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62zu.com:2019年高考数学一轮复习: 坐标系与参数方程 第1节 坐标系学案 文 北师大版

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第一节 坐标系
[考纲传真] 1.理解坐标系的作用,了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化 情况.2.了解极坐标的基本概念,会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,能进行极坐标和 直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.

(对应学生用书第 158 页)

[基础知识填充]

1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换

设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 φ

:?????xy′ ′= =λμ

x,λ y,μ

>0, >0

的作

用下,点 P(x,y)对应到点 P′(x′,y′),称 φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换.

2.极坐标系

(1)极坐标与极坐标系的概念 在平面内取一个定点 O,叫作极点,从 O 点引一条射线 Ox,叫作极轴,选定一个单位长

度和角的正方向(通常取逆时针方向).这样就确定了一个平面极坐标系,简称为极坐标 系.对于平面内任意一点 M,用 ρ 表示线段 OM 的长,θ 表示以 Ox 为始边、OM 为终边 的角度,ρ 叫作点 M 的极径,θ 叫作点 M 的极角,有序实数对(ρ ,θ )叫做点 M 的极坐 标,记作 M(ρ ,θ ). 当点 M 在极点时,它的极径 ρ =0,极角 θ 可以取任意值.

图?? (2)极坐标与直角坐标的互化 设 M 为平面内的一点,它的直角坐标为(x,y),极坐标为(ρ ,θ ).由图可知下面关系 式成立:

??x=ρ cos θ ???y=ρ sin θ

??ρ 2=x2+y2 或???tan θ =yx x

图??

3.常用简单曲线的极坐标方程 曲线

图形

极坐标方程

圆心在极点,半径为 r 的圆

ρ =r(0≤θ ≤2π )

圆心为(r,0),半径为 r 的圆 圆心为???r,π2 ???,半径为 r 的圆

ρ =2rcos θ ???-π2 <θ ≤π2 ??? ρ =2rsin θ (0≤θ <
π)

过极点,倾斜角为 α 的直线 过点(a,0),与极轴垂直的直线

θ =α (ρ ∈R)或 θ =π +α (ρ ∈R)
ρ cos θ =
a???-π2 <θ <π2 ???

过点???a,π2 ???,与极轴平行的直线

ρ sin θ =a(0<θ < π)

[基本能力自测]

1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系,在极坐标系中点与坐标也是一一

对应关系.( )

(2)若点 P 的直角坐标为(1,- 3),则点 P 的一个极坐标是???2,-π3 ???.(

)

(3)在极坐标系中,曲线的极坐标方程不是唯一的.( )

(4)极坐标方程 θ =π (ρ ≥0)表示的曲线是一条直线.( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)× 2.(教材改编)若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则线

段 y=1-x(0≤x≤1)的极坐标方程为( )

A.ρ

=cos

θ

1 +sin

θ

,0≤θ

≤π2

B.ρ

=cos

θ

1 +sin

θ

,0≤θ

≤π4

C.ρ =cos θ +sin θ ,0≤θ ≤π2

D.ρ =cos θ +sin θ ,0≤θ ≤π4

A [∵y=1-x(0≤x≤1),

∴ρ sin θ =1-ρ cos θ (0≤ρ cos θ ≤1),

∴ρ

=sin

θ

1 +cos

θ

???0≤θ

≤π2 ???.]

3.(教材改编)在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标

系.若曲线 C 的极坐标方程为 ρ =2sin θ ,则曲线 C 的直角坐标方程为________. x2+y2-2y=0 [由 ρ =2sin θ ,得 ρ 2=2ρ sin θ . 所以曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2-2y=0.]

4.已知直线 l 的极坐标方程为 2ρ sin???θ -π4 ???= 2,点 A 的极坐标为 A???2 2,7π4 ???,则点

A 到直线 l 的距离为________.

52 2

[由 2ρ sin???θ -π4 ???=

2,得

2ρ ??? 22sin θ - 22cos θ ???= 2, ∴y-x=1. 由 A???2 2,74π ???,得点 A 的直角坐标为(2,-2).

∴点

A

到直线

l

的距离

d=|2+2+1|=5 2

2

2.]

5.已知圆 C 的极坐标方程为 ρ 2+2 2ρ ·sin???θ -π4 ???-4=0,求圆 C 的半径.
【导学号:00090368】 [解] 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点 O,以极轴为 x 轴的正半轴,建立直 角坐标系 xOy.

