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mg8388.vip:黑龙江省大庆十中2018_2019学年高二数学上学期期末考试试题文

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2018-2019 学年度第一学期高二数学(文科)期末测试题

(时间:120 分钟 满分:150 分) 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上
第 I 卷(选择题) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)

1.抛物线 y 2 ? 4x 的焦点坐标为(

)

A. (0,1)

B. (0,2)

C. (1,0)

D. (2,0)

2.已知两条直线 y=ax-2 和 y=(2-a)x+1 互相平行,则 a 等于 ( )

A. 2

B. 1

C. 0

D. -1

3.双曲线

的实轴长是( )

A.

B. 2

C.

D. 4

4.x>2 是 x2 ? 4 的 (



A. 充分不必要条件 C. 既充分又必要条件

B. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件

5.已知命题 p :“ ?x ?R , x ? 2 ? 3”,那么 ?p 是( )

A. ?x ?R , x ? 2 ? 3 ,

B. ?x ?R , x ? 2 ≥3

C. ?x ? R , x ? 2 ? 3

D. ?x ? R , x ? 2 ≥3

6.双曲线

的渐近线方程是( )

A.

B.

C.

D.

7.已知椭圆的离心率为 1 ,焦点是(-3,0),(3,0),则椭圆方程为( ) 2

A. x2 ? y2 ? 1 B. x2 ? y2 ? 1

36 27

36 27

C. x2 ? y2 ? 1 27 36

D. x2 ? y2 ? 1 27 36

8.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为( )

A. 4

B. 9

C. 16

D. 21

- 1 - / 14

9.函数 f ? x? ?12x ? x3 有区间??3,3? 上的最大值为( )

A. ?16

B. ?9

C. 9

D. 16

10.若“ ”为假命题,则下列命题中,一定为真命题的是( )

A.

B.

C.

D.

11.若方程 x 2 ? y 2 ? 1表示双曲线,则实数 k 的取值范围是( ) k ?2 5?k

A. 2 ? k ? 5

B. k ? 5

C. k ? 2 或 k ? 5 D.以上答案均不对

12.已知函数

是 上的增函数,则 的取值范围( )

A.

B.

C.

D.

第 II 卷(非选择题) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13. f ?(x) 是 f (x) ? 1 x3 ? 2x ? 1的导函数,则 f ?(?1) =__________。 3
14.某校高中共有 720 人,其中理科生 480 人,文科生 240 人,现采用分层抽样的方法从中
抽取 90 名学生参加调研,则抽取理科生的人数__________.
15.从甲、乙、丙、丁 4 名学生中随机选出 2 人,则甲被选中的概率为__________.
- 2 - / 14

16 . 已 知 函 数 f ( x)? x3 ? a x2 ? b x? 2a ?7 在a x ? 1 处 取 得 极 大 值 10 , 则 a ? b 的 值





三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分;其中 17 题 10 分,其他每道大题 12 分)

17.已知直线 l1 : 2x ? y ?1 ? 0 ,直线 l2 经过点 P ?1, 0? 且与 l1 垂直,圆 C : x2 ? y2 ? 4 y ? 3 ? 0 .
(I)求 l2 方程; (Ⅱ)请判断 l2 与 C 的位置关系,并说明理由.

18.椭圆的两个焦点的坐标分别为 F1(﹣2,0),F2(2,0),且椭圆经过点( ,﹣ ) (1)求椭圆标准方程. (2)求椭圆长轴长、短轴长、离心率.

19.已知函数 f (x) ? 1 ax2 ? (a ?1)x ? ln x . 2
(1)当 a ? 2 时,求曲线 y ? f (x) 在点(1,f(1))处切线的斜率;
(2)当 a=3 时,求函数 f (x) 的单调区间.

