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《导数的概念》说课稿


2010 年北京市中小学优秀课堂教学设计征集与评选

一、指导思想与理论依据 本课内容是人教社 A 版普通高中课程标准实验教科书 《数学》 (选修 2-2) 第一章 《导 数及应用》1.1.2 导数的概念(课本 P4—P6).数学概念教学的核心价值是“凸现数学本 质,强化问题教学,营造思维过程,实现育人价值”.本节课采用了探究式、发现式的 教学方式,就是让学生观察、操作、比较有关的学习材料,自己去探索发现知识,获得 概念、公式和原理(李伯黎、燕国材主编: 《教育心理学》,华东师范大学出版社,1993 年版,第 319 页). 二、教学背景分析 (一)授课内容分析 自 17 世纪牛顿和莱布尼兹发明微积分之后,微积分得到了突飞猛进的发展,并广泛 应用于物理学、天文学、经济学等其它学科和生产生活的各个领域,推动了科学技术的 迅猛发展,揭开了人类事业发展的新篇章.导数作为微积分的核心概念,其地位举足轻 重.中学数学教材把“导数及应用”单独作为一章,“导数的概念”是全章重点内容之 一,这不仅源于导数自身的严谨结构,更重要的是,对导数的深入理解与熟练应用是一 种高明而又复杂的数学思维.用导数处理函数的相关问题更具普遍性,更能获得理想的 结果;把运算对象作用于导数上,可使我们扩展知识面,感悟变量、无限逼近的极限思 想,从而运用更高的数学工具和更为一般的方法解决或简化中学数学中的不少问题. 为了使导数的概念更容易被理解、接受,新教材改进了旧教材的方法,依据高中学 生的认知水平,从平均变化率入手,用直观形象的“无限逼近”方法定义导数,深入浅 出的展示了导数概念的要领和实质. (二)学生情况分析 通过对高一物理中平均速度、瞬时速度及前节课中平均变化率的学习,学生已经对 变化率的概念有了初步的了解和和直观的认知,这些将对本课程(导数的概念)的学习 起到重要的铺垫作用.此外,本班是高二年级理科实验班,学生思维活跃,学习积极性 高,已经基本具备了对数学问题进行合作探究的意识与能力. (三)教学方式、学习方式与教学手段说明 1.关于教学方式的选择 为了充分调动学生学习的积极性, 变被动学习为主动愉快的学习, 本课程将采用 “教 师适时引导和学生自主探究发现相结合”的教学方式.课堂教学始终贯彻“教师、学生 为主体,探究为主线,思维为核心”的教学思想,通过创设问题情景,使学生们都能充 分地动手、动口、动脑,参与教学全过程;注重思考方法的渗透,以已知探求未知,激 发学生的学习热情; 注重抽象概念不同意义间的转换, 从实际意义入手, 阐述数值意义, 揭示几何意义;深入挖掘具体知识中所蕴涵的数学思想方法,使学生在数学知识的广度 和思维的深度上有所收获,逐步掌握数学研究的思考方式和方法. 2.关于学习方式的指导

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丰富学生的学习方式、改进学生的学习方法是高中数学课程追求的基本理念.通过 “导数概念”的学习,使学生学习数学家研究数学的方法,掌握“以已知探求未知”的 学习方式,培养自主探索、动手实践、合作交流的良好学习习惯. 在本课程教学中, “求高台跳水运动员在 t 从
? 2s

时的瞬时速度” 这个具体问题入手,

引导和帮助学生动手计算、观察、分析、比较、归纳、发现规律,亲身经历数学研究过 程, 自然获得导数的概念—本节课的核心概念, 实现从具体问题抽象为一般问题的目标; 然后指导学生运用导数的概念解决实际问题,体现导数的工具作用和数学的应用价值. 3.关于教学手段的选择 现代信息技术的广泛应用正在对数学教学和数学学习产生深刻的影响,我们提倡信 息技术与教学方式的适当结合,更好地揭示数学的本质,帮助学生正确地理解数学知 识.鼓励学生用信息技术进行探索和发现,有利于学生的数学学习. 本课程将运用计算机辅助教学.利用 PowerPoint 幻灯片,活跃课堂气氛,丰富教学 内容,提高学习效率;利用 flash 课件的动态演示,展示数与形的优美结合,使信息技 术真正为教学服务;学生相互合作,动手实践,利用计算器(还有同学用到了电脑), 真正经历从发现、类比到创新的全过程. 三、教学目标设计
(一)关于教学目标的制订

1. 通过对高台跳水实例的分析, 与学生共同体验由平均变化率到瞬时变化率的过渡, 体会导数概念的实际背景. 2.领会瞬时变化率的实质,形成导数概念,了解导数内涵. 3.通过导数概念的形成过程,学习归纳、类比的推理方式;体验无限逼近、从特殊 到一般、化归与转化的数学思想;提高广泛联系、抽象概括能力;培养学生正确认识量 变与质变、运动与静止等对立统一观点,形成正确的数学观.
(二)教学重点与难点的确定

