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气体分子速率分布规律_图文

第四节 气体分子速率分布规律 ___麦克斯韦速率分布律

(一)速率分布的实验测定
对大量分子组成的一定量气体,其中每个分子 的速度大小不同,方向不同,何时分子具有多大的 速度值,完全是偶然的,无规则的.但对这样一个大 量的无规则事件的总体有规律.处于一定状态 (T)下,气体中大量分子的速率的分布是遵从一 定的规律.分子速率的分布规律是在1859年M axwall由统计概念得到.后为很多实验验证.

(一) 麦克斯韦速率分布规律
1. 麦克斯韦速率分布曲线: 定义:分布函数
f ( v ) = lim
?v → 0
?N N ? ?V

dN ?N = N ? v Ndv

O

含义:某速率附近,单位速率 区间的相对分子数. (3)如图所示曲线阴影部分面积含义.

v + ?v

dN dN f (v)dv = ? dv = N Ndv KK 表示在v附近速率区间为?v的相对分子数

(4)分布函数的归一化

dN f (v)dv = N
?N = ∑ f (v)?v KK 表示整个曲线与v轴所围的面积. ∑ N

∫0 f (v)dv = 1



分布函数归一化条件

2. 分布函数的数学表达式 单个分子运动的速率速率的取值是偶尔 的,无规律的,大量运动着的分子的速率取值 服从麦克斯维速率分布.

由统计理论导出 :

? 3 2 ? 2 kT 2 4 ? 3 2 ? 2 kT 2 f (v) = 4π ( ) e ?v = ( ) e ?v 2πkT π 2kT
式中:? K 每个分子质量;k = 波尔兹曼常数, R k= = 1.38 × 10 ? 23 J / K ; N0 T K一定量理想气体所处的温度.

?v 2

?v 2

(二)

理想气体分子运动的三种 特征速率

1. 最可几速率: 在速率分布曲线上和f(v)的极大值相对应的速率 值. 或:在最可几速率附近单位速率区间的 相对分子数最多.
f (v)

df (v) = 0时的v v p 值为 dv
vP =
vp

2kT

O

?

=

2 RT RT = 1.41 M M

? L 气体分子质量, M L 气体的摩尔质量,
k , R为常数, T L 气体温度.

2. 平均速率: 定义 : v = ?N1v1 + L + ?N i vi + L = ∑ ?N i vi N N
v= 8kT 8 RT RT = = 1.60 πM πR M

f (v)
3. 方均根速率:
v2 = 3kT
173 K
273 K 1273 K

?

=

3RT RT = 1.73 M M
O

讨论:
三者值的大小 : v2 > v > v p

vp

三者与温度T和气体种类有关.

例题
1 求氢气(H2)在300K的最可几速率. RT H 2的M mol = 2 × 10 -3 解: 氢 : v P = 1.41
M mol VP = 2 × 8.31× 300 = 1.58 × 10 3 米/秒 2 × 10 ?3 R = 8.31 [J/mol K]

空气在T = 300K时, v p = 4.14 × 10 2 米/秒

2

分子速率在vp vp+10米/秒的速率区间的相对分子数. ?N v p → v p + 10米/秒的 解:
N
?

Q 空气M mol = 29.8 × 10 ?3 千克/mol

M mol 大, v p小.

?N 4 1 32 v = f (v) ?v = ( 2 ) e ? v 2 ? ?v p N π v p 4 1 ?1 = e ? ?v e = 2.7 π vp 4 × 10 4 × 10 ? 2 ?N 数据代入 : = = 0.53% = 3 7.55 N 1.72 × 1.58 × 10 × 2.7
2 P

2 vP

3 以ε=1/(2?v2)表示气体的平均动能,试由麦氏速率分 布律证明:平动动能在区间ε ε +d ε 内的分子占总分 子数的比率为f(ε)d ε .
1 2ε dε dv = 解: 2 ? 2 ?ε ε ?v 2 3 3 ? ? 1 ? 2 2 kT 2 ? 2 2 kT 2ε dN ) e ) e ∴ = 4π ( v dv = 4π ( ? dv ? 2 ?ε 2πkT 2πkT N

ε = ?v 2 ∴ v =

? ? dN 2 ∴ = (kT ) 2 e kT ε 2 dε N π

3

ε

1

dN = f(ε )dε N

4

利用上题结果,求分子的最可几平动动能εp. 解: 3 1 1 ? df (ε ) 2 1 ?2 1 ?ε = (kT ) 2 e kT ( ε ? ε 2 ) =0 dε kT 2 π ε =ε p
1 ∴ ε p = kT 2

5

已知f(v)是速率分布函数,说明以下各式的物理意义. (1) f(v)dv =
dN N 表示某一分子的速率在v → v + dv间隔内的几率. 或 : 速率在v → v + dv间隔内的分子数占总分 子数的百分比.

(2)Nf(v)dv
(3)
vp

dN=Nf(v)dv

表示分子速率在v → v + dv间隔内的分子数

∫0 f (v)dv

表示某分子速率不大于v p的几率. 或该分子速率不大于v P的分子数占总分子数的百分比.

(4)
(5)

∫v


v2
1

Nf ( v ) dv =


∫ v dN
1

v2

表示分子速率在v1→v2之间的分子数.

∫0 Nf (v)dv = ∫0 dN = N

表示在0 →∝的速率范围内所有的分子数总和(等于总分子数). ∞1 (6) ?v 2 f (v)dv ∫0 2 表示分子平动动能的平均值.

三种速率的数学计算 (1) v p为 df (v) = 0时的v值 :
dv

三种速率的数学计算 (1) v p为 df (v) = 0时的v值 :
dv
( 2) v 定义 : v =

∑ v i ?N i = v i ?N i ∑
N N

三种速率的数学计算 (1) v p为 df (v) = 0时的v值 :
dv
( 2) v
(3) v 2

定义 : v =

∑ v i ?N i = v i ?N i ∑
N
v 2 dN ∫ N


定义 : v 2 =

=

N v 2 f (v)dv ? N ∫0
N

= ∫0 v 2 f (v)dv



三种速率的数学计算 (1) v p为 df (v) = 0时的v值 :
dv
( 2) v (3) v 2 定义 : v =

∑ v i ?N i = v i ?N i ∑
N v 2 dN ∫ N


定义 : v 2 =

=

N v 2 f (v)dv ? N ∫0 N

= ∫0 v 2 f (v)dv




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