- 3 - / 14

20.如图,在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,已知 D ,E 分别为 BC ,B1C1 的中点,点 F 在棱 CC1 上,且 EF ? C1D .求证: (1)直线 A1E ∥平面 ADC1 ; (2)直线 EF ?平面 ADC1 .

21.已知函数

.

(1)当 时,求函数的极值; (2)求函数的单调区间.

? ? 22.已知椭圆 ? :

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

? 0) 的右焦点为 F2

2

2,0

,且椭圆 ? 上的一点 M 到其

两焦点 F1, F2 的距离之和为 4 3 . (1)求椭圆 ? 的标准方程;
(2)设直线 l : y ? ?x ? m,?m? R? 与椭圆 ? 交于不同两点 A, B ,且 AB ? 3 2 .若点
? ? P?x0,2? 满足 PA ? PB ? AB ? 0 ,求 x0 .

- 4 - / 14

1.C

参考答案

【解析】
试题分析:抛物线 y 2 ? 4x 中 2 p ? 4? p ? 2? p ? 1 ,所以焦点为 (1,0) 2
考点:抛物线方程及性质

2.B

【解析】∵ 直线 y ? ax ? 2 和 y ? ?2 ? a? x ?1互相平行

∴ a ? 2 ? a ,即 a ?1 经检验当 a ?1时两直线不重合.
故选 B 3.D

【解析】双曲线 故答案为:D. 4.A

可化为

故实轴长为

【解析】 x ? 2 ? x2 ? 4; x2 ? 4 ? x ? ?2,或x ? 2 . x2 ? 4 ?? x ? 2 .故选 A

5.D 【解析】

试题分析:全称命题"? x ? M, p(x)" 的否定是特称命题"?x0 ? M, ?p(x0 )" ,故选 D.
考点:全称命题的否定. 6.C 【解析】 【分析】

根据双曲线方程得渐近线方程为 【详解】

,化简得结果.

因为双曲线

的渐近线方程为

,化简得 - 5 - / 14

,选 C.

【点睛】 本题考查根据双曲线标准方程求渐近线方程,考查基本分析求解能力.属基础题. 7.A

【解析】依题意可得

??e ? ??c

? ?

c a 3

?

1 2

,解得

?a ??c

?6 ?3

,所以 b2

?

a2

?

c2

?

27 。因为焦点坐标

(?3, 0)

在 x 轴上,所以椭圆方程为 x2 ? y2 ? 1 ,故选 A 36 27
8.B 【解析】 【分析】 由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值,模拟程序 的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案. 【详解】 模拟程序的运行,可得

执行循环体

不满足条件 ,执行循环体,

不满足条件 ,执行循环体,



此时,满足条件 ,退出循环,输出 的值为 9. 故选:B. 【点睛】 本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正确的结论, 是基础题. 9.D
【 解 析 】 因 为 f ?? ? ?x1 2 ?2 3x? ? ???3 x ? ? 2, x 所? 2以 令 f ?? ? ?x1 2 ?2 3x? ? ???3 x ? ? 2 x 可 ? 2 得 ? 0x ? ?2 x ?, ,2 求 得 f ??3? ? ?9, f ?3? ? 9, f ??2? ? ?16, f ?2? ?16,故函数 f ?x? ?12x ? x3 有区间??3,3? 上的
- 6 - / 14

最大值为16 ,应选答案 D。
10.D 【解析】若“ ”为假命题,则 或 为假,即两者至少有一个是假命题.

即有三种情况: 假 真, 真 假, 假 假.

假 假时 A 不正确;

真 假时 B 不正确;

假 真, 真 假 C 不正确;

和 至少有一个为真,D 正确;故选 D. 11.A 【解析】
试题分析:解:,由方程 x 2 ? y 2 ? 1 表示双曲线,根据双曲线标准方程的特点,有 k ?2 5?k
?k ? 2??5?k? ? 0
解之得: 2 ? k ? 5 ,故选 A.
考点:1 双曲线的标准方程;2、一元二次不等式的解法. 12.C

【解析】分析:由函数单增得

在 上恒成立,即

,所以有 ,从而得解.

