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2015-2016年度揭阳市高三学业水平考试数学(文)


绝密★启用前

揭阳市 2015-2016 学年度高中三年级学业水平考试

数学(文科)
本试卷共 4 页,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答题前,考生务必将自己的姓 名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答第Ⅰ卷时,选出每个小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需 改动,用橡皮搽干净后,再选涂其他答案标号,写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,答在本试题上无效. 4.考试结束,将本试题和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷 一、选择题:共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.
1.已知集合 A ? {x | x2 ? 2x ? 0} , B ? {0,1, 2,3} ,则 A ? B ? (A) {1 , 2}

1, 2} (B) {0,
1 ?i 2
? ? ?

(C) {1}

, 2, 3} (D) {1
1 2 1 ?i 2

2.已知复数 z 满足 (2 z ? 1)i ? 2 ,则 z ? (A) ?1 ? 2i (B) ? (C) ? ? i (D)

3.已知向量 a ? (?1,2), b ? (1, ?1) ,则 (a ? b) ? a ? (A) 8 (B)5 (C) 4 (D) ?4

?

?

4.若方程 f ( x) ? 2 ? 0 在区间 (0, ??) 有解,则函数 y ? f ( x) 的图象可能是

5.在等差数列 ?an ? 中,已知 a3 ? a5 ? 2, a7 ? a10 ? a13 ? 9, 则此数列的公差为 (A)

1 3

(B)3

(C)

1 2

(D)

1 6

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6.利用计算机在区间 (0,1)上产生随机数 a ,则不等式 ln(3a ? 1) ? 0 成立的概率是 (A)

1 2

(B)

2 3
2

(C)

1 3

(D)

1 4

7.抛物线 y 2 ? 8x 的焦点到双曲线 x ? (A) 1 2 (B) 3 2

y2 ? 1的渐近线的距离是 3
(C) 1 (D) 3
开始 输入S =15

8.函数 f ( x) ? cos 2 ( x ? (A)

1 ,? 2

) ? cos 2 ( x ? ) 的最大值和最小正周期分别为 4 4 1 ? ? , (B) 1, ? (C) (D) 1, 2 2 2

?

?

i =1
i >n ? 否 S =S (1-20% ) i =i +1 是

9.某人以 15 万元买了一辆汽车,此汽车将以每年 20%的速度折旧,图 1 是描 述汽车价值变化的算法流程图,则当 n ? 4 时,最后输出的 S 为 (A) 9.6 (B) 7.68 (C) 6.144 (D) 4.9152 10.已知棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 的一个面 A1B1C1 D1 在一半球底 面上,且 A、B、C、D 四个顶点都在此半球面上,则此半球的体积为 (A) 4 6? (B) 2 6? (C) 16 3? (D) 8 6?

输出S 图1 结束

11.已知抛物线 C : y 2 ? 8x 的焦点为 F ,准线为 l , P 是 l 上一点, Q 是直线

PF 与 C 的一个交点,若 FP ? 2FQ ? 0 ,则 | QF | =
(A)3 (B)4
2

??? ?

??? ?

?

(C)6

(D)8

12.若关于 x 的方程 4sin x ? m sin x ? 1 ? 0 在 (0, ? ) 内有两个不同的实数解,则实数 m 的取值范 围为 (A) m ? 4 或 m ? ?4 (B) 4 ? m ? 5 (C) 4 ? m ? 8 (D) m ? 5 或 m ? 4

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题 ? 第 21 题为必考题,每个试题考生 都必须做答.第 22 题 ? 第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请把正确的答案填写在答题 卡相应的横线上. ? 1 x ( ) , x ? (??,1); ? ? 4 13. 已知 f ( x) ? ? ,则 f ( f (?2)) ? . ?log 1 x, x ? [1, ??). ? ? 2

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?y ? x ? 14.设变量 x , y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 2 ,则 z ? x ? 3 y ? x ? ?2 ?
的最小值为 . 15.如图 2,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是 一正方体被截去一部分后所得几何体的三视图,则被截 去部分的几何体的表面积为 . 16.数列 {an } 的通项公式 an ? (?1)n ? 2n ? n ? cos(n? ) ,其前

n 项和为 Sn ,则 S10 等于
17. (本小题满分 12 分)

.

