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[名校联盟]福建省长泰县第一中学2012届高三数学二轮复习专题05 三角函数》


三角函数综合

第一课时:

三角变换

第一课时:

三角变换

[课前导引]

第一课时:

三角变换

[课前导引]
1. 设? ? ? ? 则 cos ? cos ? ?

?

3 ( )

, tan ? ? tan ? ? 3,

1 A. 6

3 B. 6

3 3 C. 2

3 D. 2

sin ? sin ? ? [解析] tan ? ? tan ? ? cos ? cos ? sin ? cos ? ? sin ? cos ? ? cos ? cos ? sin(? ? ? ) 3 ? ? ? 3, cos ? cos ? cos ? cos ? ? cos ? cos ? ? sin 3 sin

?

?

3 ?

3 . 6

2. 已知 : 2cos? ? 1 ? sin? , 求cot(

?

? ). 4 2

?

2. 已知 : 2cos? ? 1 ? sin? , 求cot(
[法一]

?

? ). 4 2

?

? 2(cos ? cos

2

?

? 2cos? ? 1 ? sin? , ? sin
2

?

? ?
2

2

? sin

?
2

2

) ? (cos

?

? 0或 cos

?

? sin ) 2 2

?

2

1 ? tan ? ?1或 tan ? , 2 2 3

?

? 3 sin , 2 2

?

? cot( ? cot(

? ?

? )? ? ? ? ? 4 2 tan( ? ) 1 ? tan 4 2 2 ? ) ? 0或 cot( ? ) ? 2. 4 2 4 2

? ?

1

1 ? tan

?
2,

?

?

? cot( ? cot(

? ?

? )? ? ? ? ? 4 2 tan( ? ) 1 ? tan 4 2 2 ? ) ? 0或 cot( ? ) ? 2. 4 2 4 2

? ?

1

1 ? tan

?
2,

?

?

[法二]

? 2cos? ? 1 ? sin? ,

? 2 sin(

?

? ? ) ? 1 ? cos( ? ? ), 2 2

?

? 4 sin(

?

? ) cos( ? ) ? 2 cos ( ? ), 4 2 4 2 4 2
2

?

?

?

?

?

? cos( ? ) ? 0或 4 2 2 sin(

?

?

?

? ) ? cos( ? ) 4 2 4 2

?

?

?

? cot(

?

? ) ? 0或 cot( ? ) ? 2. 4 2 4 2

?

?

?

[链接高考]

[链接高考] A? B [例1] 1. (1) 在?ABC中,已知 tan 2 ? sin C , 给出以下四个论断: 1 tanA ? cot B ? 1
2 0 ? sinA ? sin B ? 3 2 2 3 sin A ? cos B ? 1 2 2 2 4 cos A ? cos B ? sin C 其中正确的是 ( ) A. 1 3 B. 2 4 C. 1 4 D. 2 3

[链接高考] A? B [例1] 1. (1) 在?ABC中,已知 tan 2 ? sin C , 给出以下四个论断: 1 tanA ? cot B ? 1
2 0 ? sinA ? sin B ? 3 2 2 3 sin A ? cos B ? 1 2 2 2 4 cos A ? cos B ? sin C 其中正确的是 ( B ) A. 1 3 B. 2 4 C. 1 4 D. 2 3

( 2) 设 0 ? x ? 2? , 且 1 ? sin 2 x ? sin x ? cos x , 则 (
A. 0 ? x ? ? 5? C. ? x ? 4 4

) ? 7? B. ? x ? 4 4
3? D. ? x ? 2 2

?

?

( 2) 设 0 ? x ? 2? , 且 1 ? sin 2 x ? sin x ? cos x , 则 ( C ) ? 7? A. 0 ? x ? ? B. ? x ? 4 4
5? C. ? x ? 4 4

?

3? D. ? x ? 2 2

?

( 3) 对任意的锐角 、? , 下列 ? 不等关系中正确的是 ( )
A. sin(? ? ? ) ? sin? ? sin? B. sin(? ? ? ) ? cos ? ? cos? C. cos(? ? ? ) ? sin? ? sin? D. cos(? ? ? ) ? cos ? ? cos ?

