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概率论与数理统计 几何概型2


3.3.1 几何概型

复习回顾

古典概型的两个基本特征?
有限性:在一次试验中, (1) 有限性:在一次试验中,可能出现的结果只有有限 个,即只有有限个不同的基本事件; 即只有有限个不同的基本事件; (2) 等可能性:每个基本事件发生的可能性是相等的. 等可能性:每个基本事件发生的可能性是相等的.

现实生活中, 现实生活中,有没有实验的所有可能 结果是无穷多的情况? 结果是无穷多的情况? 相应的概率如何求? 相应的概率如何求?
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一、创设情景,引入新课 创设情景, 在转盘游戏中,当指针停止时, 在转盘游戏中,当指针停止时,为什 么指针指向红色区域的可能性大? 么指针指向红色区域的可能性大?

因为红色区域的面 积大, 积大,所以指针落 在红色的区域可能 性大。 性大。

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二、主动探索,领悟归纳 主动探索,

问题:甲乙两人玩转盘游戏 规定当指针指向 区域时,甲获胜 问题 甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向 区域时 甲获胜 甲乙两人玩转盘游戏 规定当指针指向B区域时 甲获胜, 否则乙获胜. 求甲获胜的概率是多少? 否则乙获胜 求甲获胜的概率是多少 点击右侧的小转盘,更换一个转盘后, 点击右侧的小转盘,更换一个转盘后,甲获胜的概率是多 少?
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主动探索 上述问题中,基本事件有无限多个, 上述问题中,基本事件有无限多个, 虽然类似于古典概型的“等可能性” 虽然类似于古典概型的“等可能性” 还存在, 还存在,但显然不能用古典概型的方 法求解,怎么办呢? 法求解,怎么办呢?

事实上, 事实上,甲获胜的概率与字 所在扇形区域的面积 面积有 母B所在扇形区域的面积有 而与字母B所在区域的位 关,而与字母B所在区域的位 置无关. 置无关.
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领悟归纳 对于一个随机试验, 每个基本事件理解为从 对于一个随机试验,将每个基本事件理解为从 某个特定的几何区域内随机地取一点 一点, 某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中每 一点被取到是等可能的; 一点被取到是等可能的; 而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述 而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述 随机事件 区域内的某个指定区域中的点. 指定区域中的点 区域内的某个指定区域中的点 这里的区域可以是长度,面积,体积等。 这里的区域可以是长度,面积,体积等。用这 长度 种方法处理随机试验,称为几何概率模型 几何概率模型。 种方法处理随机试验,称为几何概率模型。

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领悟归纳

定 义

如果每个事件发生的 概率只与构成该事件 区域的长度 长度( 区域的长度(面积或 体积)成比例, 体积)成比例,则称 这样的概率模型为几 何概率模型, 何概率模型,简称为 几何概型. 几何概型.

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领悟归纳 几何概型的特点: 几何概型的特点: (1)试验中所有可能出现的结果(基本事件) (1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无 试验中所有可能出现的结果 限多个. 限多个. (2)每个基本事件出现的可能性相等 每个基本事件出现的可能性相等. (2)每个基本事件出现的可能性相等. 在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下: 在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下:
构成事件A ( 构成事件A的区域长度面积或体积 ) P(A)= P(A) (面积或体积) 试验的全部结果所构成 的区域长度

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三、巩固深化,应用拓展 巩固深化, 几何概型的计算 一个质地均匀的陀螺的圆周上均匀地 刻有[0 5)上诸数字 在桌面上旋转它, 上诸数字, 刻有[0 , 5)上诸数字,在桌面上旋转它, 求当它停下来时, 求当它停下来时,圆周与桌面接触处的刻度 上的概率。 位于区间 [2 , 3] 上的概率。

S = [0, 5)
L ( S ) = 5- 0 = 5

A

= [2 , 3]

L ( A ) = 3-2 = 1

L(A) P ( A) = L (S )

1 = 5

2 3
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1 4

0

应用拓展 某商场为了吸引顾客, 例 : 某商场为了吸引顾客 , 设立了一个可以 自由转动的转盘, 并规定: 顾客每购买100 100元 自由转动的转盘 , 并规定 : 顾客每购买 100 元 的商品, 就能获得一次转动转盘的机会。 的商品 , 就能获得一次转动转盘的机会 。 如 果转盘停止时, 指针正好对准红、 果转盘停止时 , 指针正好对准红 、 黄或绿的 区域,顾客就可以获得100 100元 50元 20元的 区域,顾客就可以获得100元、50元、20元的 购物券(转盘等分成20 20份 购物券(转盘等分成20份) 黄 绿 甲顾客购物120 120元 甲顾客购物120元,他获得 购物券的概率是多少? 购物券的概率是多少?他得到 黄 100元 50元 20元的购物券的 100元、50元、20元的购物券的 概率分别是多少? 概率分别是多少?
绿 红