圆 C 的极坐标方程可化为 ρ 2+2



???

2 2 sin

θ



2 2 cos

θ

???-4=0,

化简,得 ρ 2+2ρ sin θ -2ρ cos θ -4=0.

则圆 C 的直角坐标方程为

x2+y2-2x+2y-4=0,

即(x-1)2+(y+1)2=6,

所以圆 C 的半径为 6.

(对应学生用书第 159 页) 平面直角坐标系中的伸缩变换
将圆 x2+y2=1 上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 2 倍,得曲线 C.

(1)求曲线 C 的方程;

(2)设直线 l:2x+y-2=0 与 C 的交点为 P1,P2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴 建立极坐标系,求过线段 P1P2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程. [解] (1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为曲线 C 上的点(x,y),依题意,得

??x=x1,
?

2分

??y=2y1.

由 x21+y21=1 得 x2+???y2???2=1,

故曲线 C 的方程为 x2+y42=1.

5分

(2)由???x2+y42=1, ??2x+y-2=0,

解得?????xy= =10, 或?????xy= =02.,

6分

不妨设 P1(1,0),P2(0,2),则线段 P1P2 的中点坐标为???12,1???,所求直线斜率为 k=12,

于是所求直线方程为 y-1=12???x-12???,

化为极坐标方程,并整理得 2ρ cos θ -4ρ sin θ =-3,

故所求直线的极坐标方程为 ρ

=4sin

θ

3 -2cos

θ

.

10 分

[规律方法] 1.解答该类问题应明确两点:一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的

意义与作用;二是明确变换前的点 P(x,y)与变换后的点 P′(x′,y′)的坐标关系,利

用方程思想求解.

2.求交点坐标,得直线方程,最后化为极坐标方程,其实质是将 x=ρ cos θ ,y=ρ sin

θ 代入转化.

[变式训练 1] 在平面直角坐标系中,已知伸缩变换 φ :

??x′=3x, ???2y′=y.

(1)求点 A???13,-2???经过 φ 变换所得点 A′的坐标; (2)求直线 l:y=6x 经过 φ 变换后所得直线 l′的方程. [解] (1)设点 A′(x′,y′),由伸缩变换

φ :?????x2′y′==3xy,,

??x′=3x, 得???y′=y2,

∴x′=13×3=1,y′=-22=-1. ∴点 A′的坐标为(1,-1). (2)设 P′(x′,y′)是直线 l′上任意一点.

由伸缩变换 φ :?????x2′ y′==3xy, ,

得???x=x′ 3 , ??y=2y′,

代入 y=6x,得 2y′=6·x3′=2x′, ∴y′=x′为所求直线 l′的方程.
极坐标与直角坐标的互化 (2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建 立极坐标系,曲线 C1 的极坐标方程为 ρ cos θ =4. (1)M 为曲线 C1 上的动点,点 P 在线段 OM 上,且满足|OM|·|OP|=16,求点 P 的轨迹 C2 的直角坐标方程;

(2)设点 A 的极坐标为???2,π3 ???,点 B 在曲线 C2 上,求△OAB 面积的最大值.

[解] (1)设点 P 的极坐标为(ρ ,θ )(ρ >0),点 M 的极坐标为(ρ 1,θ )(ρ 1>0).

由题设知|OP|=ρ

,|OM|=ρ

4 1=cos

θ

.

由|OM|·|OP|=16 得 C2 的极坐标方程 ρ =4cos θ (ρ >0).

2分

因此 C2 的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0).

4分

(2)设点 B 的极坐标为(ρ B,α )(ρ B>0).

由题设知|OA|=2,ρ B=4cos α ,于是△OAB 的面积

S=12|OA|·ρ B·sin∠AOB

6分

=4cos α ·???sin???α -π3 ??????

=2???sin???2α -π3 ???- 23???≤2+ 3.

8分

当 α =-1π2时,S 取得最大值 2+ 3.

所以△OAB 面积的最大值为 2+ 3.

10 分

[规律方法] 1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是灵活应用互化公式:x=

ρ cos θ ,y=ρ sin θ ,ρ 2=x2+y2,tan θ =yx(x≠0).

