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3.1.4空间向量的正交分解及其坐标运算


临漳县一中 2015 级高二数学导学案

组稿人:王利萍

3.1.4
一、课时目标

空间向量的正交分解及其坐标表示

1.理解空间向量基本定理,并能用基本定理解决一些几何问题. 2.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念. 3.掌握空间向量的坐标表示,能在适当的坐标系中写出向量的坐标.

重点:空间向量基本定理和空间向量的坐标表示。 难点:用基底表示空间向量。

二、自学指导
1.空间向量基本定理 (1)设 i、j、k 是空间三个两两垂直的向量,且有公共起点 O,那么,对于空间任一向量 p,存在一 个______________,使得____________,我们称______,______,______为向量 p 在 i、j、k 上的分 向量. (2)空间向量基本定理:如果三个向量 a,b,c________,那么对空间任一向量 p,存在有序实数组{x, y,z},使得________________.

(3)如果三个向量 a,b,c 不共面,那么所有空间向量组成的集合就是___________.这个集合可看作 是由向量 a,b,c 生成的,我们把{a,b,c}叫做空间的一个________,a,b,c 都叫做__________.空 间中任何三个________的向量都可构成空间的一个基底. 2.空间向量的坐标表示 若 e1、e2、e3 是有公共起点 O 的三个两两垂直的单位向量, 我们称它们为____________________, 以 e1、e2、e3 的公共起点 O 为原点,分别以 e1、e2、e3 的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直 角坐标系 Oxyz,那么,对于空间任意一个向量 p,由空间向量基本定理可知,存在有序实数组{x,y, z}, 使得 p=xe1+ye2+ze3, 把 x, y, z 称作向量 p 在单位正交基底 e1, e2, e3 下的坐标, 记作____________.

三、预习交流
1.在以下 3 个命题中,真命题的个数是( )

①三个非零向量 a,b,c 不能构成空间的一个基底,则 a,b,c 共面; ②若两个非零向量 a,b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,则 a,b 共线; ③若 a,b 是两个不共线向量,而 c=λa+μb(λ,μ∈R 且 λμ≠0),则{a,b,c}构成空间的一个基底. A.0 B.1 C.2 D.3

→ → → → → → 2.已知 O、A、B、C 为空间不共面的四点,且向量 a=OA+OB+OC,向量 b=OA+OB-OC,则与 a、 b 不能构成空间基底的是( ) → A. OA → B.OB → C.OC → → D.OA或OB

3.以下四个命题中,正确的是(

)

临漳县一中 2015 级高二数学导学案

组稿人:王利萍

??? ? 1→ 1→ A.若 OP = OA+ OB,则 P、A、B 三点共线 2 3 B.设向量{a,b,c}是空间一个基底,则{a+b,b+c,c+a}构成空间的另一个基底 C.|(a· b)c|=|a|· |b|· |c| → → D. △ABC 是直角三角形的充要条件AB· AC=0

???? → → 4.设 O-ABC 是四面体,G1 是△ABC 的重心,G 是 OG1 上的一点,且 OG=3G,G1 若 OG =xOA+yOB → +zOC,则(x,y,z)为( ) 1 1 1 3 3 3 A.( , , ) B.( , , ) 4 4 4 4 4 4

1 1 1 C.(3,3,3) 四、当堂检测

2 2 2 D.(3,3,3)

1.已知点 A 在基底{a,b,c}下的坐标为(8,6,4),其中 a=i+j,b=j+k,c=k+i,则点 A 在基底{i, j,k}下的坐标是( ) A.(12,14,10) C.(14,12,10) B.(10,12,14) D.(4,3,2) → → → 2.已知空间四边形 OABC 中OA=a,OB=b,OC=c,点 M 在 OA 上,且 OM=2MA,N 为 BC 的中点, → 则MN等于( ) 1 2 1 A. a- b+ c 2 3 2 1 1 1 C. a+ b- c 2 2 2 2 1 1 B.- a+ b+ c 3 2 2 2 2 1 D. a+ b- c 3 3 2

3.设{i,j,k}是空间向量的一个单位正交基底,则向量 a=3i+2j-k,b=-2i+4j+2k 的坐标分别 是____________. → → 4.已知空间四边形 ABCD 中,AB=a-2c,CD=5a+6b-8c,对角线 AC、BD 的中点分别为 E、F, → 则EF=____________.

???? → → → 5.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 O 为 AC1 与 BD1 的交点, AO =xAB+yBC+zCC1,则 x+y +z=______.


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