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wwwrf614com:2018高中数学人教a版选修2-2学案:第一章 1.3 1.3.2 函数的极值与导数 含解析

1.3.2 函数的极值与导数 预习课本 P26~29,思考并完成下列问题 (1)函数极值点、极值的定义是什么? (2)函数取得极值的必要条件是什么? (3)求可导函数极值的步骤有哪些? [新知初探] 1.函数极值的概念 (1)函数的极大值 一般地,设函数 y=f(x)在点 x0 及附近有定义,如果对 x0 附近的所有的点, 都有 f(x)<f(x0), 就说 f(x0)是函数 y=f(x)的一个极大值,记作 y 极大值=f(x0), x0 是极大值点. (2)函数的极小值 一般地,设函数 y=f(x)在点 x0 及附近有定义,如果对 x0 附近的所有的点, 都有 f(x)>f(x0), 就说 f(x0)是函数 y=f(x)的一个极小值,记作 y 极小值=f(x0), x0 是极小值点.极大值与极小值统称为极值. [点睛] 如何理解函数极值的概念 (1)极值是一个局部概念,极值只是某个点的函数值,与它附近点的函数值 比较它是最大值或最小值, 但并不意味着它在函数的整个定义域内是最大值或最 小值. (2)一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个. (3)函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系. (4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点. (5)单调函数一定没有极值. 2.求函数 y=f(x)极值的方法 一般地,求函数 y=f(x)的极值的方法是: 解方程 f′(x)=0. 当 f′(x0)=0 时: (1)如果在 x0 附近的左侧 f′(x)>0, 右侧 f′(x)<0, 那么 f(x0)是极大值; (2)如果在 x0 附近的左侧 f′(x)<0, 右侧 f′(x)>0, 那么 f(x0)是极小值. [点睛] 一般来说,“f′(x0)=0”是“函数 y=f(x)在点 x0 处取得极值” 的必要不充分条件.若可导函数 y=f(x)在点 x0 处可导,且在点 x0 处取得极值, 那么 f′(x0)=0; 反之, 若 f′(x0)=0, 则点 x0 不一定是函数 y=f(x)的极值点. [小试身手] 1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数 f(x)=x3+ax2-x+1 必有 2 个极值.( ) ) (2)在可导函数的极值点处,切线与 x 轴平行或重合.( 1 (3)函数 f(x)= 有极值.( x 答案:(1)√ (2)√ (3)× ) 2.下列四个函数:①y=x3;②y=x2+1;③y=|x|;④y=2x,其中在 x=0 处取得极小值的是( A.①② C.③④ 答案:B 3.已知函数 y=|x2-1|,则( A.y 无极小值,且无极大值 B.y 有极小值-1,但无极大值 C.y 有极小值 0,极大值 1 D.y 有极小值 0,极大值-1 答案:C ? 4. 函数 f(x)=x+2cos x 在?0, ? A.0 C. π 3 π? 上的极大值点为( 2? ? B. D. π 6 π 2 ) ) ) B.②③ D.①③ 答案:B 运用导数解决函数的极 值问题 题点一:知图判断函数的极值 1.已知函数 y=f(x),其导函数 y=f′(x)的图象如图所示,则 y= f(x)( ) A.在(-∞,0)上为减函数 C.在(4,+∞)上为减函数 解析:选 C B.在 x=0 处取极小值 D.在 x=2 处取极大值 由导函数的图象可知:x∈(-∞,0)∪(2,4)时,f′(x)>0,x ∈(0,2)∪(4,+∞)时,f′(x)<0,因此 f(x)在(-∞,0),(2,4)上为增函数, 在(0,2),(4,+∞)上为减函数,所以 x=0 取得极大值,x=2 取得极小值,x =4 取得极大值,因此选 C. 题点二:已知函数求极值 2.求函数 f(x)=x2e-x 的极值. 解:函数的定义域为 R, f′(x)=2xe-x+x2· e-x· (-x)′ =2xe-x-x2· e-x =x(2-x)e-x. 令 f′(x)=0,得 x(2-x)· e-x=0, 解得 x=0 或 x=2. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′( (-∞, 0) - 0 0 (0, 2) + 2 0 (2,+ ∞) - x) ? f(x) 值0 极小 ? 4e-2 极大值 ? 因此当 x=0 时,f(x)有极小值, 并且极小值为 f(0)=0; 4 当 x=2 时,f(x)有极大值,并且极大值为 f(2)=4e-2= 2. e 题点三 已知函数的极值求参数 3.已知函数 f(x)的导数 f′(x)=a(x+1)(x-a),若 f(x)在 x=a 处取到 极大值,则 a 的取值范围是( A.(-∞,-1) C.(0,1) 解析:选 D ) B.(0,+∞) D.(-1,0) 若 a<-1,∵f′(x)=a(x+1)(x-a), ∴f(x)在(-∞,a)上单调递减,在(a,-1)上单调递增,∴f(x)在 x=a 处取得极小值,与题意不符; 若-1<a<0,则 f(x)在(-1,a)上单调递增,在(a,+∞)上单调递减,从 而在 x=a 处取得极大值. 若 a>0,则 f(x)在(-1,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,与题意 矛盾,∴选 D. 4.已知 f(x)=ax5-bx3+c 在 x=± 1 处的极大值为 4,极小值为 0,试确定 a,b,c 的值. 解:f′(x)=5ax4-3bx2=x2(5ax2-3b). 由题意,f′(x)=0 应有根 x=± 1,故 5a=3b, 于是 f′(x)=5ax2(x2-1) (1)当 a>0,x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′ (x) (- ∞, -1) + -1 (- 1,0) - 0 (0, 1) - 1 (1, +∞) + 0 0 0 f(x ) ? 大值 极 ? 极值 无 ? 小值 极 ? ?4=f?-1?=-a+b

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