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2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习课件第十二章 12.4


数学

北(理)

§12.4 离散型随机变量 及其分布列
第十二章 概率、随机变量及其分布

基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

1.离散型随机变量的分布列 (1)将随机现象中试验 (或观测 )的每一个可能的结果都对应 于一个数,这种对应称为一个随机变量. (2)离散型随机变量: 随机变量的取值能够 一一列举出来 , 这样的随机变量称为离散型随机变量. (3)设离散型随机变量 X 取值为 a1,a2,?,x 取 ai 的概率 为 pi(i=1,2,?),记作 P(X=ai)=pi(i=1,2,?) 或列表: X=ai P(X=a1)
基础知识 题型分类

a1 p1

a2 p2
思想方法

? ?
练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

称为离散型随机变量 X 的分布列. (4)性质: ①pi > 0,i=1,2,?; ②p1+p2+?+pi+?+pn= 1 .

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
2.超几何分布 一般地,设有 N 件产品,其中有 M(M≤N)件次品.从中任 取 n (n≤N)件产品,用 X 表示取出的 n 件产品中次品的件 数,那么 P(X=k)=
n-k Ck C M N-M Cn N

知识回顾 理清教材

(其中 k 为非负整数).

如果一个随机变量的分布列由上式确定,则称 X 服从参数 为 N,M,n 的超几何分布.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基础 突破疑难

题号
1 2

答案
(1) √ (2) √ (3) × (4) √

解析

C D
X P 0 0.7 1 0.3

3
4 5
基础知识 题型分类

3 16
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 离散型随机变量的分布列的性质
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 1】 设 X 是一个离散型随机变 量,其分布列为 X P 则 q 等于 A.1 2 C.1- 2 2 B.1± 2 2 D.1+ 2 -1 1 2 0 1-2q 1 q2 ( )

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 离散型随机变量的分布列的性质
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 1】 设 X 是一个离散型随机变 量,其分布列为 X P 则 q 等于 A.1 2 C.1- 2 2 B.1± 2 2 D.1+ 2 -1 1 2 0 1-2q 1 q2 ( )

利用分布列的两个性质求解.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 离散型随机变量的分布列的性质
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 1】 设 X 是一个离散型随机变 量,其分布列为 X P 则 q 等于 A.1 2 C.1- 2 2 B.1± 2 2 D.1+ 2 -1 1 2 0 1-2q 1 q2 (

由分布列的性质知
? ?1-2q>0, ?q2>0, ) ? ?1 2 + 1 - 2 q + q =1 ? ?2

2 ∴q=1- 2 .

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 离散型随机变量的分布列的性质
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 1】 设 X 是一个离散型随机变 量,其分布列为 X P 则 q 等于 A.1 2 C.1- 2 -1 1 2 0 1-2q 1 q2

由分布列的性质知
? ?1-2q>0, ?q2>0, ( C ) ? ?1 2 + 1 - 2 q + q =1 ? 2 2 ? B.1± 2 2 2 ∴q=1- . D.1+ 2 2

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 离散型随机变量的分布列的性质
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 1】 设 X 是一个离散型随机变 量,其分布列为 X P 则 q 等于 A.1 2 C.1- 2 2 B.1± 2 2 D.1+ 2 -1 1 2 0 1-2q 1 q
2

(1)利用分布列中各概率之和为 1 可求参数的值,此时要注意检验, 以保证每个概率值均为正数.

( C )

(2) 求随机变量在某个范围内的取 值概率时,根据分布列,将所求范 围内随机变量对应的取值概率相 加即可, 其依据是互斥事件的概率 加法公式.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 设离散型随机变量 X 的分布列为 X P (2)|X-1|的分布列.
解 由分布列的性质知:

0 0.2

1 0.1

2 0.1

3 0.3

4 m

求:(1)2X+1 的分布列;

0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,∴m=0.3.