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
已知 a, b, c 分别是 ?ABC 内角 A, B, C 的对边,且 3c sin A ? a cos C . (I)求 C 的值; (II)若 c ? 7a , b ? 2 3 ,求 ?ABC 的面积. 18. (本小题满分 12 分) 某中学随机抽取 50 名高一学生调查其每天运动的时间(单位:分钟) ,并将所得数据绘制成 频率分布直方图(如图 3) ,其中运动的时间的范围是[0,100],样本数据分组为 [0, 20),[20, 40),
频率/ 组距

[40, 60), [60,80),[80,100] .
(Ⅰ)求直方图中 x 的值;

0.025

x
0.003

图3 图4

(Ⅱ)定义运动的时间不少于 1 小时的学生称为“热爱运动”, 若该校有高一学生 1200 人,请估计有多少学生“热爱运动”; (Ⅲ)设 m, n 表示在抽取的 50 人中某两位同学每天运动的

0.002 0

时间(分钟) 20 40 60 80 100

时间,且已知 m, n ?[40,60) ? [80,100] ,求事件“ | m ? n |? 20 ”的概率. 19. (本小题满分 12 分) 如图 4,在三棱柱 ABC A1B1C1 中,底面△ABC 是边长为 2 的 等边三角形,D 为 AB 中点. (Ⅰ)求证:BC1∥平面 A1CD; (Ⅱ)若四边形 CB B1C1 是正方形,且 A 1D = 求多面体 CAC 1 1BD 的体积.
D C C1 B1 A A1

5,

B

图图 43

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20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 y 轴上,且长轴的长为 4,离心率等于

2 . 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若椭圆 C 在第一象限的一点 P 的横坐标为 1,过点 P 作倾斜角互补的两条不同的直线 PA , PB 分别交椭圆 C 于另外两点 A , B ,求证:直线 AB 的斜率为定值. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? a ln x ? (Ⅰ)求 a 、 b 的值; (Ⅱ)当 x ? 0 且 x ? 1 时,求证: f ( x) ?

b( x ? 1) , 曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 2. x ( x ? 1) ln x . x ?1
的切线 EP 交 CB C

22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图 5,四边形 ABCD 内接于 ,过点 A 作 的延长线于 P,已知 ?PAB ? 25 . (I)若 BC 是⊙O 的直径,求 ?D 的大小;
0

(II)若 ?DAE ? 250 ,求证: DA2 ? DC ? BP . 23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

O

D E A 图 图4 5

B P

2? ? x ? t cos ? 3 在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数) ,以坐标 ? 2 ? ? y ? 4 ? t sin ? 3 ?
原点为极点, x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 4 . (Ⅰ)写出直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标系方程; (Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点,求 ?AOB 的值. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5 不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 2 | . (Ⅰ)解不等式 f ( x) ? f ( x ? 1) ? 2 ; (Ⅱ)若 a ? 0 ,求证: f (ax) ? af ( x) ? f (2a).

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数学(文科)参考答案及评分说明
一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主 要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、 对计算题当考生的解答在某一步出现错误时, 如果后续部分的解答未改变该题的内容和 难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的 解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数. 一、选择题:BCADAC DBCACD y x= 2 解析: 9.依题意知,设汽车 x 年后的价值为 S ,则 S ? 15(1 ? 20%) ,结合程序
x
Q' Q

框图易得当 n ? 4 时, S ? 15(1 ? 20%) ? 6.144 .
4

10. 设半球的半径为 r ,依题意可得 2 ? ( 2) ? r ,解得 r ?
2 2 2

F'

O

F( 2, 0)

x

6,
y2 = 8x

所以此半球的体积为 ? r ? 4 6? .
3

2 3

11. 如右图,根据已知条件结合抛物线的定义易得:

P

|FF ' | | PF | 2 ? ? ?| QQ ' |? 6 . | QQ ' | | PQ | 3 12. 令 sin x ? u, 则 u ? (0,1] ,关于 x 的方程 4sin 2 x ? m sin x ? 1 ? 0 在 (0, ? )
内有两个不同的实数解等价于方程 f (u) ? 4u 2 ? mu ? 1 ? 0 在 (0,1] 上有唯一