详解:函数

,求导得:

.

由函数

是 上的增函数,可得

在 上恒成立.



,所以有:

.

解得

.

故选 C. 点睛:函数单调性的应用

(1)若可导函数 f(x)在(a,b)上单调递增,则 ≥0 在区间(a,b)上恒成立;要检验 不能 恒为 0.

- 7 - / 14

(2)若可导函数 f(x)在(a,b)上单调递减,则 ≤0 在区间(a,b)上恒成立;要检验 不能 恒为 0. 13.3 【解析】 试题分析: f (x) ? 1 x3 ? 2x ?1? f '(x) ? x2 ? 2? f '(?1) ? 1? 2 ? 3
3
考点:函数求导数 14.60 【解析】 由题意结合分层抽样的概念可得:

抽取理科生的人数为

.

15. 1 2

【解析】从甲、乙、丙、丁 4 名学生中随机选出 2 人,基本事件总数 n ? C42 ? 6 ,甲被选中

包含的基本事件个数为 m ? C11C31

?3,

? 甲被选中的概率

p

?

m n

?

3 6

?

1 2

,故答案为 1 2

.

16.3.

【解析】

试题分析:因为 f (x) ? x3 ? ax2 ? bx ? a2 ? 7a ,所以 f ' (x) ? 3x 2 ? 2ax ? b ;又因为函数

f (x) ? x3 ? ax2 ? bx ? a2 ? 7 a在 x ? 1处取得极大值 10,所以 f ' (1) ? 3 ? 2a ? b ? 0

f (1) ? 1 ? a ? b ? a2 ? 7a ? 10 ;所以 a2 ? 8a ?12 ? 0 ,解得 a ? ?2,b ? 1或 a ? ?6,b ? 9 . 当 a ? ?2,b ? 1时, f ' (x) ? 3x2 ? 4x ? 1 ? (3x ?1)( x ?1) ,当 1 ? x ? 1时, f ' (x) ? 0 ;当
3 x ? 1时, f ' (x) ? 0 .所以 f (x) 在 x ? 1处取得极小值,与题意不符;当 a ? ?6,b ? 9 时,

f ' (x) ? 3x2 ?12 x ? 9 ? 3(x ?1)( x ? 3) ,当 x ? 1时,f ' (x) ? 0 ;当 3 ? x ? 1时,f ' (x) ? 0 ,

所以 f (x) 在 x ? 1处取得极大值,符合题意.所以 a ? b ? ?6 ? 9 ? 3 .故应填 3.
考点:利用导数研究函数的极值.
17.(Ⅰ) x ? 2y ?1 ? 0 (II) 直线 l2 与圆 C 相离.

- 8 - / 14

【解析】试题分析:(1)根据题意得到直线

l2

斜率为

?

1 2

,直线

l2

经过点

P

?1,0?

,通过这两

点可得到直线方程;(2)求出圆心到直线的距离 d ?

3 5

? 1,直线 l2 与圆 C

相离。

解析:

(Ⅰ)直线 l2 的斜率为 2 ,

故直线

l2

的斜率为

?

1 2



因为直线 l2 经过点 P?1,0? ,

所以直线 l2 的方程为:

y ? 0 ? ? 1 ? x ?1? ,即 x ? 2y ?1 ? 0 .
2

(II)由圆 C : x2 ? y2 ? 4 y ? 3 ? 0 整理得, x2 ? ? y ? 2?2 ? 1,

所以圆 C 的圆心坐标为 ?0,2? ,半径为 1.

2?2 ?1

设点 C 到直线 l2 距离 d, d ?


12 ? 22

因为 d ? 3 ? 1, 5

所以直线 l2 与圆 C 相离.

