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[教案精品]新课标高中数学人教A版必修二全册教案4.2.1直线与圆的位置关系


4.2.1

直线与圆的位置关系

(一)教学目标 1.知识与技能 (1)理解直线与圆的位置的种类; (2)利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线 的距离; (3)会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系. (二)过程与方法 设直线 l:ax + by + c = 0,圆 C:x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0,圆的 半径为 r,圆心 (? D , ? E ) 到直线的距离为 d,则判别直线与圆的位置关
2 2

系的依据有以下几点: (1)当 d>r 时,直线 l 与圆 C 相离; (2)当 d=r 时,直线 l 与圆 C 相切; (3)当 d<r 时,直线 l 与圆 C 相交; 3.情态与价值观 让学生通过观察图形,理解并掌握直线与圆的位置关系,培养学 生数形结合的思想. (二)教学重点、难点 重点:直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法. 难点:用坐标法判定直线与圆的位置关系. (三)教学过程设想 教学环 设计意 教学内容 师生互动 节 图 启 发 学 生 由 图 形 师;让学生之间进行 获 取 判 1. 初中学过的 讨论、交流,引导学生观 断 直 线 复习引 平面几何中,直线 察图形,导入新课. 与 圆 的 入 与圆的位置关系有 生:看图,并说出自 位 置 关 几类? 己的看法. 系 的 直 观认知, 引 入 新 课. 概念形 2. 直线与圆的 师:引导学生利用类 得



位置关系有哪几种 呢?三种 (1) 直线与圆 相交,有两个公共 点. (2) 直线与圆 相切,只有一个公 共点. (3) 直线与圆 相离,没有公共点. 3.在初中,我 们怎样判断直线与 圆的位置关系呢? 如何用直线与圆的 方程判断它们之间 的位置关系呢?

比、归纳的思想,总结直 线与圆的位置关系的种 类,进一步深化“数形结 合”的数学思想. 生:观察图形,利用 类比的方法, 归纳直线与 圆的位置关系.

出 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 的 几 何 特 征 与种类.

师:引导学生回忆初 中判断直线与圆的位置 关系的思想过程. 生:回忆直线与圆的 位置关系的判断过程.

使 学 生 回 忆 初 中 的 数 学 知识,培 养 抽 象 概 括 能 力. 抽 象 判 断 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 的 思 路 与方法. 体 会 判 断 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 的 思 想 方法,关 注 量 与 量 之 间

概念深 4. 你能说出判 化 断直线与圆的位置 关系的两种方法 吗? 方法一:利用 圆心到直线的距离 d. 方法二:利用 直线与圆的交点个 数. 5. 你能用两种 判断直线与圆的位 置关系的数学思想 解决例 1 的问题 应用举 吗? 例

师:引导学生从几何 的角度说明判断方法和 通过直线与圆的方程说 明判断方法. 生:利用图形,寻找 两种方法的数学思想.

师:指导学生阅读教 科书上的例 1. 生:仔细阅读教科书 上的例 1,并完成教科书 第 140 页的练习题 2. 例 1 解法一: 由直 例 1 如图, 线 l 与圆的方程,得 ① ?3x ? y ? 6 ? 0 已知直线 l : 3x + y ? 2 2 ?x ? y ? 2 y ? 4 ? 0 ② – 6 = 0 和圆心为 C

的圆 x2 + y2 –2y – 4 消去 y, 得 x2 – 3x + 2 的关系. = 0,判断直线 l 与 = 0, 使 2 圆的位置关系;如 因为△= (–3) – 4× 学 生 熟 果相交,求它们交 1×2 悉 判 断 点的坐标. = 1>0 直 线 与 所以,直线 l 与圆相 圆 的 位 交,有两个公共点. 置 关 系 2 2 解法二:圆 x + y 的 基 本 –2y – 4 = 0 可化为 x2 + (y 步骤. – 1)2 =5,其圆心 C 的坐 分析: 方法一: 标为 (0, 1) , 半径长为 5 , 由直线 l 与圆的位 点 C (0,1)到直线 l 的距 置关系,就是看由 离 6| 5 它们的方程组成的 ? d = | 3 ? 02? 1 ? < 2 10 3 ?1 方程组有无实数 解;方法二,可以 5 . 依据圆心到直线的 所以, 直线 l 与圆相 距离与半径长的关 交,有两个公共点. 系,判断直线与圆 由 x2 –3x + 2 = 0,解 的位置关系. 得 x1 =2,x2 = 1. 把 x1=2 代入方程①, 得 y1 = 0 ; 把 x2=1 代入方程①, 得 y2 = 0 ; 所以, 直线 l 与圆有 6. 通过学习教 两个交点,它们的坐标分 科书的例 1 ,你能 别是 总结一下判断直线 A (2,0),B (1,3). 与圆的位置关系的 步骤吗? 生:阅读例 1. 师:分析例 1,并展 示解答过程; 启发学生概 括判断直线与圆的位置 例 2 已知过 关系的基本步骤, 注意给 点 M (–3,–3)的直 学生留有总结思考的时 线 l 被圆 x2 + y2 + 间. 4y –21 = 0 所截得 生:交流自己总结的

的弦长为 4 5 , 求直 步骤. 线 l 的方程. 师:展示解题步骤. 例 2 解:将圆的方 程写成标准形式,得 x2 + (y2 + 2)2 =25, 所以, 圆心的坐标是 (0,–2),半径长 r =5. 如图, 因为直线 l 的距 离为 4 5 ,所以弦心距为
52 ? ( 4 5 2 ) ? 5 2



