN ? ?PNM ,即 PM ? PN .

14. 证 明 一 : 注 意 到 1? 4 ? 6 ? 7 ?

2 ? 3? 5?8 ?18

,且

12 ? 42 ? 62 ?22 ? 72 ?32 ? 52 ? ,82 ? 1 0 2

则 (8k ?1) ? (8k ? 4) ? (8k ? 6) ?(8k ? 7) ? (8k ? 2) ? (8k ? 3) ? (8k ? 5) ?(8k ? 8) ,


(8k ?1)2 ? (8k ? 4)2 ? (8k ? 6)2 ? (8k ? 7)2 ? (8k ? 2)2 ? (8k ? 3)2 ? (8k ? 5)2 ? (8k ? 8)2 .

把 A 中的 8k ?1,8k ? 4 , 8k ? 6,8k ? 7 型数染成红色,

8k ? 2,8k ? 3 , 8k ? 5,8k ? 8 型数染成蓝色. 因为 2050 ? 8?256 ? 2 ,所以 k ? 0,1, 2, , 256 . 构造 257 个抽屉,第 k ?1 个抽屉放置形如“ 8k ?1,8k ? 2,8k ? 3 , 8k ? 4,8k ? 5,8k ? 6 , 8k ? 7,8k ? 8 ”的数, k ? 0,1, 2, , 255 .第 257 个抽屉放置 A 中大于 2048 的数(最多 2 个
数).
2050 个数中任取 2018 个数按要求放入抽屉,至少填满 224 个抽屈(放入了8 个数), 224 个 填满数的抽屉每个抽屉都是 4 个红数和 4 个蓝数,其和相等且平方和相等. 取 224 个抽屉中的150个, 4?150 ? 600 ,共 600 个红数与 600 个蓝数,也有和相等,且平
方和相等.
即存在 600 个红数与 600 个蓝数,这 600 个红数与 600m 个蓝数的和相等,且平方和相等. 证明二:注意到 4 ? 5 ?1? 2 ? 6 ? 9,且 42 ? 52 ? 12 ? 22 ? 62 ? 41. 则 7k ? (7k ? 4) ? (7k ? 5) ? (7k ?1) ? (7k ? 2) ? (7k ? 6) , 且 (7k)2 ? (7k ? 4)2 ? (7k ? 5)2 ? (7k ?1)2 ? (7k ? 2)2 ?(7k ? 6)2 . 把 A 中的 7k , 7k ? 3, 7k ? 4, 7k ? 5 型数染成红色, 7k ?1, 7k ? 2, 7k ? 6 型数染成蓝色. 因为 2050 ? 7? 292 ? 6 ,所以 k ? 0,1, 2, , 292 . 构造 293个抽屉, k ? 0 时,抽屉放置集合 A 中不超过 6 的数,其余的第 k ?1 个抽屉放置形 如 7k, 7k ?1, 7k ? 2, 7k ? 3, 7k ? 4, 7k ? 5, 7k ? 6型数, k ? 0,1, 2, , 292 .
2050 个数中任取 2018 个数按要求放入抽展,至少填满 260 个抽屉(放入了 7 个数),260 个
填满数的抽屉中每个抽屉都是 4 个红数和 3 个蓝数。取 7k, 7k ? 4, 7k ? 5 型 3 个红数和 3 个蓝
数,其和相等且平方和相等.
取 260 个抽屉中的 200 个, 3?200 ? 600 ,共 600 个红数与 600 个蓝数,也有和相等,且平
方和相等. 即存在 600 个红数与 600 个蓝数,这 600 个红数与 600 个蓝数的和相等,且平方和相等.