?? ? m2 ? 16 ? 0, ? 解 ? ?m 或 f (1) ? 5 ? m ? 0 ,解得 m ? 4 或 m ? 5 .[ 或方程 ? 0. ? ?8 f (u) ? 4u2 ? mu ? 1 ? 0在 (0,1] 上有唯一解等价于直线 y ? m 与关于 u 的函 1 数 y ? 4u ? , u ? (0,1] 图象有唯一交点,结合图象易得. u 二、填空题:13. ?4 ;14. -8;15. 54 ? 18 3 ;16.687.
解析:15.依题意知该几何体如右图示:则被截去部分的几何体的表面积为

3 2 3 ?6 ? ? (6 2) 2 ? 54 ? 18 3 . 2 4
16. S10 ? (?2) ? (?2)2 ? ?? (?2)10 ? cos ? ? 2cos 2? ? ? ? 10cos10?

?

?2[1 ? (?2)10 ] ? 5 ? 687. 1 ? (?2)
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三、解答题: 17.解: (I)∵ A 、 C 为 ?ABC 的内角, 由 3c sin A ? a cos C 知 sin A ? 0,cos C ? 0 ,结合正弦定理可得:

3 sin A a sin A ------------------------------------------------------------3 分 ? ? cos C c sin C

? tan C ?
∵0 ? C ??

3 ,-----------------------------------------------------------------4 分 3
∴C ?

?
6

.--------------------------------------------------------5 分

(II)解法 1:∵ c ? 7a , b ? 2 3 , 由余弦定理得:7a ? a ? 12 ? 4 3a ?
2 2
2

3 ,----------------------------------------7 分 2

整理得: a ? a ? 2 ? 0 解得: a ? 1 或 a ? ?2 (不合舍去)--------------------------9 分 ∴ a ? 1 ,由 S?ABC ?

1 ab sin C 得 2

1 1 3 ?ABC 的面积 S?ABC ? ?1? 2 3 ? ? .--------------------------------------12 分 2 2 2
【解法 2:由 c ? 7a 结合正弦定理得: sin A ?

1 7 ,---------------------6 分 sin C ? 14 7
3 21 ,-----------------------------7 分 14

∵ a ? c, ∴ A ? C ,

∴ cos A ? 1 ? sin A ?
2

∴ sin B ? sin[? ? ( A ? C )] ? sin( A ? C )

? sin A cos C ? cos A sin C =
由正弦定理得: a ?

7 3 3 21 1 21 ? ? ? ? . ----------------------------9 分 14 2 14 2 7

b sin A ? 1 ,-------------------------------------------------10 分 sin B

∴ ?ABC 的面积 S?ABC ?

1 1 3 ? 1? 2 3 ? ? . ------------------------------------12 分】 2 2 2

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18.解: (1)由 20 ? (0.002 ? 0.003 ?2 ? x ? 0.025) ?1 得 x ? 0.017 ;-------------------2 分 (Ⅱ)运动时间不少于 1 小时的频率为 20 ? (0.002 ? 0.003) ? 0.1 ,--------------------3 分 不少于 1 小时的频数为 1200 ?0.1 ? 120 ,所以该校估计“热爱运动”的学生有 120 人;------5 分 (Ⅲ)由直方图知,成绩在 [40,60) 的人数为 50 ? 20 ? 0.003 ? 3 人,设为 A, B, C ;------6 分 成绩在 [80,100] 的人数为 50 ? 20 ? 0.002 ? 2 人,设为 x, y .---------------------------7 分 若 m, n ? [40, 60) 时,有 AB, AC , BC 三种情况; 若 m, n ?[80,100] 时,只有 xy 一种情况;-------------------------------------------8 分 若 m, n 分别在 [40,60),[80,100] 内时,则有 Ax, Ay, Bx, By, Cx, Cy 共有 6 种情况.所以基本事件 总数为 10 种,------------------------------------------------------------------10 分 事件“ | m ? n |? 20 ”所包含的基本事件个数有 6 种. ∴P( | m ? n |? 20 )=