绿 绿

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甲顾客购物的钱数在100元到200元之间, 甲顾客购物的钱数在100元到200元之间, 100元到200元之间 可以获得一次转动转盘的机会, 可以获得一次转动转盘的机会,转盘一 共等分了20 20份 其中1份红色、 份黄色、 共等分了20份,其中1份红色、2份黄色、 份绿色,因此对于顾客来说: 4份绿色,因此对于顾客来说: 获得100元购物券) 100元购物券 P(获得100元购物券)= 1/20
1+ 2 + 4 P(获得购物券)=7 获得购物券) = 20 20
绿 黄

50购物券 P(获得50购物券)= 获得50购物券) 20购物券 P(获得20购物券)= 获得20购物券)

2 1 = 20 10
4 1 = 20 5



绿 绿 绿 红

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某人午觉醒来,发现表停了, 例1 某人午觉醒来,发现表停了,他 打开收音机,想听电台报时, 打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间 不多于10分钟的概率. 不多于10分钟的概率. 10分钟的概率 A={等待的时间不多于10分钟}.我们所 等待的时间不多于10分钟}. 解:设A={等待的时间不多于10分钟}.我们所 关心的事件A 关心的事件A恰好是打开收音机的时刻位于 分析:假设他在0 60分钟之间任何一个时刻打开 分析:假设他在0-60分钟之间任何一个时刻打开 [50,60]时间段内 时间段内, [50,60]时间段内 , 收音机是等可能的,但0-60之间有无穷个时刻 60之间有无穷个时刻, 之间有无穷个时刻 收音机是等可能的,因此由几何概型的求概率 , 的公式得 不能用古典概型的公式计算随机事件发生的概率。 不能用古典概型的公式计算随机事件发生的概率。

60 ? 50 1 P( A) = = , 60 6 可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生 1 的概率。 的概率。 等待的时间不超过10分钟” 10分钟 即“等待的时间不超过10分钟”的概率为 6
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假设你家订了一份报纸, 例2 假设你家订了一份报纸,送报人可能在早 上6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲 6:30—7:30之间把报纸送到你家, 之间把报纸送到你家 离开家去工作的时间在早上7:00 8:00之间 7:00— 之间, 离开家去工作的时间在早上7:00—8:00之间, 问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A) 问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A) 的概率是多少? 的概率是多少?

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解: 以横坐标X表示报纸送到时间,以纵坐标Y 以横坐标X表示报纸送到时间,以纵坐标Y表示父亲离 家时间建立平面直角坐标系, 家时间建立平面直角坐标系,假设随机试验落在方形 区域内任何一点是等可能的, 区域内任何一点是等可能的,所以符合几何概型的条 件. 根据题意,只要点落到阴影部分, 根据题意,只要点落到阴影部分,就表示父亲在离开家 前能得到报纸,即时间A发生, 前能得到报纸,即时间A发生,所以
302 602 ? 2 = 87.5%. P( A) = 602

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对于复杂的实际问题,解题的关键是要建立模型, 找出随机事件与所有基本事件相对应的几何区 域,把问题转化为几何概率问题,利用几何概率公 式求解.

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巩固练习 假设车站每隔 10 分钟发 一班车,随机到达车站, 一班车,随机到达车站,问等车时间 不超过 3 分钟的概率 ?

0←

→10

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学法领悟 提 示

对于复杂的实际问题, 对于复杂的实际问题 解题的关键是要建立模 型,找出随机事件与所有 找出随机事件与所有 基本事件相对应的几何 区域,把问题转化为几何 区域 把问题转化为几何 概率问题,利用几何概率 概率问题 利用几何概率 公式求解. 公式求解

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练习 1.公共汽车在 ~5分钟内随机地到达车站,求汽 公共汽车在0~ 分钟内随机地到达车站, 公共汽车在 分钟内随机地到达车站 车在1~ 分钟之间到达的概率 分钟之间到达的概率。 车在 ~3分钟之间到达的概率。 分析:将0~5分钟这段时间看作是一段长度为5 分析: 分钟这段时间看作是一段长度为5 个单位长度的线段, 个单位长度的线段,则1~3分钟是这一线段中 个单位长度。 的2个单位长度。 汽车在1 分钟之间到达”为事件A 解:设“汽车在1~3分钟之间到达”为事件A,则
3 ?1 2 P( A) = = 5 5 2 所以“汽车在1 分钟之间到达” 所以“汽车在1~3分钟之间到达”的概率 5 为
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练习 2.有一杯 升的水 其中 有一杯1升的水 有一杯 升的水,其中 含有1个细菌 个细菌,用一个 含有 个细菌 用一个 小杯从这杯水中取出 0.1升,求小杯水中含 升 求小杯水中含 有这个细菌的概率. 有这个细菌的概率

3.如右图 假设你在每个 如右图,假设你在每个 如右图 图形上随机撒一粒黄 豆,分别计算它落到红 分别计算它落到红 色部分的概率. 色部分的概率
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练习
4.一张方桌的图案如图所示。将一颗豆子随机地 一张方桌的图案如图所示。 一张方桌的图案如图所示 扔到桌面上,假设豆子不落在线上, 扔到桌面上,假设豆子不落在线上,求下列事 件的概率: 件的概率: (1)豆子落在红色区域; 豆子落在红色区域; 豆子落在黄色区域; (2)豆子落在黄色区域; 豆子落在绿色区域; (3)豆子落在绿色区域; 豆子落在红色或绿色区域; (4)豆子落在红色或绿色区域; 豆子落在黄色或绿色区域。 (5)豆子落在黄色或绿色区域。