1.教学重点:导数定义的形成过程和导数的内涵. 2.教学难点:对导数定义的理解. 四、教学过程与教学资源设计 教学基本流程:

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创设情境,研究具体问题 ——求高台跳水运动员在 t ? 2 s 时的瞬时速度 明确解决问题的想法及途径 ——进行不同想法的比较,确立最终解决方案 自主探索,解决提出的问题 ——高台跳水运动员在 t ? 2 s 时的瞬时速度为 ? 13 . 1m / s 由具体问题抽象为一般问题 ——获得导数定义 循序渐进,解决实际问题 ——了解导数的内涵及应用 导数 课堂小结 思考探究问题 教学过程: 教学流程 设计意图 师生活动 备注

(1)复习回顾,引入这节 (1)让学生认识到平均 师生共同回顾上节课所学内 在 此 之 前 学 课所要研究的问题. 速度只能粗略描述高 容,由运动员在 0 ? t ? 65 这段 生 已 经 完 成 49 台跳水运动员在某段 了 1.1.1 的探 时间里的平均速度为 0,引出 时间内的运动状态. 究作业. 我们需要求运动员在任意时刻 (2)让学生产生进一步 的速度,即瞬时速度. 学习的欲望,即有必 要知道高台跳水运动 员在任意时刻的速 度. 教学流程 (2) 设计意图 师生活动 备注

(1) 使 抽 象 问 题 具 体 (1)首先由学生介绍问题①的 (1) 应 特 别 注 时 的 瞬 时 速 们能不能用已有方法解决问题 的引导, 以 ②?” 已知探求未

①如何求高台跳水运动 化 , 即 求 运 动 员 在 物理解法,然后教师提问“我 意 思 考 方 法 员在 t 度?
? 2 s

时的瞬时速

t ? 2 s

度.

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②如果我们将 h 与 t 关 (2) 针 对 具 体 问 题 情 系 改
3

(2)引导学生” 以已知探求未 知.


2

: 境,寻求解决问题的 知”, 组织学生从高台跳水这个 (2) 如 何 用 数
? 10

s (t ) ? ? 4 .9 t ? 6 .5 t

想法.问题①学生可 模 型 入 手 , 讨 论 运 动 员 在 学 语 言 描 述 以用物理方法解决,
t ? 2 s t ? 2 s

如何求运动员在 t 时的瞬时速度呢?

? 2s

附近的平均速度和

t ? 2 s

附 近

但问题②用学生已有

基于 时的瞬时速度之间的关 是难点, 课堂时间的 决,从而使学生产生 系,阐述想法. 考虑, 上节课 学习新知识的愿望. (3)师生共同确定想法:先计算 教师和学生 t ? 2 s 附近的平均速度,然后 已 经 充 分 交 的知识结构不能解 学生基 再细致地观察它附近平均速度 流过, 本可以准确 的特点. 描述了.

(3)由学生自己按照分 (1)熟悉符号,鼓励学 教师在巡视中,努力做到: 好的学习小组,合作交 生 流,自主探究.
?

直观的想法


?t



用 (1)引导学生采用简洁的数学 需 通 过 数 量 表达式计算运动员在[2+ ? t , 计 算 得 以 明 2] ( ?t
? 0)

v ?

h(2 ? ?t) ? h(2)

来计算高台跳水运动

及[2, ? t ] ? t 2+ (

? 0)

确.根据学生 实际情况, 可 适当增加表 格中的取值, 更多的数值 有利于学生 发现其中蕴 涵的规律.

员在 t ? 2 s 前后运动 的平均速度. (2)教师根据课堂情况,合理调 员的平均速度. 整四个学习小组的探究任务, (2)让学生在亲自计算 努力做到学生动手计算的过程 的过程中感受逼近的 中, 既有从左边逼近 2s 时平均 趋势. 速度的数值,也有从右边逼近 (3)理解导数的内涵是 2s 时平均速度的数值,两次体 本节课的教学重难 会无限逼近的数学思想. 点,通过层层设疑, 把学生推向问题的中 心, 让学生动手操作, 直观感受来突出重 点,突破难点. 教学流程 设计意图 师生活动

备注

(4)教师组织学生以小 (1)学生对概念的认知 (1)组长或小组代表上台展示 在 这 里 应 给 组为单位进行探究成果 需要借助大量的直观 本组的具体实施步骤、计算过 予 学 生 充 分 展示. 数据,以便观察、比 程、计算结果、从中发现的规 思 考 和 讨 论 较、归纳、提炼实质. 律. 的时间和空

