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第三课时 基本不等式

2012 届高三理科数学一轮复习资料

第三课时
一、学习目标
“正”“定”“等”的条件. 2、能运用基本不等式解决实际问题

基本不等式的应用

1、会使用基本不等式求最值,能灵活运用“拆”“拼”“凑”等技巧,理解重要不等式中

二、要点梳理
a+b 1.基本不等式 ab≤ 2 (1)基本不等式成立的条件:__________. (2)等号成立的条件:当且仅当______时取等号. 2.几个重要的不等式 (1)a2+b2≥______ (a,b∈R). a+b?2 (3)ab≤? ? 2 ? (a,b∈R). 3.算术平均数与几何平均数 设 a>0,b>0,则 a,b 的算术平均数为__________,几何平均数为________,基本不等式可 叙述为:____________________________________. 4.利用基本不等式求最值问题:已知 x>0,y>0,则 (1)如果积 xy 是定值 p,那么当且仅当______时,x+y 有最____值是______(简记:积定和 最小). (2)如果和 x+y 是定值 p,那么当且仅当______时,xy 有最____值是________(简记:和定 积最大). b a (2) + ≥____(a,b 同号). a b a +b a+b?2 (4)? ? 2 ? ____ 2 .
2 2

活动一

:利用基本不等式求最值
4 ? x 的最值 x

例 1: (1)已知 x ? 0, 求 f ( x ) ? 2 ?

5 1 (2) 已知 x< ,求函数 y=4x-2+ 的最大值; 4 4x-5

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1 9 (3) 已知 x>0,y>0,且 + =1,求 x+y 的最小值; x y

(4) 在下面等式中的括号内各填上一个自然数, 并使这两数之和最小,1 ?

?? ??

1

?

9

(5)求函数 y ? sin x ?
2

4 的最小值; sin 2 x

(6) 0 ? x ?

?
2

且t ? 0, t 为常数, f ? x ? ?

1 t ? 的最小值为 9,求 t sin x 1 ? sin x

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变式训练: (1)求函数 y ?

3 ? x ? x2 ? x ? 0 ? 的最小值 1? x

(2)若 x,y∈(0,+∞)且 2x+8y-xy=0,求 x+y 的最小值

(3) a ? 0, b ? 0, a ?
2

b2 ? 1, 求a 1 ? b2 的最大值 2

a b a 2 b2 (a ? b)2 (4) a, b是正常数,a ? b, x, y ? ? 0, ??? 则 当且仅当 ? 时“=”成 ? ? x y x y x? y 2 9 ? 1? 立,利用以上结论可以得到函数 f ? x ? ? ? , x ? ? 0, ? 的最小值为 x 1? 2x ? 2? 此时 x 的值为

(5) 已知不等式 范围是

1 m ?1 k? ? ? 16 对任意 ? ? R且? ? , k ? Z 恒成立,则 m 的取值 2 2 sin ? cos ? 2

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活动二

:基本不等式的实际应用

已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为 10 万元,每生产 1 千件需另投入 2.7 万 元.设该公司一年内共生产该品牌服装 x 千件并全部销售完,每千件的销售收入为 R(x) 1 10.8- x ? ? 30 万元,且 R(x)=? 108 1 000 ? ? x - 3x
2 2

x x



(1)写出年利润 W(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式; (2)年产量为多少千件时, 该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大?(注: 年利润 =年销售收入-年总成本)

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第三课时

基本不等式

巩固练习
1 1 1、已知 m=a+ (a《2),n= x2-2(x《-2),则 m、n 之间的大小关系是________. 2 a-2 2、要设计一个矩形,现只知道它的对角线长度为 10,则在所有满足条件的设计中,面积最 大的一个矩形的面积为________. 3、若对任意 x>0, x ≤a 恒成立,则 a 的取值范围是________ x2+3x+1

1 4 4、已知正项等比数列{an}满足:a7=a6+2a5,若存在两项 am,an 使得 aman=4a1,则 + m n 的最小值为________. 5、已知△ABC 中,点 D 是 BC 的中点,过点 D 的直线分别交直线 AB、AC 于 E、F 两点, 1 4 → → → → 若AB=λAE(λ>0),AC=μAF(μ>0),则 + 的最小值是________. λ μ → → 6、设 M 是△ABC 内一点,且AB· AC=2 3,∠BAC=30° ,定义 f(M)=(m,n,p),其中 m, 1 1 4 ? n,p 分别是△MBC,△MCA,△MAB 的面积.若 f(M)=? ?2,x,y?,则x+y的最小值是 ________. 7、已知函数 f(x)=|lgx|.若 0<a<b,且 f(a)=f(b),则 a+2b 的取值范围是________. 8、已知 log2 a ? log2 b ? 1,则 3 ? 9 的最小值为________.
a b

9、 a , b 均为正实数且 a ? b ? 1, 求y ? ? a ?

? ?

1 ?? 1? ?? b ? ? 的最小值是 a ?? b?

10、已知 α、β 都是锐角,且 sinβ=sinαcos(α+β). π (1)当 α+β= ,求 tanβ 的值; 4 (2)当 tanβ 取最大值时,求 tan(α+β)的值.

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a b 11、已知:a,b 是正常数,x,y∈R*,且 a+b=10, + =1,x+y 的最小值为 18,求 a、 x y b 的值.

12、如图,两个工厂 A,B 相距 2 km,点 O 为 AB 的中点,现要在以 O 为圆心,2 km 为半 径的圆弧 MN 上的某一点 P 处建一幢办公楼,其中 MA⊥AB,NB⊥AB.据测算此办公楼受工 厂 A 的“噪音影响度”与距离 AP 的平方成反比,比例系数是 1,办公楼受工厂 B 的“噪音 影响度”与距离 BP 的平方也成反比,比例系数是 4,办公楼受 A,B 两厂的“总噪音影响 度”y 是受 A,B 两厂“噪音影响度”的和,设 AP 为 x km.

(1)求“总噪音影响度”y 关于 x 的函数关系,并求出该函数的定义域; (2)当 AP 为多少时,“总噪音影响度”最小?