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1任意角的正弦函数、余弦函数的定义


创设情境,复习引入
你能回忆一下锐角的正弦、余弦的定义吗?

斜边

对边 邻边

?

对边 邻边 斜边 斜边 sin ? ? _____;cos ? ? _____;

探究新知

下面我们在直角坐标系中,利用单位圆来 进一步研究锐角 ? 的正弦函数、余弦函数。
当点P(u,v) 就是 ? 的终边与单位圆的交点时, 锐角三角函数会有什么结果? 以原点为O圆心,以单位长 度为半径的圆叫做单位圆.
MP sin ? ? ? v, OP

y
P(u,v) α O M A(1,0) x

OM cos ? ? ?? OP

探究新知 一、任意角的正弦函数、余弦函数定义1: 如图,设α是一个任意角,它的终边与单位圆 交于点P(u,v),那么: (1)v叫做α的正弦,记 作sinα, 即sinα=v;
y P(u,v)

(2)u叫做α的余弦,记作 cosα,即cosα=u

α
O

A(1,0) x

探究、发现新知 注:三角函数 sinα=v,cosα=u都是以角为自变量,以单
位圆上的点的坐标(比值)为函数值的函数。通常,我们用x表 示自变量,即表示角的大小(弧度制),用y表示函数值,这 样就定义了任意角的三角函数y=sinx,y=cosx。

函数 你能完成右边 这两张表吗?
sin ?

定义域

值域

cos?
象限 第一 三角函 象限 数

R R
第二 象限

[-1,1] [-1,1]
第三 象限 第四 象限

sin ?

cos?

+ +

+ -

-

+

正弦、余弦函数值的符号
y

正弦为正 余弦为负
O

正弦、余弦

全为正 余弦为正
正弦为负

x

正弦、余弦 全为负

一全正、二正弦、三全负、四余弦

典例剖析

5? ?? 在直角坐标系的单位圆中, 例 1、 3

(1)画出角 ? ; (2)求出角? 的终边与单位圆的交点坐标 ; y (3)求出角 ? 的正弦函数值、余弦函数值.

解:如左图所示,角在第四象限;

α

易知 的终边与单位圆 3 M 的交点为 O A(1,0) x 1 3 P( , ? ) 1 3 2 2 ( , ? P2 2 )

5?

3 ? sin ? ? ? 2

1 cos ? ? 2

随堂演练
练1、求? ? ?

?
4

的正弦值和余弦值.

归纳: 求已经角的三角函数确定角的终边是基础, 求出角终边与单位圆的交点坐标是关建.

典例剖析
例2、已知角α的终边经过点P0(-3,-4),求角α 的正弦、余弦.
解:设角α 的终边与单位圆的交点为
y P(x,y),过P作PM⊥x轴于M,过P0作P0 M0 ⊥ x轴 . 显然Rt?OMP∽ Rt?OM0P0 且 2 2
| OP0 |? (?3) ? (?4) ? 5
?4 ? | MP | ? | M 0 P0 | ? ? ? 5 | OP0 | | OP |

M0

O A(1,0) x sin ? ? y ? ? | MP | P(x,y)
cos ? ? x ? ? | OM |?

M

α

P0(-3,-4)

? | OM | ? | OM 0 | ?3 ? ? | OP | | OP0 | 5

任意角的正弦函数、余弦函数的定义2:
归纳: 已经角终边除原点外的一个点P ,利用三角函数 的定义求其三角函数,需要确定三个量:角的终边该点 P的横坐标x、纵坐标y、点P到原点的距离r。 y
r

P(x,y)

O

?

x y sin? ? _____; r r cos? ? _____;

M (x,0)

x

r? x ?y
2

2

提问:比值会随着点P在终边的位置改变而 改变吗? 不会

随堂演练 练2: 已知角α的终边经过点P(-3,2),求角 α的正弦值、余弦值.

典例剖析
例3 确定下列各三角函数值的符号:
⑴ cos250°; ⑵ sin(-

?

4

).

? ? (2)易知 为第四象限角,所以sin( ? )的符 4 4 号为负;

解: (1)易知250°为第三象限角,所以 cos250°的符号为负;

?

回顾归纳: 准确确定三角函数值中角所在象限是基础, 准确记忆三角函数在各象限的符号是解决这类问题的关 键。可以利用口诀“一全正、二正弦、三全负、四余弦” 来记忆.

典例剖析
例4:求三角函数值 sin(-1050°).
解: 因为 -1050°= 30°+(-3)× 360° 所以sin(-1050°)= sin 300=1/2

练3:求三角函数值 cos(? 解:
cos(?

31 ? ) 4

.

31 ? ? ? 2 ) ? cos(?4 ? 2? ? ) ? cos ? 4 4 4 2

探究案
1.完成教材P15 动手实践:填表格1-5. 2.(1).设角? 的终边过点 P(4a, ?3a) ,其中 a ? 0 , 则 sin ?
3 8? ,且 cos ? ? ? 5 , (2). 若角 ? 的终边过点 P?a, ?6 则 a ? ________ .
3 ? 5 .

本堂小结
1.任意角的正弦、余弦函数的定义1: 设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(u,v),则 sin ? ? v, cos ? ? u 2.任意角的正弦函数、余弦函数的概念2: 设 a 是一个任意角,在 a 终边上除原点外任意取 一点 p ( x, y ),点 p与原点O之间的距离 记作r( r ? x 2 ? y 2 ? 0 ), 则 x y
sin a ? r

cos a ?

r

3.确定任意角的正弦、余弦函数符号.

作业: 习题1-4 A组第1,2,3题


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