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(2)让学生经历观察、 (2)教师结合学生展示情况,作 间, 引导他们 分析、比较、归纳、 必要的说明和展示. 会瞬时速度的含义.
?t

说出自己的

发现规律的过程,体 (3)解决了我们提出的问题:当 发现, 并逐步 趋于 0 时,运动员的平均速 修 正 到 最 终
? 2s

度趋于一个确定的值 ? 13 . 1 .即 的结论为止. 运动员在 t 时的瞬时速度 为 ? 13 . 1 m / s . (4)教师介绍符号表示,并解释 符号含义.为了表述方便,数学 中用简洁的符号来表示,即
h(2 ? ? t) ? h(2)
?t ? 0

lim

?t

? ? 13 . 1

(5)
?

v ?

h(2 ? ? t) ? h(2) ?t

? ? 4 . 9 ? t ? 13 . 1

的再认识.

对 通过数与形的结合, 扫清了学生的思维障 碍,更好地突破了教 学的难点,让学生感 受数学的简约美,加 深学生对知识的认识 和理解.

(1)教师借助图象进行动态演 示. (2)学生从一次函数的角度解 释:
?

v ?

h(2 ? ? t) ? h(2) ?t

? ? 4 . 9 ? t ? 13 . 1

上 升 (1)带领学生回顾探求 t ? 2 s 时 瞬时速度的全过程. 到 任 意 点 t ? t0 瞬 时 瞬时速度的形式化表 (2)引导学生继续思考:运动员 示. 速度的表示,提高了 在某个时刻 t 0 的瞬时速度如何 他们的思维能力,体 现了特殊到一般的思 形式化表示? 维方法,并养成规范 (3) 引导学生意识到将 t 0 代替 使用数学符号的习 惯. 2 , 可 类 比 得 到 : (6)运动员在 t
?t0

时的

从特殊点 t

? 2

与旧教材相 比, 这里不提 及极限概念, 而是通过形 象生动的逼 近思想来定 义 t0 时刻的 瞬时速度, 更 符合学生的 认知规律.

?t? 0

lim

h (t 0 ? ? t ) ? h (t 0 ) ?t

教学流程

设计意图

师生活动

备注

(7)将这个变化率问题 (1)引导学生舍弃具体 (1)在前面问题的铺垫下,教师 这 是 学 生 思 中的函数用
f (x)

来 表 问题的实际意义,抽 进一步提出,函数 y 象得到导数定义,由 在 浅入深、由易到难、
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? f (x) 在

维上升的又 一个层次, 在 这个过程中

示,得出函数

f (x)

x ? x0

处 的 瞬 时 变 化 率

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x ? x0

率.

处 的 瞬 时 变 化 由特殊到一般,帮助 学生完成了思维的飞 跃. (2)通过对导数概念的 数概念的理解.

?x? 0

lim

?y ?x

? lim

f (x0 ? ?x) ? f (x0 ) ?x

应特别注意 教师的引导 作用.

?x? 0

即y

? f (x) 在 x ? x0

处的导数,

分析, 加深学生对导 记作:
f ( x 0 ) ? lim
'

?y ?x f ( x0 ? ? x ) ? f ( x0 ) ?x
|x? x

?x ? 0

? lim

?x ? 0

(也可记为 y '

0

)

(2)教师强调对导数概念的理 解.

(8)学生介绍导数产生 (1)提及导数产生的时 教师结合课前学生上交的预习 这 个 环 节 基 的背景和作用. 代背景,让学生感受 作业,安排同学课上介绍展示 于 已 经 布 置 自己的预习成果. 数学文化的熏陶,感 了课前预习 受数学来源于生活, 又服务于生活. (2)让学生体会导数具 有工具性作用,后面 我们会利用它重点解 决函数单调性及最值 问题,鼓励大家课下 自主学习. 作业.

教学流程 设计意图 师生活动 (9)例 1 将原油精炼为 巩固对导数定义的理 (1)从学生的已有知识出发,让 汽油、柴油、塑胶等不 解,感受导数内涵. 学生独立完成例 1,上台板演, 同产品,需要对原油进 让学生感受利用导数解决具体 行冷却和加热.如果在 问题的一般过程. 第 xh 时,原油的温度
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备注 根据学生解 题情况, 教师 注意矫正学 生出现的问

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( 单 位 :
f (x) ? x
2

o

C

) 为

(2) 说 明 导 数 数
y ? f (x)

f (x0 )

'

? 7 x ? 15

在x

?

反映了函 题 , 强 调 细 节. x 0 附近的变

(0 ? x ? 8)

计算第 2 h 和第 6 h ,原 油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.

化情况. (3)教师规范利用导数解决问 题的一般步骤.