2.进行极坐标方程与直角坐标方程互化时,要注意 ρ ,θ 的取值范围及其影响;要善于 对方程进行合理变形,并重视公式的逆向与变形使用;要灵活运用代入法和平方法等方法.

[变式训练 2] (2016·北京高考改编)在极坐标系中,已知极坐标方程 C1:ρ cos θ - 3 ρ sin θ -1=0,C2:ρ =2cos θ . (1)求曲线 C1,C2 的直角坐标方程,并判断两曲线的形状; (2)若曲线 C1,C2 交于 A,B 两点,求两交点间的距离. [解] (1)由 C1:ρ cos θ - 3ρ sin θ -1=0, ∴x- 3y-1=0,表示一条直线. 由 C2:ρ =2cos θ ,得 ρ 2=2ρ cos θ , ∴x2+y2=2x,则(x-1)2+y2=1. ∴C2 是圆心为(1,0),半径 r=1 的圆. (2)由(1)知点(1,0)在直线 x- 3y-1=0 上, 因此直线 C1 过圆 C2 的圆心. ∴两交点 A,B 的连线段是圆 C2 的直径. 因此两交点 A,B 间的距离|AB|=2r=2.

直线与圆的极坐标方程的应用

(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为?????xy= =a1c+osasit,n t (t

为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2:ρ =4cos

θ.

(1)说明 C1 是哪一种曲线,并将 C1 的方程化为极坐标方程;

(2)直线 C3 的极坐标方程为 θ =α 0,其中 α 0 满足 tan α 0=2,若曲线 C1 与 C2 的公共点

都在 C3 上,求 A. [解] (1)消去参数 t 得到 C1 的普通方程为 x2+(y-1)2=a2,则 C1 是以(0,1)为圆心,a

为半径的圆.

2分

将 x=ρ cos θ ,y=ρ sin θ 代入 C1 的普通方程中,得到 C1 的极坐标方程为 ρ 2-2ρ sin

θ +1-a2=0.

4分

(2)曲线 C1,C2 的公共点的极坐标满足方程组

??ρ 2-2ρ sin θ +1-a2=0,
?
??ρ =4cos θ .

若 ρ ≠0,由方程组得 16cos2θ -8sin θ cos θ +1-a2=0,

由已知 tan θ =2,得 16cos2θ -8sin θ cos θ =0,

8分

从而 1-a2=0,解得 a=-1(舍去)或 a=1.

当 a=1 时,极点也为 C1,C2 的公共点,且在 C3 上.

所以 a=1.

10 分

[规律方法] 1.第(1)问将曲线 C1 的参数方程先化为普通方程,再化为极坐标方程,考查

学生的化归与转化能力.第(2)问中关键是理解极坐标方程,有意识地将问题简单化,进

而求解.

2.由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时,如果不能直接用极坐标方程解决,可

先转化为直角坐标方程,然后求解.

?x= 6cos φ ,

[变式训练 3] (2018·石家庄模拟)已知曲线 C1:x+ 3y= 3和 C2:?



?y= 2sin φ

为参数).以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,且两种坐标系中取相

同的长度单位.

(1)把曲线 C1 和 C2 的方程化为极坐标方程; (2)设 C1 与 x,y 轴交于 M,N 两点,且线段 MN 的中点为 P.若射线 OP 与 C1,C2 交于 P,Q 两点,求 P,Q 两点间的距离.

[解] (1)曲线 C1 化为 ρ cos θ + 3ρ sin θ = 3.

∴ρ sin???θ +π6 ???= 23.

2分

x2 y2 曲线 C2 化为 6 + 2 =1.(*)

将 x=ρ cos θ ,y=ρ sin θ 代入(*)式

得ρ6

2
cos2θ

+ρ2

2
sin2θ

=1,即 ρ

2(cos2θ

+3sin2θ

)=6.

∴曲线 C2 的极坐标方程为 ρ 2=1+2s6in2θ .

4分

(2)∵M( 3,0),N(0,1),∴P??? 23,12???,

∴OP 的极坐标方程为 θ =π6 ,

6分

把 θ =π6 代入 ρ sin???θ +π6 ???= 23得 ρ 1=1,P???1,π6 ???. 把 θ =π6 代入 ρ 2=1+2s6in2θ 得 ρ 2=2,Q???2,π6 ???. ∴|PQ|=|ρ 2-ρ 1|=1,即 P,Q 两点间的距离为 1.

8分 10 分


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