当前位置:首页 >> 高二数学 >>

椭圆定义及其标准方程


椭圆及其标准方程

问题的提出:
若将一根细绳两端分开并且固定在平面 内的 F1、F2两点,当绳长大于F1和F2的距离 时,用铅笔尖把绳子拉紧,使笔尖在平面内 慢慢移动,问笔尖画出的图形是什么呢?

椭圆的定义:
平面内到两个定点F1、F2的距离 之和等于常数(大于|F1F2|)的点 y 的轨迹叫做椭圆。 M ( x, y )
? ?

这两个定点叫做椭圆的焦点, 两焦点的距离叫做椭圆的焦距。

F1

O

F2

x

y

标准方程的推导:
取过焦点F1、F2的直线为x轴,线段F1F2的 垂直平分线为y轴,建立直角坐标系。
F1

M ( x, y )
O
F2

x

设M(x,y)是椭圆上任一点,椭圆的焦距为2c(c>0),M与F1、 F2的距离的和等于常数2a,则F1(-c,0)、F2(c,0)。 MF1 ? MF2 ? 2a 由定义知:
? MF1 ?

(x ? c )2 ? y 2

MF2 ?

(x - c )2 ? y 2
? 2a
2

?

(x ? c )2 ? y 2 ? (x - c )2 ? y 2
2

将方程移项后平方得:

(x ? c )

? y ? 4a - 4a
2 2

(x - c )

2

? y ? (x - c ) ? y 2
2

a 2 - cx ? a

(x - c )2 ? y 2
2

两边再平方得:

a4 - 2a2cx ? c2 x2 ? a2 x2 - 2a2cx ? a2c2 ? a2 y 2

(a

- c2 )x2 ? a2 y 2 ? a2 (a2 - c2 )

y

标准方程的推导:

M ( x, y )
F1

(a

2

- c2 )x2 ? a2 y 2 ? a2 (a2 - c2 )

O

2 2 2 a ? 2 c , 即 a ? c , a c ?0 由椭圆定义知:

F2

x

设a 2 - c2 ? b2 (b ? 0) 得 :
b2 x2 ? a 2 y 2 ? a2b2
x2 y2 ? 2 ?1 两边同除以 a b 得: 2 a b 这个方程叫做椭圆的标准方程,
2 2

(a ? b ? 0)

它所表示的椭圆的焦点在x轴上。 如果椭圆的焦点在y轴上,用类似的方法,可得出它 的方程为: y2 x2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 2 a b 它也是椭圆的标准方程。

椭圆的标准方程
y
M

y
F2
F
M

F

1

o

2

x

o
F1

x

x y ( ) ? ? 1 a ? b ? 0 2 2 a b

2

2

y x ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 2 a b

2

2

快速练习:判定下列椭圆的
焦点在那条轴上?并指出焦点坐标。
x y (1) ? ? 1 答:在 X 轴。(-3,0)和(3,0) 25 16
x y (2) ? ?1 144 169
2 2

2

2

答:在 y 轴。(0,-5)和(0,5)

判断椭圆的焦点在哪个轴上的准则: 哪个分母大,焦点就在哪条轴上,大的分母就是a2.

x

例1: 已知椭圆的焦点在x轴上,焦距为8,椭圆上的
点到两个焦点的距离之和为10, 求:该椭圆的标准 方程 .
解:

? 2a ? 10,2c ? 8, ? a ? 5, c ? 4.
2 2 2

?b ? a - c ? 5 - 4 ? 9
2 2

因为椭圆的焦点在x轴上,所以它 的标准方程为:

求椭圆的标准方程的关键:

1.确定焦点在那条轴上。 2.求出a,b的值。

例2:求下列椭圆的焦点和焦距。
x y (1) ? 5 4
2 2

?1

解:因为5>4,所以椭圆的焦 2 2 点在x轴上,并且 a ? 5, b ? 4 故: c ? a - b ? 1, c ? 1,2c ? 2
2 2 2

所以椭圆的焦点为: F1 (-1,0), F2 (1,0) 焦距为2.

例2:求下列椭圆的焦点和焦距。
(2) 2 x 2 ? y 2 ? 16
解:将方程化成标准方程为:
c 2 ? a 2 - b2 ? 8

x2 y2 ? ?1 8 16

因为:16>8,所以椭圆的焦点在y轴上,并且
a 2 ? 16, b2 ? 8, 故 c 2 ? a 2 - b 2 ? 8, c ? 2 2,2c ? 4 2

所以椭圆的焦点为: F1 (0 - 2 焦距为: 4 2 .