(10) 本 节 课 的 学 习 小 这是一个重组知识的 过程,是一个多维整 结. 合的过程,是一个高 层次的自我熟悉过 程. 让学生通过小结, 反思学习过程,加深 对导数的产生背景和 形成过程的印象,从 而深刻理解导数概念 及其内涵.领会研究 问题的方法;明确研 究问题的步骤.

(1)学生自主思考后,课堂集中 交流,师生互相补充完善. (2)教师适时点拨和引导,小结 应包含如下三方面内容: 一.知识方面:导数的定义及 其内涵;用导数求瞬时变化率 问题. 二.数学思想方法:无限逼近 的数学思想,从特殊到一般的 探究方法. 三.研究问题的步骤:提出问 题、寻求想法、确定想法、实 施操作、发现规律;思考方法: 以已知探求未知.

(11)课下探究的问题 (12)布置作业

(1)为“导数的几何意 (1) P 第4题 10 义” 的教学打下铺 (2)求函数 y ? x 2 垫.

? 2x

在x

? ?2

(2)通过作业发现和弥 处的导数. 补教学中的不足,注 重个体差异,因材施 教. 板书设计:板书设计清楚整洁,便于突出知识目标. 五、学习效果评价设计 本节课对学生学习效果及教师自身教学效果的评价,围绕教学目标的落实情况,以 过程性评价为主,形成性评价为辅的原则进行. (一)过程性评价

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在课堂教学过程中,从学生的参与程度、概括能力、推理能力、学习兴趣、交流合 作、情绪情感方面对学习进行评价.对出现问题的学生,教师善于发现其可取之处,耐 心引导,对其问题细心分析,有助于培养他们勇于面对挫折、持之以恒的科学探索精 神.当学生做的精彩、有创新时,教师及时地给予了充分的鼓励,从而进一步激发了学 生创造的潜能和学习的兴趣. (二)阶段性评价 通过作业完成情况对学生的阶段性学习成果进行评价.准备下节课用如下练习来检测 学生对导数概念的掌握情况.根据学生的完成情况,采取相应的教学策略.
练习:一个质量 (单位: m ? 3 kg 的物体作直线运动,设
2

运动距离

s (单位: Ek ?

m )与时间 1 2
2

t

s )的关系可用函数 5 s 时的动能.

s ( t ) ? 1 ? t 表示,并且物体的动能

mv .求物 体

开始运动后第

六、教学设计的特点 数学是由概念与命题等内容组成的知识体系,它是一门充满思维的学科,而概念又 是这种思维的语言,因此概念教学是中学数学教学中至关重要的一项内容,是基础知识 和基本技能教学的根基.正确理解概念是学好数学的基础,学好概念是学好数学重要的 环节.结合新课程的理念和我所教的学生的实际情况, 进行了这样的教学设计, 与自己以 往的教学设计及其他教学设计相比主要有以下两个特点: (一)设计理念 1.体现数学来源于实践的认识论 每一个概念的产生都有丰富的实际背景,舍弃这些背景,直接抛给学生一连串的概 念是传统教学模式中司空见惯的做法,这种做法常常使学生感到茫然,失去了感受数学 来源于生产实际的极好机会. 弗兰登塔尔认为, 数学教育应从学生熟悉的现实生活开始. 根据这一观点,我引导学生从高台跳水这一实际问题出发进行研究,揭示数学来源于实 践的真谛. 通过师生共同活动, 着力体现教师 “导” 学生 、 “学” 及其教学过程中的 “悟” 三个子系统中多要素的和谐统一. 2.遵循特殊到一般的认知规律 本节课的设计,通过将实际问题数学化,从具体问题到抽象概念,很好地遵循了特 殊到一般的认知规律,符合可接受性和可操作性原则,本能地把教学目标的落实融入到 教学过程之中.通过演绎导数的形成、发展和应用过程,帮助学生主动建构概念. 3.重在提高学生的实践能力与创新意识 贯彻新课程精神, 根据学生实际情况和教师的自身特点, 采用有针对性的教学策略, 因材施教.教学中,通过引导学生动手实践、自主探索、合作交流,培养其良好的学习 习惯,提高其实践能力与创新意识,树立终身学习的理念.

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(二)运用“支架式过程法”,教学有实效. 所谓“支架式过程法”,即: a ? b
a:
?

学习,也就是:

教师启发、诱导、激励、评价等为学生的学习搭建支架,把学习任务转移给学

生.
b : 学生接受任务,探究问题,完成任务. a ? b : 以问题为核心,通过对知识的发生、发展和运用过程的演绎、揭示和探究,

组织和推动教学. 在导数概念教学中教师引导学生自主探究得出导数概念,实际上让学生体验了导数 概念的发现过程,从而加深学生对导数概念的认识、理解与应用.

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