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练习
5.取一根长为 米的绳子,拉直后在任意位置剪断 那 取一根长为3米的绳子 拉直后在任意位置剪断,那 取一根长为 米的绳子 拉直后在任意位置剪断 么剪得两段的长都不少于1米的概率有多大 米的概率有多大? 么剪得两段的长都不少于 米的概率有多大
1m 3m 1m

如上图, 解:如上图,记“剪得两段绳子长都不小于 1m”为事件A,把绳子三等分,于是当剪断位 1m 为事件A 把绳子三等分, 为事件 置处在中间一段上时,事件A发生。 置处在中间一段上时,事件A发生。由于中间 一段的长度等于绳子长的三分之一, 一段的长度等于绳子长的三分之一,所以事 发生的概率P =1/3。 件A发生的概率P(A)=1/3。
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练习
6.在等腰直角三角形 在等腰直角三角形ABC中,在斜边 上任取一点 在等腰直角三角形 中 在斜边AB上任取一点 M,求AM小于 的概率。 小于AC的概率 , 小于 的概率。 分析: 随机地落在线段AB AB上 分析:点M随机地落在线段AB上,故线段 AB为区域 为区域D 当点M位于图中的线段AC AC’上 AB为区域D。当点M位于图中的线段AC 上 时,AM<AC,故线段AC 即为区域d。 AM<AC,故线段AC’即为区域d AC 即为区域 AB上截取AC’=AC 上截取AC =AC, 解: 在AB上截取AC =AC,于是 AM<AC)=P(AM<AC’) P(AM<AC)=P(AM<AC )

AC' AC 2 = = = AB AB 2
AM小于AC的概率为 小于AC 则AM小于AC的概率为
2 2
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练习 7.在半径为 的圆上随机地取两点,连成一条线,则 在半径为1的圆上随机地取两点,连成一条线, 在半径为 的圆上随机地取两点 其长超过圆内等边三角形的边长的概率是多少? 其长超过圆内等边三角形的边长的概率是多少? 解:记事件A={弦长超过圆内接 记事件 弦长超过圆内接 等边三角形的边长}, 等边三角形的边长 ,取圆内接 等边三角形BCD的顶点 为弦 的顶点B为弦 等边三角形 的顶点 的一个端点, 的一个端点,当另一点在劣弧 CD上时,|BE|>|BC|,而弧 上时, 上时 ,而弧CD 的长度是圆周长的三分之一, 的长度是圆周长的三分之一, 所以可用几何概型求解, 所以可用几何概型求解,有
1 P( A) = 3
B

.0 C E D

1 弦长超过圆内接等边三角形的边长” 则“弦长超过圆内接等边三角形的边长”的概率为 3
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四、总结评价,促进成长 总结评价, 1.几何概型的特点 几何概型的特点. 几何概型的特点 2.古典概型与几何概型的区别: 古典概型与几何概型的区别: 古典概型与几何概型的区别 1)两种模型的基本事件发生的可能性都相等; )两种模型的基本事件发生的可能性都相等; 2)古典概型要求基本事件是有限个,而几何概型 )古典概型要求基本事件是有限个, 则要求基本事件有无限多个。 则要求基本事件有无限多个。 3.几何概型的概率公式及运用 几何概型的概率公式及运用. 几何概型的概率公式及运用
构成事件A的区域长度(面积或体积) P( A) = 全部结果所构成的区域长度(面积或体积)
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第一章 概率论的基本概念

思考题

几何概型

1) 甲乙两人约定在 时到 时之间在某处会面 并约 甲乙两人约定在6时到 时之间在某处会面,并约 时到7时之间在某处会面 定先到者应等候另一个人一刻钟,到时即可离去 到时即可离去,求 定先到者应等候另一个人一刻钟 到时即可离去 求 两人能会面的概率. 两人能会面的概率 2 ) 在线段 AD 上任意取两个点 B、C,在 B、C 处 C 折断此线段 而得三折线,求此三折线能构成三角形 的概率。(1/4) 3 )甲、乙两船停靠同一码头,各自独立地到达, 且每艘 船在一昼夜间到达是等可能的。若甲船需 停泊 1小时,乙 船需停泊 2小时,而该码头只能停 泊一艘船。试求其中一 艘船要等待码头空出的概率。 返回主目录 (0.121)
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第一章 概率论的基本概念 几何概型

4) 在区间 ( 0, 1 ) 中随机地取两个数,求下列事 件的概率: (1) 两个数中较小(大)的小于 1/2 ; (3/4, 1/4) (2) 两数之和小于 3/2 ; (3) 两数之积小于 1/4 。 (1/4+1/2ln(2)) (0.5966) (7/8)

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