首先列表为 X 2X+1 |X-1|
基础知识

0 1 1

1 3 0

2 5 1

3 7 2

4 9 3
练出高分

题型分类

思想方法

题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 设离散型随机变量 X 的分布列为 X P (2)|X-1|的分布列.
从而由上表得两个分布列为

0 0.2

1 0.1

2 0.1

3 0.3

4 m

求:(1)2X+1 的分布列;

(1)2X+1 的分布列 2X+1 P 1 0.2 3 0.1 5 0.1 7 0.3 9 0.3

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 设离散型随机变量 X 的分布列为 X P (2)|X-1|的分布列.
(2)|X-1|的分布列为

0 0.2

1 0.1

2 0.1

3 0.3

4 m

求:(1)2X+1 的分布列;

|X-1| P

0 0.1

1 0.3

2 0.3

3 0.3

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 求离散型随机变量的分布列

【例 2】

某商店试销某种商品 20 天,获得如下数据: 日销售量(件) 频数 0 1 1 5 2 9 3 5

试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变 ),设某 天开始营业时有该商品 3 件,当天营业结束后检查存货,若 发现存量少于 2 件,则当天进货补充至 , ...3 件,否则不进货 ... 将频率视为概率. (1)求当天商店不进货 的概率; ... (2)记 X 为第二天开始营业时该商品的件数,求 X 的分布列.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 求离散型随机变量的分布列

【例 2】

某商店试销某种商品 20 天,获得如下数据: 日销售量(件) 频数 0 1 1 5 2 9 3 5

试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变 ),设某 天开始营业时有该商品 3 件,当天营业结束后检查存货,若 发现存量少于 2 件,则当天进货补充至 , ...3 件,否则不进货 ...

思维启迪 解决随机变量分布列问题的关键是正确求出 将频率视为概率. (1)求当天商店不进货 的概率; ... 随机变量可以取哪些值以及取各个值对应的概率, 只有正 (2)记 X 为第二天开始营业时该商品的件数,求 X 的分布列. 确地理解随机变量取值的意义才能解决这个关键问题.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 求离散型随机变量的分布列

【例 2】 某商店试销某种商品 20 天,获得如下数据: 解 (1)P(当天商店不进货 日销售量(件) )= 0P(当天商品销售量为 1 2 3 0 件)+P(当 1 5 3 天商品销售量为 1 件 ) = + = 5. 频数 9 5 20 1 20 10 (2)由题意知, X 的可能取值为 2,3. 试销结束后 (假设该商品的日销售量的分布规律不变 ),设某 5 1 P(X=2)=P(当天商品销售量为 1 件)=20=4; 天开始营业时有该商品 3 件,当天营业结束后检查存货,若 P(X=3)=P(当天商品销售量为 0 件)+P3 (当天商品销售量为 2 发现存量少于 2 件,则当天进货补充至 件,否则不进货 , ... ... 1 9 5 3 件)+P(当天商品销售量为 3 件)= + + = . 20 20 20 4 将频率视为概率. 所以 X 的分布列为 (1)求当天商店不进货 的概率; ... X 2 3 (2)记 X 为第二天开始营业时该商品的件数,求 X 的分布列. 1 3 P 4 4
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 求离散型随机变量的分布列

【例 2】

某商店试销某种商品 20 天,获得如下数据: 日销售量(件) 频数 0 1 1 5 2 9 3 5

试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变 ),设某 天开始营业时有该商品 3 件,当天营业结束后检查存货,若 思维升华 求解离散型随机变量 X 的分布列的步骤: ①理解 X 发现存量少于 2 件,则当天进货补充至 3 件,否则不进货 , ... ... 的意义,写出 X 可能取的全部值;②求 X 取每个值的概率; 将频率视为概率. ③ 写出 X 的分布列. (1) 求当天商店不进货 的概率; ... 求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应 (2)记 X 为第二天开始营业时该商品的件数,求 X 的分布列. 的概率,在求解时,要注意应用计数原理、古典概型等知识.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 4 支圆珠笔标价分别为 10 元、20 元、30 元、40 元. (1)从中任取一支,求其标价 X 的分布列; (2)从中任取两支,若以 Y 表示取到的圆珠笔的最高标价,求 Y 的分 布列.