6 3 ? . ----------------------------------------------------12 分 10 5
A1 E C B1 C1

19.(I)证法 1:连结 AC1,设 AC1 与 A1C 相交于点 E,连接 DE, 则 E 为 AC1 中点,-------------------------------2 分 A ∵D 为 AB 的中点,∴DE∥BC1,------------------4 分 ∵BC1 ? 平面 A1CD,DE ? 平面 A1CD,------------5 分 D ∴BC1∥平面 A1CD. -----------------------------6 分 【证法 2:取 A1B1 中点 D1 ,连结 BD1 和 C1D1 ,-----1 分 ∵ BD 平行且等于 A1D1 ∴ A1D / / BD1 ∴四边形 BD A1D1 为平行四边形 -----------------------------------2 分
B

∵ A1D ? 平面 ACD , BD1 ? 平面 ACD 1 1 ∴ BD1 / / 平面 ACD ,------------------------------3 分 1 同理可得 C1D1 / / 平面 ACD ------------------------4 分 1 ∵ BD1 ? C1D1 ? D1
A D1 C B B1 C1 A1

/ / 平面 BD1C1 ∴平面 ACD 1

D

又∵ BC1 ? 平面 BD1C1 ∴BC1∥平面 A1CD. -------------------------------6 分】 (Ⅱ) ? AD +A =A1D 1A = 5 又 B1B ^ BC, B1B / / A1 A 又 AD ? BC ? B
2 2 2

\ A1 A^ A D , -------------------------------------7 分 \ A1 A ^ BC ,

\ A1 A ^ 面 ABC -------------------------------------------9 分

(法一)∴所求多面体的体积 V ? VABC ? A1B1C1 ? VA1 ? ACD ? VB? A1B1C1 -----------------------10 分

1 1 ? AA1 ? S?ABC ? ? AA1 ? S?ACD ? ? BB1 ? S?A1B1C 3 3 1 1 1 3 2 ? ? AA1 ? S ?ABC ? ? 2 ? ? ?2 ? 3 2 2 2 2
即所求多面体 CAC 1 1BD 的体积为 3 .----------------12 分
B D

A

A1 E C H B1 C1

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【 (法二)过点 A1 作 A1 H ? B1C1 于 H , ∵平面 BB1C1C ? 平面 A1 B1C1 且平面 BB1C1C ? 平面 A1 B1C1 ? B1C1 ∴ A1 H ? 平面 BB1C1C ,----------------------------------------------------------10 分 ∴所求多面体的体积 V ? VA1 ? ACD ? VA1 ? A1CC1 ? S?BCD ? AA1 ? S?BCC1 ? A1H

1 3

1 3

1 1 3 1 1 ? ? ? ? 4 ? 2 ? ? ? 4 ? 3 ? 3 .------------------------------------------12 分】 3 2 4 3 2
20.解: (Ⅰ)设椭圆的方程为

y 2 x2 ? ? 1 (a ? b ? 0) --------------------------------1 分 a 2 b2

? ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? 由题意 ? 2a ? 4 ,解得 a ? 2, b ? 2 .-----------------------------------------4 分 ? ? c? 2 ? 2 ? a
所以,椭圆的方程为

y 2 x2 ? ? 1 .-------------------------------------------------5 分 4 2 y 2 x2 ? ? 1 ,得 P(1, 2) .-------------------------------------6 分 4 2

(Ⅱ)由椭圆的方程

由题意知,两直线 PA、PB 的斜率必存在,设 PA 的斜率为 k, 则 PA 的直线方程为 y ? 2 ? k ( x ? 1) .--------------------------------------------7 分

? y ? 2 ? k ( x ? 1) ? 由 ? x2 得: (2 ? k 2 ) x2 ? 2k ( 2 ? k ) x ? ( 2 ? k )2 ? 4 ? 0 .-------------8 分 y2 ? ?1 ? ? 2 4
设 A(xA, yA),B(xB, yB),则 xA ? 1? xA ?

k 2 ? 2 2k ? 2 ,-------------------------------9 分 2 ? k2

同理可得 xB ?

k 2 ? 2 2k ? 2 ----------------------------------------------------10 分 2 ? k2

则 xB ? x A ?

8k 4 2k , yB ? y A ? ?k ( xB ? 1) ? k ( x A ? 1) ? . 2 2 ? k2 2?k

所以直线 AB 的斜率 k AB ?

y A ? yB ? 2 为定值.----------------------------------12 分 xA ? xB

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a b ? , ----------------------------------------------------1 分 x x2 由直线 y ? 2 的斜率为 0,且过点 (1, 2)
21.解: (Ⅰ)∵ f ?( x ) ?

