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偏微分方程数值解试题06A参考答案


偏微分方程数值解试题

小值点.

(4 分)

评分标准: ? (? ) 的表示式 3 分, 每问 3 分,推理逻辑性 1 分 一 ( 10
J ( x) ?

分 )、 设 矩 阵 A 对 称 正 定 , 定 义 二(20 分) 、对于边值问题
? ? 2u ? 2u ? 2 ? 2 ? ?1 , ( x, y) ? G ? (0,1) ? (0,1) ? ?x ?y ? u |?G ? 0 ?

1 ( Ax , x) ? (b, x) ( x ? R n ) ,证明下列两个问题等价:(1)求 2
x?R

x0 ? R n 使 J ( x 0 ) ? min J ( x) ;(2)求下列方程组的解: Ax ? b n
解: 设 x0 ? R n 是 J (x) 的最小值点,对于任意的 x ? R n ,令

? (? ) ? J ( x0 ? ?x) ? J ( x0 ) ? ? ( Ax0 ? b, x) ?
'

?2
2

( Ax, x) ,

(3 分)

(1)建立该边值问题的五点差分格式(五点棱形格式又称正五点 格式) ,推导截断误差的阶。 (2)取 h ? 1 / 3 ,求边值问题的数值解(写出对应的方程组的矩

因 此 ? ? 0 是 ? (? ) 的 极 小 值 点 , ? (0) ? 0 , 即 对 于 任 意 的
x?R
n

, ( Ax0 ? b, x) ? 0 , 特 别 取
2

x ? Ax0 ? b , 则 有

阵形式,并求解) (3)就取 h ? 1 / N 的一般情况写出对应方程组的系数矩阵(用分 块矩阵表示) 。 解: (1) 区域离散 x j ? jh, yk ? kh ,差分格式为

( Ax0 ? b, Ax0 ? b) ?|| Ax0 ? b || ? 0 ,得到 Ax0 ? b .(3 分)

反 之 , 若 x0 ? R

n

满 足 Ax0 ? b , 则 对 于 任 意 的
1 ( Ax , x) ? J ( x0 ) ,因此 x0 是 J (x) 的最 2

x , J ( x0 ? x) ? ? (1) ? ? (0) ?

u j ?1,k ? 2u jk ? u j ?1,k h
2

?

u j ,k ?1 ? 2u jk ? u j ,k ?1 h
2

? ?1

评分标准:第 1 问 8 分,格式 4 分,截断误差 4.(2) 7 分,方程 4 分,解 3 分.(3)5 分, 形式 3 分,B 的形式 2 分

(5 分)

h 2 ? 4u ? 4u 应用 Ta ylo y 展开得到,截断误差为 [ 4 ? 4 ] jk ? O(h 4 ) ,其阶 12 ?x ?y
为 O(h 2 ) (3 分) (2) 未知量为 U ? (u11 , u12 , u21 , u22 )T ,矩阵形式为 AU ? F ,其中

? ?u ? 2u ? a 2 , 0 ? x ? 1,0 ? t ? T ? ?x ? ?t 三(20 分) 、对于初边值问题 ? u ( x,0) ? ? ( x), 0 ? x ? 1 ? u (0, t ) ? u (1, t ) ? 0,0 ? t ? T ? ?
(1)建立向前差分格式(最简显格式) ,推导截断误差的主项, 指出误差阶; (2)写出差分格式的矩阵形式(即 AU k ?1 ? BU k ? ?F 的形式) , 用矩阵方法分析格式的稳定性 (3)建立六点加权格式,写出计算形式,应用 Fourier 方法(分

? 4 ?1 ?1 0 ? ?1? ? ? ? ? 1 ?1? ? ? 1 4 0 ? 1? A?? ,F ? ? ? ? 1 0 4 ? 1? 9 1 ? ? ? ? ? 0 ?1 ?1 4 ? ?1? ? ? ? ?
(4 分)
1 解为 u ? (1,1,1,1) T 18

(3 分)

? B ? ?? I (3) 矩阵为 ? ? ? ?

?I B ?

?I ? ?I

? ? 4 ?1 ? ? ? ? ? ? ?1 4 ?1 ? ?,B ? ? ? ? ? ? ? ? ? B? ?1 4? ? ? ?

(5 分)

离变量法)分析格式的稳定性。

解 :(1) (5 分) 应 用

区 域 离 散 , 格 式 为

u k ?1 ? u k j j

?

?a

1 2 k ?xuj h2

,

(3 分) 当 ?? (2 分)
1 1 1 格式恒稳定,当 ?? ,稳定条件为 r? 2 2 1 ? 2?

