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2.1.2_求曲线的方程_图文

求曲线的方程

复 习
1.什么是曲线的方程和方程的曲线.

答:一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C上 的点与一个二元方程 F(x,y)=0的实数解建立了 如下的关系:
(1)曲线 C 上的点的坐标都是方程 F(x,y)=0 的解, (2)以方程F(x,y)=0 的解为坐标的点都是曲线 C 上的点,那么方程 F(x,y)=0 叫做曲线 C 的方程;

曲线 C 叫做方程 F(x,y)=0 的曲线(图形)。

我们已建立了曲线的方程、方程的曲线的概念。 利用这两个概念,就可以借助于坐标系,用坐标表 示点,把曲线看成是满足某种条件的点的轨迹或集合, 用曲线上点的坐标(x,y)所满足的方程F(x,y)=0表示曲 线。 在数学中,建立曲线方程,然后用方程研究曲线 的方法,叫做解析法(或坐标法)。
解析几何的两大基本问题—— (1)据已知条件,求表示平面曲线的方程。(由曲线求方程) (2)通过方程,研究平面曲线的性质。(由方程来研究曲线)

[知识链接]
轨迹和轨迹方程: 如果某条曲线C是由动点M运动产生的,我们就称 曲线C是点M的轨迹,曲线C的方程称为M的轨迹方 程。 注意:“轨迹”、“方程”要区 分: (1)求轨迹方程,求得方程就可以了; (2)若是求轨迹,求得方程还不够,还应指出 方程所表示的曲线类型(定形、定位、定量)。

例1:如果A,B两点的坐标是(-1,-1),(3,7),动点P 到A,B的距离相等. 你知道动点P的轨迹是什么吗? 如何证明你的结论?

解:设M(x,y)是线段AB的垂直平分 线上任意一点,也就是点M属于集合

y

B
C

P ? ?M | MA |?| MB |?

由两点间的距离公式,点M所适合 条件可表示为:
0

( x ? 1) ? ( y ? 1) ? ( x ? 3) ? ( y ? 7)
2 2 2

2

x
曲线的方程

A

将上式两边平方,整理得: x+2y-7=0



思考:如果给出A,B两点的坐标是(-1,-1),(3,7),动 点P到A,B的距离相等. 你知道动点P的轨迹是什么吗? 如何证明你的结论?

x+2y-7=0



我们证明方程③是线段AB的垂 直平分线的方程. (1)由求方程的过程可知,垂直平 分线上每一点的坐标都是方程③解; (2)设点 M 1的坐标 ( x1 , y1 ) 是方程③的解,即:

x1 ? 2 y1 ? 7 ? 0,

x1 ? 7 ? 2 y1.

点M1到A、B的距离分别是
M 1 A ? ( x1 ? 1) 2 ? ( y1 ? 1) 2 ? (8 ? 2 y1 ) 2 ? ( y1 ? 1) 2 ? 5( y12 ? 6 y1 ? 13) ;

问题:如果给出A,B两点的坐标是(-1,-1),(3,7), 动点P到A,B的距离相等. 你知道动点P的轨迹是什 么吗?如何证明你的结论? 点M1到A、B的距离分别是
M 1 A ? 5( y12 ? 6 y1 ? 13) ;

M 1 B ? ( x1 ? 3)2 ? ( y1 ? 7)2 ? (4 ? 2 y1 )2 ? ( y1 ? 7) 2 ? 5( y ? 6 y1 ? 13).
2 1

? M1 A ? M1 B .
即点M1在线段AB的垂直平分线上.
由(1)、(2)可知方程③是线段AB的垂直平分线的方程.

例2 已知一条直线 l和它上方的一个点F,点F

到l 的距离是2。一条曲线也在 l的上方,它上 面的每一点到F的距离减去到 的距离的差都是2, 建立适当的坐标系,求这条曲线的方程。

l

y
l

.M
0

( x, y )

F(0, . 2)
l
B

x

变式1:已知等腰三角形底边的两个端点是A (-1, -1) 、B(3,7) ,求第三个顶点C的轨迹方 y 程.
B

x+2y-7=0,且不过点(1,3)

C

注:求得的轨迹方程要与动点 的轨迹一一对应,否则要“多 退少补”,多余的点要剔除(用 x,y的取值范围来限制),不足 的点要补充.

0

x

A

建立坐标系的要点: 1.以已知定点为原点; 2.以已知定直线为坐标轴(x轴或y轴);

3.以已知线段所在直线为坐标轴(x轴或y轴),以已知
线段的中点为原点; 4.以已知互相垂直的两定直线为坐标轴; 5.如果曲线(或轨迹)有对称中心,通常以对称中心 为原点. 6.如果曲线(或轨迹)有对称轴,通常以对称轴为坐 标轴. 7.尽可能使曲线上的关键点在坐标轴上. 8.让尽量多的点在坐标轴上.