( 3) 对任意的锐角 、? , 下列 ? 不等关系中正确的是 ( D )
A. sin(? ? ? ) ? sin? ? sin? B. sin(? ? ? ) ? cos ? ? cos? C. cos(? ? ? ) ? sin? ? sin? D. cos(? ? ? ) ? cos ? ? cos ?

(4) 设f 0 ( x ) ? sin x , f1 ( x ) ? f 0 ' ( x ),? , f n?1 ' ( x ) ? f n ' ( x ), n ? N , 则 f 2005 ( x ) ? ( )

A. sinx C. cosx

B. ? sinx D. ? cosx

(4) 设f 0 ( x ) ? sin x , f1 ( x ) ? f 0 ' ( x ),? , f n?1 ' ( x ) ? f n ' ( x ), n ? N , 则 f 2005 ( x ) ? ( C )

A. sinx C. cosx

B. ? sinx D. ? cosx

(5) 已知( x cos? ? 1) 的展开式
5

5 4 中x 的系数与( x ? ) 的展开式中 4
2

x 的系数相等, 则 cos? _________ .
3

(5) 已知( x cos? ? 1) 的展开式
5

5 4 中x 的系数与( x ? ) 的展开式中 4 2 ? 3 2 x 的系数相等, 则 cos? _________ .
2

[例2] 已知在?ABC中, sin A(sin B ?

cos B ) ? sin C ? 0, sin B ? cos 2C ? 0, 求角A、B、C的大小.

[例2] 已知在?ABC中, sin A(sin B ?

cos B ) ? sin C ? 0, sin B ? cos 2C ? 0, 求角A、B、C的大小.
[法一] 由sinA(sin B ? cos B ) ? sin C ? 0,

得 : sin A sin B ? sin A cos B ? sin( A ? B ) ? 0,? sin A sin B ? sin A cos B ? sin A cos B ? cos A sin B ? 0. 即 sin B(sin A ? cos A) ? 0.

? B ? (0, ? ),? sin B ? 0, 从而 cos A ? sin A. 由A ? (0, ? )知 : A ?

?
4

.

3 从而B ? C ? ? . 4 由 sin B ? cos 2C ? 0得 : 3 sin B ? cos 2( ? ? B ) ? 0 4

即 sin B ? sin 2 B ? 0. 亦即sin B ? 2 sin B cos B ? 0. 1 ? 5? 由此得 : cos B ? , B ? , C ? . 2 3 12 ? ? 5? ? A ? , B ? ,C ? . 4 3 12

[法二] 由sinB ? cos 2C ? 0得 :

3? sin B ? ? cos 2C ? sin( ? 2C ). 2 由0 ? B、C ? ? , 3? ? ?B ? ? 2C或B ? 2C ? . 2 2 3? ? 即B ? 2C ? 或 2C ? B ? . 2 2

由 sin A(sinB ? cos B ) ? sin C ? 0得 : sin A sin B ? sin A cos B ? sin( A ? B ) ? 0 ? sin A sin B ? sin A cos B ? sin A cos B ? cos A sin B ? 0. 即 sin B(sin A ? cos A) ? 0 ? sin B ? 0,? cos A ? sin A. 由A ? (0, ? )知 : A ?

?
4

.

3 从而B ? C ? ? , 4 5? 知B ? 2C ? 不合要求. 2 1 ? 5? 再由2C ? B ? ? , 得 : B ? , C ? . 2 3 12 ? ? 5? ? A ? , B ? ,C ? . 4 3 12

[例3]

?ABC中,内角A, B , C的对边

分别为a , b, c ,已知a , b, c成等比数列, 3 cosB ? . 4 (1) 求 cot A ? cot C的值; 3 ( 2) 设 BA ? BC ? , 求a ? c的值. 2

3 [解析] (1) 由cosB ? 得 : 4 3 2 7 sin B ? 1 ? ( ) ? , 4 4 2 由b ? ac及正弦定理得: sin B ? sin A sin C .
2

1 1 于是 cot A ? cot C ? ? tan A tan C

cos A cos C sin C cos A ? cos C sin A ? ? ? sin A sin C sin A sin C sin( A ? C ) sin B 1 4 ? ? ? ? 7. 2 2 sin B sin B sin B 7

cos A cos C sin C cos A ? cos C sin A ? ? ? sin A sin C sin A sin C sin( A ? C ) sin B 1 4 ? ? ? ? 7. 2 2 sin B sin B sin B 7 3 3 ( 2)由BA ? BC ? 得 : ca ? cos B ? , 2 2 3 2 由 cos B ? , 可得 : ca ? 2, 即b ? 2. 4

由余弦定理: b ? a ? c ? 2ac cos B
2 2 2

得 : a ? c ? b ? 2ac ? cos B ? 5.
2 2 2

(a ? c ) ? a ? c ? 2ac
2 2 2

? 5 ? 4 ? 9, ? a ? c ? 3.

