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天津市五区县2013~2014学年度第二学期期末考试高一数学答案


天津市五区县 2013~2014 学年度第二学期期末考试 高一数学试卷参考答案
一、选择题 1. C 6. C 2. A 7. D 3. D 8. A 4. B 9. D 5. B 10. C

二.填空题 11. 70 三.解答题 16.(Ⅰ)根据正弦定理得, ∵ sin C ? ∵c ? 12. 0.5 13. 0 或 3

? ? 6.5 x ? 3.2 14. y

15. 11 ? 4 7

c b ? , sin C sin B

………2 分 ………4 分 ………6 分

2 sin B ,∴ c ? 2b ,

2 ,∴ b ? 1

(Ⅱ)由(Ⅰ) ,根据余弦定理有

cosC ?

a2 ? b2 ? c2 3 ? , 2ab 4

………8 分

∴ sin C ? 1 ? ( ) ?
2

3 4

7 4
1 7 absin C ? . 2 4

………10 分

∴ ?ABC 的面积为 S ?

………12 分

17.(Ⅰ) ∵ 红球和黑球在总数中所占比例为 样本中所有球的总数 N ?

2 ?1 3 ? ,………1 分 2 ?1?1 4
………2 分

6 ? 8. 3 4

∴ 红球的个数为 白球的个数为

2 ? 8 ? 4 ………3 分 4

1 ? 8 ? 2 ,………4 分 4 1 黑球的个数为 ? 8 ? 2 .………5 分 4
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(Ⅱ) 记“2 个球 1 红 1 白”为事件 A, “2 个球 1 红 1 黑” 为事件 B, “ 2 个球都是红球” 为 事件 C,“ 2 个球 1 白 1 黑” 为事件 D 则 A 中的基本事件个数为 8,B 中的基本事件个数为 8,C 中的基本事件个数为 6,D 中的 基本事件个数为 4,全部基本事件的总数为 28. (i) 方法一:含有红球的概率为 ………8 分

P1 ? P( A) ? P( B) ? P(C ) ?

8 8 6 11 ? ? ? 28 28 28 14

………10 分

方法二:“2 个都是白球”, “2 个都是黑球”的基本事件个数都为 1,

P1 ? 1 ? (

4 1 1 11 ? ? )? 28 28 28 14 8 4 3 ? ? 28 28 7
………1 分 ………12 分

(ii)恰有 1 个黑球的概率 P2 ? P ( B ) ? P ( D) ? 18. (Ⅰ) ? ? 4a 2 ? 4(7a ? 6) 令? ? 0, 则 a ? 7a ? 6 ? 0 ,
2

………2 分 ………4 分 ………5 分

解得 a ? 6 ,或 a ? 1 . (Ⅱ) f (a ) ? a ? 由(Ⅰ)知 ①当 a ? 6 时, a ? 1 ? 5 ,

4 4 ? (a ? 1) ? ?1 a ?1 a ?1

……… 6 分

f (a) ? (a ? 1) ?
当 a ?1 ?

4 4 ? 1 ? 2 (a ? 1) ? ?1 ? 5 a ?1 a ?1

4 时, a ? 3 ,此时等号不成立, a ?1 34 ∴ f (a) ? f (6) ? . ……… 7 分 5
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②当 a ? 1 时, a ? 1 ? 0 ,即 1 ? a ? 0

f (a) ? (a ? 1) ?
而 (1 ? a) ?

4 4 ? 1 ? ?[(1 ? a) ? ] ? 1 ,………9 分 a ?1 1? a

4 4 ? 2 (1 ? a) ? ? 4, 1? a 1? a
4 , 1? a
……11 分

∴ f (a) ? ?4 ? 1 ? ?3 , ,当且仅当 1 ? a ? 即 a ? ?1 时取等号. 综上,函数 f (a) ? a ?

4 34 的值域为 ( ,?? ) ? ?? ?,?3? .………12 分 a ?1 5

19. (Ⅰ) 区间 人数

?70,80?
4

?80,90?
5

[90,100]
3 ………3 分 ………5 分

(Ⅱ)81.5 (Ⅲ) (i)所有可能的结果为:

{A2 , A6 },{A2 , A9 },{A2 , A10 },{A2 , A14 },{A6 , A9 },{A6 , A10 }, {A6 , A14 },{A9 , A10 },{A9 , A14 },{A10 , A14 }
………9 分

(ii)设“这 2 人均来自同一个组”为事件 A,所有可能的结果有 10 种,2 人均来自 同一个组的结果有 4 种.………10 分 所以, 这 2 人均来自同一个组的概率为 P ( A) ? 20.(Ⅰ)当 n ? 2 时, an ? S n ? S n?1 ? 2n 当 n ? 1 时, a1 ? 2 ? 1 ? 2 又 a1 ? S1 ? 1 ? 1 ? 2 ∴ an ? 2n ………3 分 ………4 分

4 2 ? .………12 分 10 5
………2 分

高一数学参考答案

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(Ⅱ)证明:

cn?1 bn? 2 ? 2bn?1 4bn?1 ? 4bn ? 2bn?1 ? ? cn bn?1 ? 2bn bn?1 ? 2bn ? 2bn ?1 ? 4bn ?2 bn?1 ? 2bn

c1 ? b2 ? 2b1 ? 3 ? 2 ? 1
∴数列 {cn } 为以 1 为首项,2 为公比的等比数列.………8 分 (Ⅲ)由(Ⅱ)得 cn ? 1? 2 n?1 ? 2n?1 ∴ an cn ? 2n ? 2 n?1 ? n ? 2 n ∴ Tn ? 1? 2 ? 2 ? 2 2 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2 n ① ………9 分 ………10 分

2Tn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ? ? (n ? 1) ? 2n ? n ? 2n?1 ②
①-②得

? Tn ? 2 ? 2 2 ? 2 3 ? ? ? 2 n ? n ? 2 n ?1 2(1 ? 2 n ) ? n ? 2 n ?1 ? ?2 ? 2 n ?1 ? n ? 2 n ?1 1? 2 ? ?2 ? (n ? 1)2 n ?1 ?
∴ Tn ? (n ? 1)2 n?1 ? 2 . ……12 分

高一数学参考答案

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