动点具有的几何条件比较明显时,由题设所给(或 通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几 何条件列出等式,再用坐标代替这等式,化简得曲线 的方程,这种方法叫直接法.

适用范围:任何情况

直接法求曲线方程的一般步骤:

1. 建系:建立适当的直角坐标系(如果已给出,本步
骤省略);

2. 设点:设曲线上任意一点的坐标(x,y);

3. 列式:根据曲线上点所适合的条件,写出等式;
4. 化简:用坐标x、y表示这个等式,并化方程为最简
形式;

5. 证明:验证化简后的方程的解为坐标的点都是曲
上的点.(一般变为确定点的范围即可)

练习:如图,圆O1和圆O2的半径都等于1,O1O2=4,过动点 P分别作圆O1,圆O2的切线PM?PN(M,N分别为切点),使得

PM ? 2PN ,建立平面直角坐标系,并求动点P的轨迹方程.

解:以O1O2的中点O为坐标原点,O1O2所在直线为x轴,建立直 角坐标系如图所示,则O1(-2,0),O2(2,0).

由已知 PM ? 2 PN , 得PM2=2PN2,
因为圆的半径为1,所以:PO21-1=2(PO22-1), 设P(x,y),则(x+2)2+y2-1=2[(x-2)2+y2-1],即(x-6)2+y2=33. 故所求动点P的轨迹方程为(x-6)2+y2=33.

练习:点A(3,0)为圆x2+y2=1外一点,P为圆上任意一 点,若AP的中点为M,当P在圆上运动时,求点M的 轨迹方程. 分析:利用中点坐标公式,把P点的坐标用M的坐标 表示,利用代入法,代入圆的方程即可.
解 :由题意, 设点M的坐标为? x, y ? , 点P的坐标为? x 0 , y 0 ? , 则 ?2 x ? x0 ? 3, ? x0 ? 2 x ? 3, 2 2 ? 又 ? x , y 在圆 x ? y ? 1上, ? ? ? ? 0 0 ? 2 y ? y0 , ? y0 ? 2 y. 3 2 1 2 2 2 ? ? 2x ? 3? ? 4y ? 1,? ( x ? ) ? y ? . 2 4

例4:过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1,l2,若l1交x轴于 A点,l2交y轴于B点,求线段AB的中点M的轨迹方程.
解:解法1:设点M的坐标为(x,y). ∵M为线段AB的中点, ∴A的坐标为(2x,0),B的坐标为(0,2y). ∵l1⊥l2,且l1、l2过点P(2,4), ∴PA⊥PB,kPA·kPB=-1.

4?0 4 ? 2y 而k PA ? (x ? 1), k PB ? , 2 ? 2x 2?0 2 2? y ? ? ? ?1( x ? 1). 1? x 1

整理得x+2y-5=0(x≠1). ∵当x=1时,A?B的坐标分别为(2,0)?(0,4), ∴线段AB的中点坐标是(1,2),它满足方程x+2y-5=0. 综上所求,点M的轨迹方程是x+2y-5=0.
规律技巧:在平面直角坐标系中,遇到垂直问题,常利用斜率之

积等于-1解题,但需注意斜率是否存在,即往往需要讨论,如
解法1.求轨迹方程有时利用平面几何知识更为方便快捷.

解法2:∵l1⊥l2,OA⊥OB, ∴O,A,P,B四点共圆,且该圆的圆心为M. ∴|MP|=|MO|.

∴点M的轨迹为线段OP的中垂线. 4?0 ? kOP ? ? 2, OP 的中点坐标为(1,2), 2?0 1 y ? 2 ? ? ( x ? 1), ∴点M的轨迹方程是
2

即x+2y-5=0. 在求曲线方程的过程中,根据题中所给几何特征,利用平面 几何知识将其转化为相应的数量关系得出方程,这种方法 叫做几何法。

练习:平面α的斜线AB交α于点B,过定点A的动直线l与AB垂
直,且交α于点C,则动点C的轨迹是( A.一条直线 C.一个椭圆 B.一个圆 D.双曲线的一支 ) A

解析:设l与l′是动直线AC中的任意两条,则这两条直线确定一 个平面β,且斜线AB⊥β.由过平面外一点有且只有一个平

面与已知直线垂直,可知过定点A和AB垂直的直线都在β内,
故点C在平面α与β的交线上,故选A.

本节课的关键问题
1. 如何建立平面直角坐标系?
2. 准确写出几何特征p(M). 3. 将几何特征转化为数量关系而 得出方程.

4. 简化方程的过程是否同解变形.