? [例4] 已知向量m ? (cos ? , sin? )和 ? n ? ( 2 ? sin? , cos ? ), ? ? (? ,2? ), 且 ? ? 8 2 ? ? m?n ? , 求 cos( ? )的值. 5 2 8

? [例4] 已知向量m ? (cos ? , sin? )和 ? n ? ( 2 ? sin? , cos ? ), ? ? (? ,2? ), 且 ? ? 8 2 ? ? m?n ? , 求 cos( ? )的值. 5 2 8 ? ? [解析] m ? n ? (cos ? ? sin? ? 2 , ? ? cos? ? sin? ), m ? n

? (cos ? ? sin? ? 2 ) ? (cos ? ? sin? )
2

2

? 4 ? 2 2 (cos ? ? sin? ) 4 ? ? 8 2 由已知 m ? n ? 得: 5 ? 7 cos(? ? ) ? . 4 25 ? 4 ? 4 cos(? ?

?

) ? 2 1 ? cos(? ?

?
4

)

) ? 2 cos ( ? ) ? 1, 4 2 8 ? 16 2 ? ? cos ( ? ) ? . 2 8 25 5? ? ? 9? ?? ? ? ? 2? ,? ? ? ? 8 2 8 8 ? ? 4 ? cos( ? ) ? ? . 2 8 5
2

又 cos(? ?

?

?

?

第二课时: 三角函数的图象与性质

第二课时: 三角函数的图象与性质

[课前导引]

第二课时: 三角函数的图象与性质

[课前导引]
1. 已知点A( x1 , y1 ), B( x 2 , y2 )是函数 y ? sin x ( ?? ? x ? 0) 上的两个不同点 , 且x1 ? x2 , 试根据图象特征判定下 列四 sin x1 sin x2 个不等式的正确性:) (1 ? ; x1 x2

( 2) sin x1 ? sin x 2 ; 1 x1 ? x 2 ( 3) (sin x1 ? sin x 2 ) ? sin ; 2 2 x1 x2 (4) sin ? sin . 2 2 其中正确不等式的序号 _______ . 是

( 2) sin x1 ? sin x 2 ; 1 x1 ? x 2 ( 3) (sin x1 ? sin x 2 ) ? sin ; 2 2 x1 x2 (4) sin ? sin . 2 2 其中正确不等式的序号 _______ . 是 (1)( 3)

2. 已知函数f ( x ) ? cos x ? 2 sin x 4 cos x ? sin x , 则f ( x )的最小正周期为
4

__________; 若x ? [0, ], 则f ( x )的最 2 大值为_______, 最小值为_______ .

?

2. 已知函数f ( x ) ? cos x ? 2 sin x 4 cos x ? sin x , 则f ( x )的最小正周期为
4

__________; 若x ? [0, ], 则f ( x )的最 2 大值为_______, 最小值为_______ .
[解析] ? f ( x ) ? cos x ? 2 sin x cos x ?
4

?

sin x ? (cos x ? sin x )(cos x ? sin x )
4 2 2 2 2

? sin 2 x ? cos 2 x ? sin 2 x ? 2 cos(2 x ?

?
4

)

2? ? f ( x )的最小正周期 ? T ??. 2 ? ? ? 5? ? 0 ? x ? ,? ? 2 x ? ? 2 4 4 4 当2 x ?

?
4

?

?
4

时,

2 cos(2 x ? )取得最大值 ; 4 2

?

当2 x ?

?
4

? ?时,

cos(2 x ?

?
4

)取得最小值? 1.

? f ( x )在[0, ]上的最小值为? 2 , 2 最大值为 . 1

?

[链接高考]

[链接高考]
[例1] 若函数f ( x ) ?

1 ? cos 2 x 4 sin(

?
2

?

? x)

x x a sin cos(? ? )的最大值为2, 试确 2 2 定常数a的值.