18.(1)椭圆的标准方程为: + =1,

(2)椭圆的长轴长:2 ,短轴长 2 ,离心率 e= = . 【解析】 试题分析:(1)设椭圆的标准方程为 + =1(a>b>0),结合两点之间距离公式,求出 2a,

进而求出 b,可得椭圆标准方程. (2)由(1)中椭圆标准方程,可得椭圆长轴长、短轴长、离心率.
解:(1)设椭圆的标准方程为 + =1(a>b>0),

则 2a=

+ - 9 - / 14

=2 ,

即 a= , 又∵c=2, ∴b2=a2﹣c2=6,

故椭圆的标准方程为: + =1,

(2)由(1)得: 椭圆的长轴长:2 ,
短轴长 2 , 离心率 e= = .

考点:椭圆的简单性质;椭圆的标准方程.

19.(1)y+2=0 (2)增区间 (0, 1),(1,??) 减区间 (1 ,1)

3

3

【解析】

试题分析:(1)由函数解析式求得 f ?1? ,得到点的坐标,由函数的导数求得 f ' ?1? 得到直线

的斜率,得到直线方程;(2)由函数求得函数的导函数,由 f ' ? x? ? 0 得到增区间,由 f ' ? x? ? 0
得到减区间
试题解析:(1) f (x) ? x2 ?3x ? ln x? f ?1? ? ?2 , f '(x) ? 2x ? 3 ? 1 ? f '(1) ? 0 ,所以切
x 线为 y ? ?2? y ? 2 ? 0

( 2 ) f (x) ? 3 x2 ? 4x ? ln x? f ' ? x? ? 3x ? 4 ? 1 ? 3x2 ? 4x ?1 ? ? x ?1??3x ?1? , 令

2

x

x

x

f ' ? x? ? 0得 0 ? x ? 1 , x ? 1 ,所以增区间为 (0, 1),(1,??) ,减区间为 (1 ,1)

3

3

3

考点:1.导数的几何意义;2.函数导数与单调性

20.(1)详见解析(2)详见解析

【解析】

试题分析:(1)证明线面平行,一般利用线面平行判定定理,即从线线平行出发给予证明,

而线线平行的寻找与论证,往往需要利用平几知识,如本题利用平行四边形性质:连结 ED ,

可先证得四边形 B1BDE 是平行四边形,进而证得四边形 AA1ED 是平行四边形,即得 A1E∥AD ,

(2)证明线面垂直,一般利用线面垂直判定与性质定理,经多次转化论证,而在寻找线线垂

- 10 - / 14

直时,不仅可利用线面垂直转化,如由 BB1 ? 平面 ABC ,得 AD ? BB1 ,而且需注意利用平几 中垂直条件,如本题中利用正三角形性质得 AD ? BC 试题解析:
(1)连结 ED ,因为 D , E 分别为 BC , B1C1 的中点, 所以 B1E∥BD 且 B1E ? BD , 所以四边形 B1BDE 是平行四边形,…………………2 分 所以 BB1∥DE 且 BB1 ? DE ,又 BB1∥AA1 且 BB1 ? AA1 , 所以 AA1∥DE 且 AA1 ? DE , 所以四边形 AA1ED 是平行四边形,…………………4 分 所以 A1E∥AD ,又因为 A1E ? 平面ADC1 , AD ? 平面ADC1 , 所以直线 A1E∥平面 ADC1 .…………………………………………………7 分
(2)在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, BB1 ? 平面 ABC , 又 AD ? 平面 ABC ,所以 AD ? BB1 , 又 △ABC 是正三角形,且 D 为 BC 的中点,所以 AD ? BC ,……………9 分 又 BB1, BC ? 平面 B1BCC1 , BB1 BC ? B , 所以 AD ?平面 B1BCC1 , 又 EF ? 平面 B1BCC1 ,所以 AD ? EF ,……………………………………11 分 又 EF ? C1D , C1D, AD ? 平面 ADC1 , C1D AD ? D , 所以直线 EF ?平面 ADC1 .…………………………………………………14 分
- 11 - / 14

考点:线面平行判定定理,线面垂直判定与性质定理 【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直,需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直,需转化为证明线面垂直.