2 ), F2 (0,2 2 )

分组练习:求椭圆的焦点坐标与焦距
x y 答:焦点(-3,0)(3,0) (1) ? ?1 焦距 2c=6 15 6
x y 答:焦点(0,-12)(0,12) (2) ? ?1 25 169 焦距 2c=24
2 2

2

2

练习2:
写出适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1) a ? 4, b ? 1 ,焦点在x轴上; (2)a ? 4, c ? 15 ,焦点在y轴上;

答 案:

x2 y2 y2 x2 (1). ? ? 1 (2) ? ?1 16 1 16 1

小 结:

y
M ( x, y )
F1

y
F
1 M

O

F2

x

o
F
2

x

1、椭圆的定义. 2、字母a,b,c之间的大小关系. 3、在求椭圆方程的关键是什么?

六、布置作业:
1).P96 习题8.1:1、2、3、 2)预习:p94例2,p95例3


相关文章:
椭圆定义及其标准方程_图文.ppt
椭圆定义及其标准方程 - 椭圆定义及其标准方程,椭圆定义及标准方程,椭圆的定义与
椭圆的定义及标准方程(一等奖)_图文.ppt
椭圆定义及标准方程(一等奖) - 一 设置情景问题诱导 太阳系 星系中的椭圆 仙女座星系 “传说中的”飞碟 学习目标: 1、椭圆的定义及焦点、焦距、 2...
椭圆的定义与标准方程_图文.ppt
椭圆定义标准方程 - 引例: 若取一条长度一定且没有弹性的细绳,把它 的两端
《椭圆的定义及其标准方程》教学设计_图文.doc
2 4.教学重点与难点 重点:椭圆定义和椭圆标准方程的两种形式 难点:椭圆标准方程的建立和推导教学方法 5.教学准备 通过百度搜索与椭圆有关的图片资料, 利用...
椭圆的定义与标准方程(优质课比赛)_图文.ppt
椭圆定义与标准方程(优质课比赛) - 太阳系 2.2.1椭圆及其标准方程 普宁侨中 郑庆宏 尝试实验,形成概念 动手画: ? [1]取一条细绳; ? [2]把它的两端固...
椭圆定义及其标准方程(公开课)_图文.ppt
椭圆定义及其标准方程(公开课) - 椭圆及其标准方程 问题的提出: 若将一根细绳
椭圆的定义及其标准方程.doc
椭圆的定义及其标准方程 - 《椭圆定义及其标准方程》课堂实录 教师:前一章我们学
椭圆及其标准方程教学案例.doc
椭圆及其标准方程教学案例_数学_高中教育_教育专区。椭圆定义及其标准方程教学案例 《椭圆定义及其标准方程(第 1 课时)》教学案例一、教学背景: 结合新课程标准的...
椭圆定义及标准方程.doc
椭圆定义及标准方程 - 《椭圆及其标准方程》学案 编写人:张二宝 【学习目标】
《椭圆及其标准方程(第一课时)》教学设计_图文.doc
椭圆及其标准方程(第一课时)》教学设计 - 《椭圆及其标准方程(第一课时)》教
椭圆的定义及标准方程优质公开课.doc
椭圆定义及标准方程优质公开课 - 椭圆定义及标准方程(高三一轮复习) 西安交
椭圆及其标准方程(精).doc
椭圆及其标准方程(精) - 椭圆及其标准方程 ■教材:人教社高中数学 B 版教材
椭圆的定义及其标准方程(精)_图文.ppt
椭圆定义及其标准方程(精) - 椭圆定义及 其标准方程 高二数学组 学习目标: ? 掌握椭圆定义和标准方程;理解坐标 法的基本思想,会求简单的椭圆的标准方 程...
椭圆及其标准方程_图文.ppt
椭圆及其标准方程 - 曲阳一中 甄聪谦 目标分析 1.教学目标: 1、知识与技能目标:理解椭圆定义、掌握标准方程及其推 导。 2、过程与方法目标:通过教师和学生共同...
椭圆的定义及其标准方程_图文.doc
椭圆定义及其标准方程 - 西北师范大学从师技能大赛 参 赛 教 案 教材: 《
椭圆定义及其标准方程课件25_图文.ppt
椭圆定义及其标准方程课件25 - 椭圆及其标准方程 问题的提出: 若将一根细绳两
椭圆定义及其标准方程教学案例.doc
椭圆定义及其标准方程教学案例 - 《椭圆定义及其标准方程(第 1 课时)》教学案
椭圆及其标准方程.doc
椭圆及其标准方程 - 《椭圆及其标准方程(第一课时) 》教学设计 甘肃省张掖市实
《椭圆及其标准方程(二)》课件_图文.ppt
椭圆及其标准方程(二)》课件 - 上节课我们认识了椭圆定义及推导出了它的标准方程. 椭圆的标准方程:(这两种坐标系下的方程形式,是最简的) (1) 焦点在x...
《椭圆及其标准方程(第一课时)》教学设计.doc
椭圆及其标准方程(第一课时)》教学设计 - 《椭圆及其标准方程(第一课时)》教
更多相关标签: