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偏微分方程数值解法 上机实验(3.12)

偏微分方程数值解法 上机实验(习题 3.12) 目的:用 Crank-Nicolson 格式计算,并分析结果,见习题 3.12 1. 部分结果数值(h=1/100,v=1/100)

0.5,0.0 0.5,0.1 0.5,0.2 0.5,0.3 0.5,0.4 0.5,0.5 0.5,0.6 0.5,0.7 0.5,0.8 0.5,0.9 0.5,1.0

数值解 0.790439 0.642042 0.487232 0.327555 0.164605 1.07E-05 -0.16458 -0.32753 -0.48721 -0.64202 -0.79041

精确解 绝对误差 0.790439 0.00E+00 0.642042 1.02E-07 0.48723 2.01E-06 0.32755 4.56E-06 0.164597 7.50E-06 0 1.07E-05 -0.1646 1.40E-05 -0.32755 1.72E-05 -0.48723 2.03E-05 -0.64204 2.31E-05 -0.79044 2.54E-05

结论:初步得出结果 收敛效果较好 2. 部分结果数值(h=1/200,v=1/200)

0.5,0.0 0.5,0.1 0.5,0.2 0.5,0.3 0.5,0.4 0.5,0.5 0.5,0.6 0.5,0.7 0.5,0.8 0.5,0.9 0.5,1.0

数值解 0.790439083 0.642042338 0.487230962 0.3275515 0.164599358 2.67E-06 -0.164593989 -0.327546053 -0.487225383 -0.642036543 -0.790432737

精确解 绝对误差 0.790439083 0.00E+00 0.642042304 3.44E-08 0.487230451 5.11E-07 0.327550352 1.15E-06 0.164597478 1.88E-06 0 2.67E-06 -0.164597478 3.49E-06 -0.327550352 4.30E-06 -0.487230451 5.07E-06 -0.642042304 5.76E-06 -0.790439083 6.35E-06

结论:误差大约为上一组结果的 1/4; 3.部分结果数值(h=1/200,v=1/2000)

0.5,0.0 0.5,0.1 0.5,0.2 0.5,0.3 0.5,0.4 0.5,0.5 0.5,0.6 0.5,0.7 0.5,0.8 0.5,0.9 0.5,1.0

数值解 精确解 绝对误差 0.790439083 0.790439083 0.00E+00 0.642042666 0.642042304 3.62E-07 0.487231291 0.487230451 8.40E-07 0.327551779 0.327550352 1.43E-06 0.164599577 0.164597478 2.10E-06 2.83E-06 0 2.83E-06 -0.164593896 -0.164597478 3.58E-06 -0.327546026 -0.327550352 4.33E-06 -0.487225422 -0.487230451 5.03E-06 -0.642036648 -0.642042304 5.66E-06 -0.790432907 -0.790439083 6.18E-06

结论:时间步长缩短,误差基本与上一组数据保持一致,缩小步长的效果不明显。当缩小步 长时 H=V 会有比较好的效果。

4.数值解的最大误差

h (1/10) (1/20) (1/40) (1/80) (1/160)

v (1/10) (1/20) (1/40) (1/80) (1/160)

Emax E(2h,2v)/E(h,v) 0.0050206 * 0.0012915 3.88728065 3.27E-04 3.949675841 8.24E-05 3.968446602 2.07E-05 3.980676329

结论 E(2h,2v)/E(h,v)≈4,收敛阶为 O(h^2+v^2); 5.t=1 时,数值解的误差曲线

6.用表中数值进行外推,由于是 O(h^2+v^2)的收敛阶 故 u=(4u2-u1)/3

0.5,0.0 0.5,0.1 0.5,0.2 0.5,0.3 0.5,0.4 0.5,0.5 0.5,0.6 0.5,0.7 0.5,0.8 0.5,0.9 0.5,1.0

数值解 精确解 绝对误差 0.790439083 0.790439083 0.00E+00 0.642042315 0.642042304 1.13E-08 0.487230463 0.487230451 1.20E-08 0.327550362 0.327550352 1.00E-08 0.164597486 0.164597478 7.67E-09 -6.67E-09 0 6.67E-09 -0.164597478 -0.164597478 3.33E-10 -0.327550357 -0.327550352 5.33E-09 -0.487230461 -0.487230451 1.03E-08 -0.64204232 -0.642042304 1.60E-08 -0.790439105 -0.790439083 2.17E-08

表可以看书,精度有了较大提高,而且运算量很小,外推效果很好,是值得多运用的方法。 7.附 MATLAB 程序代码 %作者:lmx %用于解习题 3.12 %输入时间步长 h,空间不长 v;得出数值解,误差; function [e,u,xn]=cn(h,v) r=2*v/(h^2);

xn=0:h:1; tn=0:v:1; n=(1/h); m=(1/v); %初始化边界条件 for i=1:n+1 u(1,i)=exp(xn(i))*sin(1/2); end for i=1:m+1 u(i,1)=sin((1/2)-tn(i)); end for i=1:m+1 u(i,n+1)=exp(1)*sin((1/2)-tn(i)); end %构建方程组 for i=1:n-1 for j=1:n-1 if j==(i-1)||j==(i+1) q(i,j)=-r/2; else if i==j q(i,j)=1+r; end end end end for i=1:n-1 for j=1:n-1 if j==(i-1)||j==(i+1) p(i,j)=r/2; else if i==j p(i,j)=1-r; end end end end for k=2:m+1 for j=1:n-1 if j==1 g(j)=(r*(u(k-1,1)+u(k,1))/2+v*f(xn(1+1),(tn(k-1)+tn(k)/2))); else if j==n-1 g(j)=(r*(u(k-1,n+1)+u(k,n+1))/2+v*f(xn(j+1),((tn(k-1)+tn(k))/2))); else g(j)=v*f(xn(j+1),((tn(k-1)+tn(k))/2));

end end end for i=1:n-1 l(i)=u(k-1,i+1); end b=p*(l')+(g'); %解方程 ul=q\b; for i=2:n u(k,i)=ul(i-1); end end %得出误差 for i=1:m+1 for j=1:n+1 e1(i,j)=abs((f1(xn(j),tn(i)))-u(i,j)); end end e=e1'; for i=1:0.1/v:m+1 s((i-1)/(0.1/v)+1)=u(i,n/2+1); end s=s'; end %右端项 function f=f(x,t) f=-exp(x)*(cos(1/2-t)+2*sin(1/2-t)); end %精确解 function w=f1(x,t) w=exp(x)*sin(1/2-t); end


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