即圆心到所求直线 l 的距 离为 5 . 因为直线 l 过点 M (–3,–3),所以可设所求 直线 l 的方程为 y + 3 = k (x + 3), 即 k x – y + 3k –3 = 0. 根据点到直线的距 离公式,得到圆心到直线 l 的距离 d = | 2 ? 32k ? 3 | .
k ?1

因此, | 2 ? 32k ? 3 | ?
k ?1

5,

即|3k – 1| = 5 ? 5k 2 , 两边平方,并整理得 到 2k2 –3k –2 = 0, 解得 k = 1 ,或 k =2.
2

所以, 所求直线 l 有

两条, 它们的方程分别为 y + 3 = ? 1 (x + 3),
2

或 y + 3 = 2(x + 3). 即 x +2y = 0,或 2x – y + 3 = 0. 师:指导学生阅读并 7. 通过学习教 完成教科书上的例 2,启 进 科书上的例 2,你 发学生利用“数形结合” 一 步 深 能说明例 2 中体现 的数学思想解决问题. 化“数形 出来的数学思想方 生:阅读教科书上的 结合”的 法吗? 例 2,并完成 137 页的练 数 学 思 8. 通过例 2 的 习题. 想. 学习,你发现了什 师:引导并启发学生 明 么? 探索直线与圆的相交弦 确 弦 长 半弦、 弦心距、 的求法. 的 运 算 半径构成勾股弦关 生: 通过分析、 抽象、 方法. 系. 归纳, 得出相交弦长的运 算方法. 巩 固 所 学 过 的 知 师:引导学生完成练 9. 完成教科书 识,进一 习题. 第 136 页的练习题 步 理 解 生: 互相讨论、 交流, 1、2、3、4. 和 掌 握 完成练习题. 直 线 与 圆 的 位 置关系. 10.课堂小结: 教师提出下列 问题让学生思考: 回 ( 1 )通过直线 顾 、 反 归纳总 与圆的位置关系的 师生共同回顾 思、总结 结 判断,你学到了什 形 成 知 么? 识体系 ( 2 )判断直线 与圆的位置关系有

几种方法?它们的 特点是什么? ( 3 )如何求出 直线与圆的相交弦 长? 布置作业: 课外作 见习题 4.2 第 业 一课时

学生独立完成

巩 固 所 学 知识

备选例题
例 1 已知圆的方程 x2 + y2 = 2,直线 y = x + b,当 b 为何值时, (1)圆与直线有两个公共点; (2)圆与直线只有一个公共点; (3)圆与直线没有公共点. 解法 1:圆心 O (,0)到直线 y = x + b 的距离为 d ? | b | ,圆的半径
2
r? 2.

(1)当 d<r,即–2<b<2 时,直线与圆相交, 有两个公共点; (2)当 d = r,即 b= ?2 时,直线与圆相切,有 一个公共点; (3)当 d>r,即 b>2 或 b<–2 时,直线与圆相离, 无公共点. 解法 2:联立两个方程得方程组 ? x
? ? y2 ? 2 .消去 y2 得 ?y ? x ? b
2

2x2 + 2bx + b2 – 2 = 0, ? =16 – 4b2. (1)当 ? >0,即–2 <b<2 时,直线与圆有两个公共点; (2)当 ? =0,即 b ? ?2 时,直线与圆有一个公共点; (3)当 ? <0 即 b>2 或 b<–2 时,直线与圆无公共点. 例 2 直线 m 经过点 P (5,5)且和圆 C:x2 + y2 = 25 相交,截得 弦长 l 为 4 5 ,求 m 的方程. 【解析】设圆心到直线 m 的距离为 d,由于圆的半径 r = 5,弦 长的一半 l
2 ?2 5,

所以由勾股定理,得: d ? 由 | 5 ? 5k2 | ?
1? k

52 ? (2 5)2 ? 5 ,

所以设直线方程为 y – 5 = k (x – 5) 即 kx – y + 5 – 5k = 0.
5

,得 k ? 1 或 k = 2.
2

所以直线 m 的方程为 x – 2y + 5 = 0 或 2x – y – 5 = 0. 例 3 已知圆 C: x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0. 问是否存在斜率为 1 的 直线 l, 使 l 被圆 C 截得弦 AB 满足:以 AB 为直径的圆经过原点. 【解析】 假设存在且设 l 为: y = x + m, 圆 C 化为(x – 1)2 – (y + 2)2 = 9,圆心 C (1,–2). 解方程组 ? ?
y ? x?m 得 ? y ? 2 ? ?( x ? 1)

AB 的中点 N 的坐标 N (? m ? 1 , m ?1) ,
2 2

由于以 AB 为直径的圆过原点,所以|AN| = |ON|. 又 | AN |?
| ON |? ( ? | CA |2 ? | CN |2 ? 9 ? m ?1 2 m ?1 2 ) ?( ) 2 2
2

(m ? 3) 2



所以 9 ? (3 ? m ) ? (m ? 1) ? ( m ?1)2
2 2 2

解得 m = 1 或 m = –4. 所以存在直线 l,方程为 x – y + 1 = 0 和 x – y – 4 = 0, 并可以检验,这时 l 与圆是相交于两点的.


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