解 (1)X 的可能取值分别为 10,20,30,40, 且取得任一支的概率相等,
故 X 的分布列为

X P

10 1 4

20 1 4

30 1 4

40 1 4

1 1 (2)根据题意,Y 的可能取值为 20,30,40,且 P(Y=20)=C2=6,
4

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 4 支圆珠笔标价分别为 10 元、20 元、30 元、40 元. (1)从中任取一支,求其标价 X 的分布列; (2)从中任取两支,若以 Y 表示取到的圆珠笔的最高标价,求 Y 的分 布列.
2 1 P(Y=30)= 2= , C4 3 3 1 P(Y=40)=C2=2. 4 ∴Y 的分布列为

Y P
基础知识

20 1 6

30 1 3

40 1 2
思想方法 练出高分

题型分类

题型分类·深度剖析
题型三 超几何分布
一袋中装有 10 个大小
思维启迪 解析 思维升华

【 例 3】

相同的黑球和白球. 已知从袋中 任意摸出 2 个球,至少得到 1 7 个白球的概率是 . 9 (1)求白球的个数; (2)从袋中任意摸出 3 个球,记 得到白球的个数为 X, 求随机变 量 X 的分布列.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 超几何分布
一袋中装有 10 个大小
思维启迪 解析 思维升华

【 例 3】

相同的黑球和白球. 已知从袋中

(1) 列出符合题意的关于袋中

任意摸出 2 个球,至少得到 1 白球个数 x 的方程; 7 个白球的概率是 . 9 (2)随机变量 X 服从超几何分 (1)求白球的个数; 布. (2)从袋中任意摸出 3 个球,记 得到白球的个数为 X, 求随机变 量 X 的分布列.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 超几何分布
一袋中装有 10 个大小
思维启迪 解析 思维升华

【 例 3】

相同的黑球和白球. 已知从袋中 解 (1)记“从袋中任意摸出 2 个
至少得到 1 个白球”为事件 A, 任意摸出 2 个球,至少得到 1 球, 7 设袋中白球的个数为 x, 个白球的概率是 . 2 9 C10 7 -x

(1)求白球的个数; (2)从袋中任意摸出 3 个球,记 得到白球的个数为 X, 求随机变 量 X 的分布列.
基础知识 题型分类

则 P(A)=1- C2 =9, 10

得到 x=5.故白球有 5 个.
(2)X 服从超几何分布,
k 3-k C5 C5 P(X=k)= 3 ,k=0,1,2,3. C10

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 超几何分布
一袋中装有 10 个大小
思维启迪 解析 思维升华

【 例 3】

相同的黑球和白球. 已知从袋中 于是可得其分布列为 任意摸出 2 个球,至少得到 1 X 0 1 2 7 个白球的概率是 . 1 5 5 9 P 12 12 12 (1)求白球的个数; (2)从袋中任意摸出 3 个球,记 得到白球的个数为 X, 求随机变 量 X 的分布列.
基础知识 题型分类 思想方法

3 1 12

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 超几何分布
一袋中装有 10 个大小
思维启迪 解析 思维升华

【 例 3】

相同的黑球和白球. 已知从袋中

对 于服 从某 些特 殊分 布的 随

任意摸出 2 个球,至少得到 1 机变量,其分布列可以直接应 7 个白球的概率是 . 9 用公式给出.超几何分布描述 (1)求白球的个数; (2)从袋中任意摸出 3 个球,记 得到白球的个数为 X, 求随机变 量 X 的分布列.
基础知识 题型分类

的是不放回抽样问题,随机变 量为抽到的某类个体的个数, 随 机变 量取 值的 概率 实质 上 是古典概型.
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 盒内有大小相同的 9 个球,其中 2 个红色球,3 个白 色球,4 个黑色球.规定取出 1 个红色球得 1 分,取出 1 个白色球 得 0 分,取出 1 个黑色球得-1 分.现从盒内任取 3 个球. (1)求取出的 3 个球中至少有一个红球的概率; (2)求取出的 3 个球得分之和恰为 1 分的概率; (3)设 ξ 为取出的 3 个球中白色球的个数,求 ξ 的分布列. 3 C7 7 解 (1)P=1-C3=12. 9
(2)记“取出 1 个红色球,2 个白色球”为事件 B,
“取出 2 个红色球,1 个黑色球”为事件 C,
1 2 2 1 C2 C3 C2 C4 5 则 P(B+C)=P(B)+P(C)= C3 + C3 =42. 9 9