? f (1) ? 2, ?b ? 1, ? 得? ------------------------------------------------------3 分 1 即? f ?(1) ? , ?a ? b ? 0, ? ? 2
解得 a ? 1, b ? 1. -----------------------------------------------------------------5 分 (Ⅱ)当 x ? 1 时,不等式 f ( x) ?
( x ? 1) ln x 1 ? x ? ? 2 ln x ? 0. --------------------------6 分 x ?1 x

( x ? 1) ln x 1 当 0 ? x ? 1 时, 不等式 f ( x) ? ? x ? ? 2 ln x ? 0. -----------------------------7 分 x ?1 x

令 g ( x) ? x ?

1 1 2 x2 ? 2 x ? 1 ? 2ln x, g ?( x) ? 1 ? 2 ? ? , x x x x2

? 当 x ? 0 时, g ?( x) ? 0, 所以函数 g ( x) 在 (0, ??) 单调递增,------------------------9 分
( x ? 1) ln x 成立------------------------------10 分 x ?1 ( x ? 1) ln x 当 0 ? x ? 1 时, g ( x) ? g (1) ? 0, 故 f ( x ) ? 也成立-------------------------11 分 x ?1 ( x ? 1) ln x 所以当 x ? 0 且 x ? 1 时, 不等式 f ( x ) ? 总成立----------------------------12 分 x ?1
当 x ? 1 时, g ( x) ? g (1) ? 0, 故 f ( x ) ? 22.解: (I)? EP 与⊙O 相切于点 A,??ACB ? ?PAB ? 250 ,-----------------------1 分 又 BC 是⊙O 的直径,??ABC ? 650 ----------------------------------------------3 分

? 四边形 ABCD 内接一于⊙O,??ABC ? ?D ? 1800
??D ? 1150. -------------------------------------------------------------------5 分
(II)? ?DAE ? 250 , ??ACD ? ?PAB, ?D ? ?PBA,

??ADC ? ?PBA. ---------------------------------------------------------------7 分 DA DC ? ? . -------------------------------------------------------------------8 分 BP BA
又 DA ? BA, ? DA2 ? DC ? BP. --------------------------------------------------10 分

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23.解: (I)直线 l 的普通方程为 3x ? y ? 4 ? 0 ,------------------------------------2 分 曲线 C 的直角坐标系方程为 x 2 ? y 2 ? 16. --------------------------------------------4 分 (II)⊙C 的圆心(0,0)到直线 l : 3x ? y ? 4 ? 0 的距离

d?
∴ cos

4 ( 3) ? 1
2 2

? 2, ------------------------------------------------------------6 分

1 2 1 ?AOB ? ? , --------------------------------------------------------8 分 2 4 2 1 ? ∵ 0 ? ?AOB ? , 2 2 1 ? 2? ? ?AOB ? , 故 ?AOB ? .-----------------------------------------------10 分 2 3 3
24.解: (I)由题意,得 f ( x) ? f ( x ? 1) ?| x ? 1| ? | x ? 2 | , 因此只须解不等式 | x ? 1| ? | x ? 2 |? 2 ---------------------------------------------1 分

1 ? x ? 1 ;------------------------------------2 分 2 当 1 ? x ? 2 时,原不式等价于 1≤2,即 1 ? x ? 2 ;------------------------------------3 分 5 当 x>2 时,原不式等价于 2x-3≤2,即 2 ? x ? .--------------------------------------4 分 2
当 x≤1 时,原不式等价于-2x+3≤2,即 综上,原不等式的解集为 ? x |

? ?

1 5? ? x ? ? . -------------------------------------------5 分 2 2?

(II)由题意得 f (ax) ? af ( x) ? ax ? 2 ? a x ? 2 ------------------------------------6 分 = ax ? 2 ? 2a ? ax ? ax ? 2 ? 2a ? ax ---------------------------------------------8 分

? 2a ? 2 ? f (2a). --------------------------------------------------------------9 分
所以 f (ax) ? af ( x) ? f (2a) 成立. ------------------------------------------------10 分

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