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高中数学第三章空间向量与立体几何3.2立体几何中的向量方法(1)—证明平行与垂直教案新人教A版选修2_1

立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直 课 题 三 维目标 重 点 掌握利用向量证明平行和垂直的基本原理 培养学生数形结合的思想 掌握利用向量证明平行和垂直的基本原理 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直 备注 难 点 方法的优化 (1)直线的方向向量是唯一确定的.( × ) (2)平面的单位法向量是唯一确定的.( × ) (3)若两平面的法向量平行,则两平面平行.( √ ) 辨 析 (4) 若 两 直 线 的 方 向 向 量 不 平 行 , 则 两 直 线 不 平 行.( √ ) (5)若 a∥b,则 a 所在直线与 b 所在直线平行. ( × ) (6)若空间向量 a 平行于平面 α , 则 a 所在直线与平面 α 平行.( × ) 1.下列各组向量中不平行的是( ) A.a=(1,2,-2),b=(-2,-4,4) B.c=(1,0,0),d=(-3,0,0) C.e=(2,3,0),f=(0,0,0) D.g=(-2,3,5),h=(16,24,40) 2.已知平面 α 内有一点 M(1,-1,2),平面 α 的一 考 点自测 个法向量为 n=(6,-3,6),则下列点 P 中,在平面 α 内 的是( ) A.P(2,3,3) C.P(-4,4,0) B.P(-2,0,1) D.P(3,-3,4) AB BC AB BC 3. 已知 → =(1,5, -2),→ =(3,1, z), 若→⊥→, BP → =(x-1,y,-3),且 BP⊥平面 ABC,则实数 x,y,z -1- 分别为______________. 19 5 5 4.若 A(0,2, 8 ),B(1,-1,8),C(-2,1,8)是平 面 α 内的三点, 设平面 α 的法向量 n=(x, y, z), 则 x∶y∶z =________ 1.直线的方向向量与平面的法向量的确定 2.用向量证明空间中的平行关系 3.用向量证明空间中的垂直关系 (1) 设直线 l1 和 l2 的方向向量分别为 v1 和 v2 ,则 知 识梳理 l1⊥l2?v1⊥v2?v1·v2=0. (2)设直线 l 的方向向量为 v,平面 α 的法向量为 u, 则 l⊥α ?v∥u. (3)设平面 α 和 β 的法向量分别为 u1 和 u2,则 α ⊥ β ?u1⊥u2?u1·u2=0. 题型一 证明平行问题 例 1 如图,在四面体 A-BCD 中, AD⊥平面 BCD, BC⊥CD, AD=2, BD=2,M 是 AD 的中点,P 是 BM 的 中点,点 Q 在线段 AC 上,且 AQ= 3QC. 证明:PQ∥平面 BCD. 变式训练 如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E, F,M,N 分别是棱 AB,AD,A1B1,A1D1 的中点,点 例 题选讲 P,Q 分别在棱 DD1,BB1 上移动,且 DP=BQ=λ (0<λ <2). (1)当 λ =1 时,证明:直线 BC1∥平面 EFPQ; (2)是否存在 λ , 使平面 EFPQ 与平面 PQMN 所成的二面 角为直二面角?若存在,求出 λ 的值;若不存在,说明理 由. 题型二 证明垂直问题 -2- 例 2 如图所示,正三棱柱(底 面 为 正 三 角 形 的 直 三 棱 柱)ABC—A1B1C1 的所有棱长都为 2, D 为 CC1 的中点.求证:AB1⊥平面 A1BD. 变式训练 如图所示, 在四棱锥 P-ABCD 中,PC⊥平面 ABCD,PC=2, 在四边形 ABCD 中, ∠B=∠C=90°, AB=4,CD=1,点 M 在 PB 上,PB=4PM,PB 与平面 ABCD 成 30°角. (1)求证:CM∥平面 PAD; (2)求证:平面 PAB⊥平面 PAD. 例 3 如 图 , 棱 柱 ABCD - A1B1C1D1 的所有棱长都等于 2 , ∠ABC 和∠A1AC 均为 60°,平面 AA1C1C⊥平面 ABCD. (1)求证:BD⊥AA1; (2)求二面角 D-A1A-C 的余 弦值; (3)在直线 CC1 上是否存在点 P,使 BP∥平面 DA1C1,若 存在,求出点 P 的位置,若不存在,请说明理由. 变式训练 如图所示,四棱锥 S—ABCD 的底面是正方形, 每条侧棱的长 都是底面边长的倍, P 为侧棱 SD 上的点. (1)求证:AC⊥SD. (2)若 SD⊥平面 PAC, 则侧棱 SC 上是 否存在一点 E, 使得 BE∥平面 PAC.若存在, 求 SE∶EC 的值; 若不存在,试说明理由. 如图,四棱锥 P-ABCD 中, 底 面 ABCD 为 矩 形 , PA⊥ 平 面 高 考链接 ABCD,E 为 PD 的中点. (1)证明:PB∥平面 AEC; (2)设二面角 D-AE-C 为 60°,AP=1,AD=,求三棱 锥 E-ACD 的体积. -3- 每 日一练 后 记 -4-

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