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 盒内有大小相同的 9 个球,其中 2 个红色球,3 个白 色球,4 个黑色球.规定取出 1 个红色球得 1 分,取出 1 个白色球 得 0 分,取出 1 个黑色球得-1 分.现从盒内任取 3 个球. (1)求取出的 3 个球中至少有一个红球的概率; (2)求取出的 3 个球得分之和恰为 1 分的概率; (3)设 ξ 为取出的 3 个球中白色球的个数,求 ξ 的分布列. (3)ξ 可能的取值为 0,1,2,3,ξ 服从超几何分布, 3-k Ck C 3 6 P(ξ=k)= ,k=0,1,2,3. C3 9 1 2 C3 5 C 15 6 3C6 故 P(ξ=0)=C3=21,P(ξ=1)= C3 =28; 9 9 1 C2 C 3 3 6 P(ξ=2)= C3 =14, 9
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 盒内有大小相同的 9 个球,其中 2 个红色球,3 个白 色球,4 个黑色球.规定取出 1 个红色球得 1 分,取出 1 个白色球 得 0 分,取出 1 个黑色球得-1 分.现从盒内任取 3 个球. (1)求取出的 3 个球中至少有一个红球的概率; (2)求取出的 3 个球得分之和恰为 1 分的概率; (3)设 ξ 为取出的 3 个球中白色球的个数,求 ξ 的分布列. C3 1 3 P(ξ=3)= 3= . C9 84
ξ 的分布列为

ξ P
基础知识

0 5 21

1 15 28

2 3 14

3 1 84
思想方法 练出高分

题型分类

题型分类·深度剖析
思想与方法系列20 分类讨论思想在概率中的应用
典例:(12 分)在一个盒子中,放有标号分别为 1,2,3 的三张卡片,现从这个盒 子中,有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为 x、y,记 ξ=|x-2|+|y-x|. (1)求随机变量 ξ 的最大值,并求事件“ξ 取得最大值”的概率; (2)求随机变量 ξ 的分布列.

思 维 启 迪

规 范 解 答

温 馨 提 醒

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列20 分类讨论思想在概率中的应用
典例:(12 分)在一个盒子中,放有标号分别为 1,2,3 的三张卡片,现从这个盒 子中,有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为 x、y,记 ξ=|x-2|+|y-x|. (1)求随机变量 ξ 的最大值,并求事件“ξ 取得最大值”的概率; (2)求随机变量 ξ 的分布列.

思 维 启 迪

规 范 解 答

温 馨 提 醒

(1)根据 x,y 的取值,随机变量 ξ 的最大值为 3,当 ξ=3 时,只能 x =1,y=3 或 x=3,y=1;

(2)根据 x,y 的取值,ξ 的所有取值为 0,1,2,3,列举计数计算其相应的 概率值即可.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列20 分类讨论思想在概率中的应用
典例:(12 分)在一个盒子中,放有标号分别为 1,2,3 的三张卡片,现从这个盒 子中,有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为 x、y,记 ξ=|x-2|+|y-x|. (1)求随机变量 ξ 的最大值,并求事件“ξ 取得最大值”的概率; (2)求随机变量 ξ 的分布列.

思 维 启 迪

规 范 解 答

温 馨 提 醒

解 (1)∵x,y 可能的取值为 1,2,3,∴|x-2|≤1,|y-x|≤2, ∴ξ≤3,且当 x=1,y=3 或 x=3,y=1 时,ξ=3.

因此,随机变量 ξ 的最大值为 3.
∵有放回地抽两张卡片的所有情况有 3×3=9(种), 2 ∴P(ξ=3)=9. 2 故随机变量 ξ 的最大值为 3,事件“ξ 取得最大值”的概率为9. (2)ξ 的所有取值为 0,1,2,3.

3分

6分

∵ξ=0 时,只有 x=2,y=2 这一种情况,
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列20 分类讨论思想在概率中的应用
典例:(12 分)在一个盒子中,放有标号分别为 1,2,3 的三张卡片,现从这个盒 子中,有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为 x、y,记 ξ=|x-2|+|y-x|. (1)求随机变量 ξ 的最大值,并求事件“ξ 取得最大值”的概率; (2)求随机变量 ξ 的分布列.