[链接高考]
[例1] 若函数f ( x ) ?

1 ? cos 2 x 4 sin(

?
2

?

? x)

x x a sin cos(? ? )的最大值为2, 试确 2 2 定常数a的值.

2 cos x x x [解析] f ( x ) ? ? a sin cos 4 cos x 2 2

2

1 a ? cos x ? sin x 2 2 2 1 a ? ? sin( x ? ? ), 4 4 其中角?满足 sin ? ?
2

1 1? a
2

1 a 由已知有 ? ? 4, 解之得 : a ? ? 15 . 4 4

6k ? 1 ? ? 2 x) [例2] 化简 f ( x ) ? cos( 3 6k ? 1 ? ? cos( ? ? 2 x ) ? 2 3 sin( ? 2 x ) 3 3 ( x ? R, k ? Z ), 并求函数f ( x )的值域和 最小正周期.

6k ? 1 ? ? 2 x) [例2] 化简 f ( x ) ? cos( 3 6k ? 1 ? ? cos( ? ? 2 x ) ? 2 3 sin( ? 2 x ) 3 3 ( x ? R, k ? Z ), 并求函数f ( x )的值域和 最小正周期. 6k ? 1 ? ? 2 x) ? [解析] f ( x ) ? cos( 3 6k ? 1 ? cos( ? ? 2 x ) ? 2 3 sin( ? 2 x ) 3 3

? 2 cos( ? 2 x ) ? 2 3 sin( ? 2 x ) 3 3 ? 4 cos 2 x . 函数f ( x )的值域为 ?4,4]; [ 函数f ( x )的周期T ? 2?

?

?

?

??.

? [例3] 设函数f ( x ) ? a ? b, 其中向量a ? ? ( 2 cos x ,1), b ? (cos x , 3 sin 2 x ), x ? R. (1) 若f ( x ) ? 1 ? 3且x ? [? 求x;

? ?

, ], 3 3

( 2) 若函数y ? 2 sin 2 x的图象按向 ? ? 量c ? ( m , n)( m ? )平移后得到函数 y 2 ? f ( x )的图象, 求实数m 、n的值.

[解析]

(1) 依题设 : f ( x ) ? 2 cos x
2

? 3 sin 2 x ? 1 ? 2 sin( 2 x ? 由1 ? 2 sin( 2 x ?

?
6

).

?
6

) ? 1 ? 3得 :

3 sin( 2 x ? ) ? ? . 6 2

?

??

? ?
3

? x?

?
3

,

5? ?? ? 2x ? ? , 2 6 6 ?2x ?

?

?

6

??

?
.

即x ? ?

?
4

3

,

( 2) 函数y ? 2 sin 2 x的图象按 ? 向量c ? ( m , n)平移后得到函数 y ? 2 sin 2( x ? m ) ? n的图象. ?
由(1)得 f ( x ) ? 2 sin 2( x ? ?m ?

?
2

,

?m ? ?

?
12

12

)?1

,n?1

? x x [例4] 已知向量a ? ( 2 cos , tan( ? 2 2 ? ? x ? x ? )), b ? ( 2 sin( ? ), tan( ? )), 4 2 4 2 4 ? ? 令f ( x ) ? a ? b 是否存在实数 ? ?0, ? ?, x 使f ( x ) ? f ' ( x ) ? 0 (其中f ' ( x )是f ( x ) 的导函数)?若存在, 则求出x的值; 若 不存在, 则证明之.

? ? x [解析] f ( x ) ? a ? b ? 2 2 cos 2 x ? x ? x ? sin( ? ) ? tan( ? ) tan( ? ) 2 4 2 4 2 4 x 2 x 2 x ? 2 2 cos ( sin ? cos ) 2 2 2 2 2 x x 1 ? tan tan ? 1 2? 2 ? x x 1 ? tan 1 ? tan 2 2

x x 2 x ? 2 sin cos ? 2 cos ? 1 ? sin x ? cos x . 2 2 2

令f ( x ) ? f ' ( x ) ? 0, 即: f ( x ) ? f ' ( x ) ? sin x ? cos x ? cos x ? sin x ? 2 cos x ? 0 可得x ?

?

2 使f ( x ) ? f ' ( x ) ? 0

, 所以存在实数 ? x

?
2

? ?0, ? ?,


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