21.(1)极大值为

,无极小值(2)当

时,函数

的单调增区间为





时,函数

的单调增区间为

,单调减区间为

【解析】(1)当 时,







,解得

,所以函数

在 上单调递增;



,解得 ,所以函数



上单调递减;

所以当 时取极大值,极大值为

,无极小值.

(2)函数

的定义域为



.



时,



上恒成立,所以函数



上单调递增;



时,令

,解得

,所以函数



上单调递增;



,解得

,所以函数



上单调递减.

综上所述,当

时,函数

的单调增区间为

;当

时,函数

的单调

增区间为

,单调减区间为

.

考点:利用导数求函数的极值和单调区间,分类讨论思想.

22.(1) x2 12

?

y2 4

? 1 (2) x0

? 1或 x0

? 3.

【解析】试题分析:(1))由题知 c ? 2 2, 2a ? 4 3 ,得 a ? 2 3 ,所以 b2 ? a2 ? c2 ? 4 ,

- 12 - / 14

故椭圆的标准方程为

x2 y2 ?

?1

x2 . ( 2 ) {12

?

y2 4

? 1 ? 4x2 ? 6mx ? 3m2 ?12 ? 0 .



12 4

y ? ?x ? m

A? x1, y1 ?, B?x2, y2 ?



x1

?

x2

?

3 2

m,

x1x2

?

3m2 ?12 4

.





| AB ?

1? k 2 x1 ? x2 ?

2?

? x1 ? ?x2 2 ? 2x1x2 ?

2 ? 2 3 16 ? m2 ? 3 2 , 解 得 : 4

? ? ? ? ? ? m ? ?2.由

PA ? PB ? AB ?

PA ? PB ? PB ? PA

?

2
PB

?

2
PA

?

0

,故

PA

?

PB

①当

m? 2 时,

AB 方程为 y ? ?x ? 2 ,

AB 中点坐标为:

? ??

3 2

,

1 2

? ??



AB 中垂线方程为

y ? x ?1,令 y ? 2 得 x0 ? 3.②当 m ? ?2 时, AB 方程为 y ? ?x ? 2 , AB 中点坐标为:

? ??

?

3 2

,

?

1 2

? ??

.

AB 中垂线方程为 y ? x ?1,令 y ? 2 得 x0 ? 1.

试题解析:

(1)由题知 c ? 2 2, 2a ? 4 3 ,得 a ? 2 3 ,所以 b2 ? a2 ? c2 ? 4 ,故椭圆的标准方程为

x2 ? y2 ?1 . 12 4

x2 (2){12

?

y2 4

?1?

4x2

? 6mx ? 3m2

?12

?

0.

y ? ?x ? m

? ? 则 ? ? 12 16 ? m2 ? 0 ,解得: ?4 ? m ? 4 ,且设 A? x1, y1 ?, B? x2, y2 ? 则

x1

?

x2

?

3 2

m, x1x2

?

3m2 ?12 4

.

又: | AB ?

1? k 2 x1 ? x2 ?

2?

? x1 ? ?x2 2 ? 2x1x2 ?

2 ? 2 3 16 ? m2 ? 3 2 , 4

解得: m ? ?2 .

? ? ? ? ? ? 由

PA ? PB

? AB ?

PA ? PB

?

PB ? PA

?

2
PB

?

2
PA

?

0

,故

PA

?

PB

①当 m ? 2 时,

AB 方程为 y ? ?x ? 2,

AB 中点坐标为:

? ??

3 2

,

1 2

? ??



- 13 - / 14

中垂线方程为,令得. ②当时,方程为,中点坐标为:. 中垂线方程为,令得. 综上:或.
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