思 维 启 迪

规 范 解 答

温 馨 提 醒

ξ=1 时,有 x=1,y=1 或 x=2,y=1 或 x=2,y=3 或 x=3,y=3 四种 情况,ξ=2 时,有 x=1,y=2 或 x=3,y=2 两种情况, ξ=3 时,有 x=1,y=3 或 x=3,y=1 两种情况. 1 4 2 2 ∴P(ξ=0)=9,P(ξ=1)=9,P(ξ=2)=9,P(ξ=3)=9. 则随机变量 ξ 的分布列为
ξ P
基础知识
8分 10分

0 1 9

1 4 9

2 2 9

3 2 9

12分

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列20 分类讨论思想在概率中的应用
典例:(12 分)在一个盒子中,放有标号分别为 1,2,3 的三张卡片,现从这个盒 子中,有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为 x、y,记 ξ=|x-2|+|y-x|. (1)求随机变量 ξ 的最大值,并求事件“ξ 取得最大值”的概率; (2)求随机变量 ξ 的分布列.

思 维 启 迪

规 范 解 答

温 馨 提 醒

(1)解决本题的关键是正确求出随机变量的所有可能值及对应的概率.

(2)随机变量 ξ 的值是 x,y 的函数,所以要对 x,y 的取值进行分类讨 论.

(3)分类不全面或计算错误是本题的易错点.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高

1.对于随机变量 X 的研究,需要了解随机变量将取哪 些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率,

方 法 与 技 巧

对于离散型随机变量,它的分布正是指出了随机变 量 X 的取值范围以及取这些值的概率.

2.求离散型随机变量的分布列,首先要根据具体情况确 定 ξ 的取值情况,然后利用排列、组合与概率知识求 出 ξ 取各个值的概率.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高

掌握离散型随机变量的分布列,须注意:

失 误 与 防 范

(1)分布列的结构为两行,第一行为随机变量 X 所有可 能取得的值; 第二行是对应于随机变量 X 的值的事件发 生的概率. 看每一列, 实际上是上为“事件”, 下为“事 件发生的概率”, 只不过“事件”是用一个反映其结果 的实数表示的.每完成一列,就相当于求一个随机事件 发生的概率. (2)要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的 正误.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

a 1.随机变量 X 的概率分布规律为 P(X=n)= (n=1,2,3,4), n?n+1? 1 5 其中 a 是常数,则 P( <X< )的值为 ( D ) 2 2 2 3 4 5 A. B. C. D. 3 4 5 6
a 解析 ∵P(X=n)= (n=1,2,3,4), n?n+1? a a a a 5 ∴ + + + =1,∴a= , 2 6 12 20 4

1 5 5 1 5 1 5 ∵P(2<X<2)=P(X=1)+P(X=2)=4×2+4×6=6.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

2.袋中装有 10 个红球、5 个黑球.每次随机抽取 1 个球后,若取 得黑球则另换 1 个红球放回袋中,直到取到红球为止.若抽取 的次数为 ξ,则表示“放回 5 个红球”事件的是 A.ξ=4 B.ξ=5 C.ξ=6 D.ξ≤5 ( C )

解析

“放回五个红球”表示前五次摸到黑球,第六次摸到红

球,故 ξ=6.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

3.一盒中有 12 个乒乓球,其中 9 个新的,3 个旧的,从盒 子中任取 3 个球来用,用完后装回盒中,此时盒中旧球 个数 X 是一个随机变量,其分布列为 P(X),则 P(X=4) 的值为 1 A. 220 27 B. 55 27 C. 220 ( C ) 21 D. 55

解析

由题意取出的 3 个球必为 2 个旧球、1 个新球,

1 C2 27 3C9 故 P(X=4)= 3 = . C12 220

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

4. 设某项试验的成功率是失败率的 2 倍, 用随机变量 X 去描述 1 次试验的成功次数,则 P(X=0)等于 1 1 A.0 B. C. 2 3 2 D. 3 ( C )

解析 设 X 的分布列为
X P 0 p 1 2p

即“X=0”表示试验失败,“X=1”表示试验成功,
1 设失败率为 p,则成功率为 2p.由 p+2p=1 得 p=3,故应选 C.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