T

a

y 展l

开 r得 o



, ,

误 阶

差 为





为 四 ( 10 分 )、 逼 近
u n?1 ? u n?1 j j 2? ?a u n?1 ? u n?1 j j 2h ?0
?u ?u ?a ?0 的 三 层 差 分 格 式 ?t ?x

1 ? 2u k ah2 ? 4 u k ( 2 ) j? ? ( ) j ? O(? 2 ? h 4 ) 2 ?t 12 ?x 4

O(? ? h 2 )

(3 分) (2) (4 分) 稳 (3 分) 定 条 件 为
r ? 1/ 2
A ? E, B ? diag{r ,1 ? 2r , r}

,

分析格式的稳定性 解 (2 分) 此 为 三 层 格 式 , 化 为 两 层 格 式 . 令 v n?1 ? u n , 则 j j : 计 算 形 式 为

u n?1 ? ?ar(u n?1 ? u n?1 ) ? u n?1 j j j j

(3)







u k ?1 ? u k j j

?

a ? 2 ? x2 (?u k ?1 ? (1 ? ? )u k ) j j h

,



? u n?1 ? ? ar(u n?1 ? u n?1 ) ? v n ? j j j j ? n?1 n ? uj ?v j ?

(4 分)

n 令 u n ? w1nei?jh , vn ? w2 ei?jh ,代入格式,消去公因子,得到 j j

? w1n?1 ? ? ? 2iar sin ?h 1 ?? w1n ? ? n?1 ? ? ? ?? n ? ?w ? ? 1 0 ?? w2 ? ?? ? ? 2 ? ?
(2 分)

五(10 分) 、建立波动方程 导截断误差.

? 2u ? 2u ? a 2 2 的初值问题的显格式,推 ?t 2 ?x

n ? ? 2ar s i?hi 1 ? ? , 特 征 方 程 为 放 大 矩 阵 为 G?? ? 1 0? ? ? | ?E ? G |?



:











u n?1 ? 2u n ? u n?1 j j j

?

2

? a2

1 2 n ?xuj h2

,

? ? 2ar s i?hi ? 1 n ?1 ?
? 2ar sin ?h ? 4 ? 4a 2 r 2 sin 2 ?h i 2

(5 分)
? ? 4u ? 1 ? ? 4u ? 2 ? 4 ? ? ? a 2 ? 4 ? h 2 ? O(? 4 ? h 4 ) , 阶 为 截 断 误 差 为 ? ?x ? 12 ? ?t ? j ? ? ? ?j
n n

? ?2 ? 2ar sin ?hi? ? 1 ? 0 , ?1, 2 ?

O(? 2 ? h 2 )

(5 分)

?1?2 ? 1 , max{|?1 |, | ?2 |} ? 1 的充要条件为方程有相同的复根或一
对共扼复根,即 ? ? 4 ? 4a 2 r 2 sin 2 ?h ? 0 .考虑到 ? 的变化,稳定条 件为 | ar |? 1 (2 分) 六(10 分) 、对于二维抛物型方程

?u ? 2u ? 2u ? a( 2 ? 2 ) 建立向后差 ?t ?x ?y

分格式(隐格式) ,指出截断误差阶,分析格式的稳定性。

解 : (4 分)

差 分 格 式 为

u n?1 ? u n jk jk

?

?

a 2 n?1 2 (? x u jk ? ? y u n?1 ) jk 2 h

| G |? ?2 sin 2 kh ? 1 ? 4? (1 ? coskh) ? 4? 2 (1 ? coskh)2

? ?2 (1 ? coskh)(1 ? c o kh) ? 1 ? 4? (1 ? c o kh) ? 4? 2 (1 ? c o kh)2 s s s ? 1 ? (1 ? coskh)[4? ? 4? 2 (1 ? coskh) ? ?2 (1 ? coskh)]
(3 (2 分) von Neumann 条件 | G |? 1 变为

误差阶为 O(? ? h 2 ) (3 分)

1 放大因子为 G(? , ? ,? ) ? ,恒稳定. 2 ?h 2 ?h 1 ? 4r sin ? 4r sin 2 2
分)

4? ? 4? 2 (1 ? c o kh) ? ?2 (1 ? c o kh) ? 0 s s
七(10 分) 、分析差分格式 即

4? ? 2?2 ? (4? 2 ? ?2 )(1 ? c o kh) ? 0 s

u k ?1 ? u k j j

?

?a

u k?1 ? 2u k ? u k?1 j j j h
2

?b

u k?1 ? u k?1 j j 2h

? cu k (a ? 0) j

只需

4? ? 2?2 ? 0,2(?2 ? 4? 2 ) ? 4? ? 2?2 ? 0
条件 4? ? 2? ? 0 可以写成 此差分格式稳定的条件是
a 2? 2?? ? 1 。第二个条件可化为 2 ? 1 ,因 h 2?

的稳定性 解:写出计算形式,忽略低阶项 2 分,写出放大因子 3 分

a 2? 2?? ? 1, ?1 2? h2

(3 分)


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