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PHYSICS ANALYSIS OF MISTED GLASS

出现光晕的现象,我们很自然的可以想到这 是光的折射反射现象以及加上一系列的色散 关系什么的,然后以此来类比自然中一个比 较的常见的现象————彩虹。于是我们合 理的进行猜测,MISTED GLASS 的物理本质其 实和彩虹是一样的,于是我们查阅了关于彩 虹形成的资料。

其中找到的一篇题为“彩虹形成的光 学原理及散射角的推断”的文章引起 了我们的兴趣, 它对于彩虹形成的解 释如下:太阳中的平行复合光进入球 状的小液滴之后经过两次折射和N次反 射之后,某一频率的光在某一个出射 角度时会近似平行,即在这个方向出 射光线最强,于是就在这一位置看到 该种颜色的光

θ1 θ2

θ2

D
θ2

D就是出射角相对于 入射角的偏折角 D=2(θ2-θ1)+m× (2∏-θ2)

θ2

θ1

θ1 θ2

θ2

D
θ2

然后对D求θ1的偏导, 计算得到出射光线的 极值,在此极值附近 的出射光线是接近平 θ 行的,即在这一方向 上显示出该种颜色

θ2

1

θ1 θ2

θ2 θ2
θ2

D

D=2(θ2-θ1)+m×(θ2∏θ2) ?D ?? 2
1

?? 1

? 2[1 ? (m ? 1)

?? 1

]

sin? 1 ? n sin? 2
代入就可以算出不同m值对应的θ1,然 后θ2就确定了,进入人眼中成固定夹角 的光线就是一段圆锥,于是就在空气中 看到圆弧形的彩虹

d? 1 cos? 2 ?n d? 2 cos? 1

cos? 1d? 1 ? n cos? 2d? 2

我们对misted glass也采用相同的处 理办法,在正式处理之前,我们先 对物理模型做出近似的假设。首先, 有实际的实验过程我们可以知道, 当光源较远的时候,此时可以近似 的当作是点光源,此时的光线可以 近似地认为是平行的;对于水珠, 可以近似的假设为是半圆形的

假设某一颜色(频率)的光的折射 率如下 水的折射率n1 玻璃的折射率n2 玻璃对水的折射率n3

θ1

θ2

D ? ? 2 ??1
sin? 1 ? n1 sin? 2

dD cos? 1 ? n1 ?1 d? 1 cos? 2

?1 ? ? 2

dD ?0 d? 1

得到偏折角一直是增大的,直到恰好出现全反射现象,此时满 足极值条件,各个频率的光分别在 n1 sin? 1 ? 1 时各自出现叠 加,再由于视角的原因,即出现彩环

θ5 θ4 θ1 θ3 θ2

假设经过m次反射之后出射,m不 小于1

D ? ? ??4

? 2 ? (m ? 1)? ? 2m? 1
n2 sin ? 2 ? sin ? 3 n1 sin ? 4 ? n 2 sin ? 3
? 1的取值范围 当有m次反射的时候, 可以求算出来,如右边

dD n1(?2m) cos[(m ? 1)? ? 2m? 1] ? d? 1 cos? 4
? 1 ? ?0,
? ?

? ?
? 6?

m=1

?1? ?

? m ? 1.5 m ? 0.5 ? ?, ?? 2m ? 1 ? ? 2m ? 1

m>1

(m ? 1)? ? 2m? 1

? ? ?? ??? , ? ? 5 3?

m=1

1 ? ?1 ? ?? ?, ?? ? m ? 1 2m ? 1 ?

m>1

dD 由以上分析可以得到,此时d 不可能取到0,即D值一直是单调 ? dD 的,此时的极值即为 d? ? 0 时的情况,但是这种情况下,各种 频率的光出射方向并没有前文提到的细微差别,即此时各种光 是叠加的,出射的仍然为白色,不出现彩环
1 1

θ1

θ2

θ3
θ4 θ4

D

θ5

出射光线的偏折角

sin? 1 ? n1 sin? 2
? 3 ? ?1 ?? 2
n2 sin ? 3 ? sin ? 4 n1

D ??5

为了方便书写,设

x ? sin? 1

sin? 5 ? n2 sin? 4
取极值的时候即是分子为0

dD ? dx

n1 2 ? x 2 ?

x2

n1 2 ? x 2 cos? 5

? 1? x2 ?

x2 1? x2

x

2

n1 2 ? n1 2 ? 1
不同频率的光对应不同的? 1值,于 是也可以形成彩环

n1 2 解得: ? 1 ? arcsin n1 2 ? 1

θ4

θ1

θ3 θ2 θ2

θ2 D

D ? ?1 ?? 2 ? ? ?? 3 ? ? 4 ?? 5 sin ? 1 ? n1 sin ? 2

? 3 ? ?1 ?? 2 sin ? 4 ? cos? 3[sin ? 1 ? cos? 1 tan(? 1 ? ? 2)] sin ? 5 ? n1 sin ? 4
? 得到此时对应的极值为 时 ?5 ? 2 的值,此时,各种频率的光也会出 现细微的偏折角差别,此时也会出 现圆环 dD

?4 ??2 ? 5 ? ?1

?1 ? ? 2
?0
dD cos? 1 ? ?2 ? 2 d? 1 n1 cos? 2

d? 1

θ6

θ1

θ5 θ3

θ2

θ3

θ4

θ4

由于,底下的的玻璃只是对于光程差有用,对于 我们分析出射偏折角并无实质性的帮助,所以这 种情况可以参考上一例子,处理方法及计算结果 大约相同


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