5.在 15 个村庄中有 7 个村庄交通不方便,现从中任意选 10 个村 庄,用 X 表示这 10 个村庄中交通不方便的村庄数,下列概率 6 C4 C 7 8 中等于 10 的是 ( C ) C15 A.P(X=2) C.P(X=4) B.P(X≤2) D.P(X≤4)

解析

k 10-k C7 C8 X 服从超几何分布 P(X=k)= C10 ,故 k=4. 15

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

6.设随机变量 X 等可能取值 1,2,3,?,n,如果 P(X<4)=

10 0.3,那么 n=______.

解析 由于随机变量 X 等可能取 1,2,3,?,n. 1 所以取到每个数的概率均为 . n 3 ∴P(X<4)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)= =0.3, n
∴n=10.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

7.已知随机变量 ξ 只能取三个值:x1,x2,x3,其概率依次成等 差数列,则公差 d
? 1 1? ?- , ? 的取值范围是________ ? 3 3? .

解析 设 ξ 取 x1,x2,x3 时的概率分别为 a-d,a,a+d,
1 则(a-d)+a+(a+d)=1,∴a=3,

?1 ?3-d>0 由? ?1+d>0 ?3
基础知识

1 1 得-3<d<3.

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

8.抛掷 2 颗骰子,所得点数之和 X 是一个随机变量,则 P(X≤4)
1 6 =________.
解析 相应的基本事件空间有 36 个基本事件,

其中 X=2 对应(1,1);X=3 对应(1,2),(2,1);
X=4 对应(1,3),(2,2),(3,1). 所以 P(X≤4)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)
1 2 3 1 =36+36+36=6.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

9.从一批含有 13 件正品与 2 件次品的产品中,不放回地任取 3 件, 求取得次品数的分布列.

解 设随机变量 ξ 表示取出次品的个数,
则 ξ 服从超几何分布, 它的可能取值为 0,1,2, 其相应的概率为 3 1 2 C0 C 22 C 12 2 13 2C13 P(ξ=0)= C3 =35,P(ξ=1)= C3 =35, 15 15 2 1 C2C13 1 P(ξ=2)= 3 = . C15 35 所以 ξ 的分布列为
ξ P
基础知识 题型分类

0 22 35

1 12 35

2 1 35
练出高分

思想方法

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

10.(2013· 重庆)某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定: 在一次摸奖中,摸奖者先从装有 3 个红球与 4 个白球的袋 中任意摸出 3 个球,再从装有 1 个蓝球与 2 个白球的袋中 任意摸出 1 个球,根据摸出 4 个球中红球与蓝球的个数, 设一、二、三等奖如下: 奖级 一等奖 二等奖 三等奖
基础知识

摸出红、 蓝球个数 获奖金额 3红1蓝 3红0蓝 2红1蓝
题型分类

200 元 50 元 10 元
思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级. (1)求一次摸奖恰好摸到 1 个红球的概率; (2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额 X 的分布列与均值 EX.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10



设 Ai(i=0,1,2,3)表示摸到 i 个红球,Bj(j=0,1)表示摸到 j

个蓝球,则 Ai 与 Bj 独立.
1 2 C3 C4 18 (1)恰好摸到 1 个红球的概率为 P(A1)= C3 =35. 7

(2)X 的所有可能值为 0,10,50,200,且

C3 1 31 P(X=200)=P(A3B1)=P(A3)P(B1)=C3· =105, 3 7 C3 2 32 P(X=50)=P(A3B0)=P(A3)P(B0)=C3· =105, 3 7
1 C2 12 4 3C4 1 P(X=10)=P(A2B1)=P(A2)P(B1)= C3 · =105=35, 3 7

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

1 2 4 6 P(X=0)=1- - - = . 105 105 35 7

综上可知,获奖金额 X 的分布列为
X P 0 6 7 10 4 35 50 2 105 200 1 105

6 4 2 1 从而有 EX=0×7+10×35+50×105+200×105=4(元).

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5 6

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5 6

1.将一颗骰子均匀掷两次,随机变量为 A.第一次出现的点数 C.两次出现点数之和 B.第二次出现的点数

( C )

D.两次出现相同点的种数

解析 A、B 中出现的点数虽然是随机的,但它们取值所反映的 结果,都不是本题涉及试验的结果.

D 中出现相同点数的种数就是 6 种,又不是变量.
C 整体反映两次投掷的结果,可以预见两次出现数字的和是 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,这十一种结果,但每掷一次前,无法预 见是十一种中的哪一个,故是随机变量,选 C.
思想方法

基础知识

题型分类

练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5 6

2.从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛,则所选 3 人
4 中女生人数不超过 1 人的概率是________ . 5

解析 设所选女生人数为 x,则 x 服从超几何分布,

其中 N=6,M=2,n=3,则
3 2 C0 C1 4 2C4 2C4 P(x≤1)=P(x=0)+P(x=1)= C3 + C3 =5. 6 6

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5 6

3. 由于电脑故障, 使得随机变量 X 的分布列中部分数据丢失(以“x, y”代替),其表如下: X P 1 0.20 2 0.10 3 0.x5 4 0.10 5 0.1y 6 0.20

2,5 . 则丢失的两个数据依次为________

解析

由于 0.20+0.10+0.x5+0.10+0.1y+0.20=1,

得 0.x5+0.1y=0.40,于是两个数据分别为 2,5.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5 6

4.如图所示,A、B 两点 5 条连线并联,它们在单 位时间内能通过的最大信息量依次为 2,3,4,3,2.现 记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最 4 大信息总量为 ξ,则 P(ξ≥8)=_______. 5

1 C2 4 2C2 解析 P(ξ≥8)=1-P(ξ=7)=1- C3 =5. 5

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5 6

5. 某电视台的一个智力游戏节目中, 有一道将中国四大名著 《三 国演义》 、 《水浒传》 、 《西游记》 、 《红楼梦》与它们的作者连 线的题目,每本名著只能与一名作者连线,每名作者也只能 与一本名著连线,每连对一个得 2 分,连错得-1 分,某观 众只知道《三国演义》的作者是罗贯中,其他不知道随意连 线,将他的得分记为 ξ: (1)求该观众得分 ξ 为负数的概率; (2)求 ξ 的分布列.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1


B组
2

专项能力提升
3 4 5 6

(1)当该观众只连对《三国演义》 ,其他全部连错时,得分为负数,

此时 ξ=-1,
2 1 故得分为负数的概率为 P(ξ=-1)=A3=3. 3 (2)ξ 的可能取值为-1,2,8. 3 1 1 1 P(ξ=2)=A3=2,P(ξ=8)=A3=6.
3 3

ξ 的分布列为 ξ P -1 1 3 2 1 2 8 1 6

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5 6

6.袋中装有黑球和白球共 7 个,从中任取 2 个球都是白球的概 1 率为 .现有甲、乙两人从袋中轮流摸取 1 球,甲先取,乙后 7 取,然后甲再取,??,取后不放回,直到两人中有一人取 到白球时即终止.每个球在每一次被取出的机会是等可能 的,用 X 表示取球终止时所需要的取球次数. (1)求袋中原有白球的个数; (2)求随机变量 X 的分布列; (3)求甲取到白球的概率.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1


B组
2

专项能力提升
3 4 5 6

C2 1 x (1)设袋中白球共有 x 个,根据已知条件 2= , C7 7

即 x2-x-6=0,解得 x=3,或 x=-2(舍去). 即袋中原有白球的个数为 3. (2)X 表示取球终止时所需要的次数,则 X 的取值分别为 1,2,3,4,5.
1 A1 3 A1 2 3 4A3 因此,P(X=1)= 1= ,P(X=2)= 2 = , A7 7 A7 7

1 1 A2 6 A3 3 4A3 4A3 P(X=3)= A3 =35,P(X=4)= A4 =35, 7 7

1 A4 1 4A3 P(X=5)= 5 = . A7 35

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5 6

则随机变量 X 的分布列为
X P 1 3 7 2 2 7 3 6 35 4 3 35 5 1 35

(3)甲取到白球的概率为 P=P(X=1)+P(X=3)+P(X=5) 3 6 1 22 =7+35+35=35.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分


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