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三角函数与解三角形高考模拟试题精选(含详细答案)


三角函数与解三角形高考试题精选
一.解答题(共 31 小题) 1.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 2(tanA+tanB)= + .

(Ⅰ)证明:a+b=2c; (Ⅱ)求 cosC 的最小值. 2.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 asinA=4bsinB,ac= (a2﹣b2﹣c2) . (Ⅰ)求 cosA 的值; (Ⅱ)求 sin(2B﹣A)的值. 3.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 2cosC(acosB+bcosA) =c. (Ⅰ)求 C; (Ⅱ)若 c= ,△ABC 的面积为 ,求△ABC 的周长.

4.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 cosA= ,sinB= C. (1)求 tanC 的值; (2)若 a= ,求△ABC 的面积. + = .

5.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且 (Ⅰ)证明:sinAsinB=sinC; (Ⅱ)若 b2+c2﹣a2= bc,求 tanB. 6.在△ABC 中,已知 AB=2,AC=3,A=60°. (1)求 BC 的长; (2)求 sin2C 的值.

7.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知△ABC 的面积为 3 ,b﹣c=2,cosA=﹣ .
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(Ⅰ)求 a 和 sinC 的值; (Ⅱ)求 cos(2A+ )的值.

8. △ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c. 向量 = (a, b) 与 = (cosA, sinB)平行. (Ⅰ)求 A; (Ⅱ)若 a= ,b=2,求△ABC 的面积.

9.设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c,且 b=3,c=1,△ABC 的面积为 ,求 cosA 与 a 的值. , EA=2, ∠ADC= ,

10. 如图, 在平面四边形 ABCD 中, DA⊥AB, DE=1, EC= ∠BEC= .

(Ⅰ)求 sin∠CED 的值; (Ⅱ)求 BE 的长.

11.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 b+c=2acosB. (Ⅰ)证明:A=2B; (Ⅱ)若△ABC 的面积 S= ,求角 A 的大小. ,b2﹣a2=

12.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 A= c2. (1)求 tanC 的值; (2)若△ABC 的面积为 3,求 b 的值.

13.在△ABC 中,内角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,且 a+b+c=8. (Ⅰ)若 a=2,b= ,求 cosC 的值; (Ⅱ) 若 sinAcos2 +sinBcos2 =2sinC, 且△ABC 的面积 S= sinC, 求 a 和 b 的值. 14.△ABC 的内角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c. (Ⅰ)若 a,b,c 成等差数列,证明:sinA+sinC=2sin(A+C) ;
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(Ⅱ)若 a,b,c 成等比数列,求 cosB 的最小值. 15.△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c. (Ⅰ)若 a,b,c 成等差数列,证明:sinA+sinC=2sin(A+C) ; (Ⅱ)若 a,b,c 成等比数列,且 c=2a,求 cosB 的值. 16.四边形 ABCD 的内角 A 与 C 互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2. (1)求 C 和 BD; (2)求四边形 ABCD 的面积. 17.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 sin(A+C)=8sin2 . (1)求 cosB; (2)若 a+c=6,△ABC 的面积为 2,求 b. 18.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 b+c=2acosB. (1)证明:A=2B; (2)若 cosB= ,求 cosC 的值. 19.设△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,a=btanA,且 B 为钝角. (Ⅰ)证明:B﹣A= ;

(Ⅱ)求 sinA+sinC 的取值范围. 20.△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 cosB= = ,ac=2 ,求 sinA 和 c 的值. ,sin(A+B)

21.设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,a=btanA. (Ⅰ)证明:sinB=cosA; (Ⅱ)若 sinC﹣sinAcosB= ,且 B 为钝角,求 A,B,C. 22.△ABC 中,D 是 BC 上的点,AD 平分∠BAC,△ABD 面积是△ADC 面积的 2 倍. (1)求 ; ,求 BD 和 AC 的长.

(2)若 AD=1,DC=

23.已知 a,b,c 分别是△ABC 内角 A,B,C 的对边,sin2B=2sinAsinC. (Ⅰ)若 a=b,求 cosB;
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(Ⅱ)设 B=90°,且 a=

,求△ABC 的面积.

24.△ABC 中,D 是 BC 上的点,AD 平分∠BAC,BD=2DC (Ⅰ) 求 .

(Ⅱ) 若∠BAC=60°,求∠B. 25.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 a﹣c= sinC, (Ⅰ)求 cosA 的值; (Ⅱ)求 cos(2A﹣ )的值. ,B=A+ b,sinB=

26.△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 a=3,cosA= . (Ⅰ)求 b 的值; (Ⅱ)求△ABC 的面积. 27.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c. (1)若 sin(A+ )=2cosA,求 A 的值.

(2)若 cosA= ,b=3c,求 sinC 的值. 28.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边是 a,b,c,已知 3acosA=ccosB+bcosC (1)求 cosA 的值 (2)若 a=1,cosB+cosC= ,求边 c 的值. a?cosB.

29.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 bsinA= (1)求角 B 的大小; (2)若 b=3,sinC=2sinA,分别求 a 和 c 的值. 30.在△ABC 中,a=3,b=2 (Ⅰ)求 cosA 的值; (Ⅱ)求 c 的值. ,∠B=2∠A.

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三角函数与解三角形高考试题精选
参考答案与试题解析

一.解答题(共 31 小题) 1.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 2(tanA+tanB)= + .

(Ⅰ)证明:a+b=2c; (Ⅱ)求 cosC 的最小值. 【解答】解: (Ⅰ)证明:由 ; ∴两边同乘以 cosAcosB 得,2(sinAcosB+cosAsinB)=sinA+sinB; ∴2sin(A+B)=sinA+sinB; 即 sinA+sinB=2sinC(1) ; 根据正弦定理, ∴ ∴a+b=2c; (Ⅱ)a+b=2c; ∴(a+b)2=a2+b2+2ab=4c2; ∴a2+b2=4c2﹣2ab,且 4c2≥4ab,当且仅当 a=b 时取等号; 又 a,b>0; ∴ ; = ; ; ,带入(1)得: ; 得:

∴由余弦定理, ∴cosC 的最小值为 .

2.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 asinA=4bsinB,ac= (a2﹣b2﹣c2) .
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(Ⅰ)求 cosA 的值; (Ⅱ)求 sin(2B﹣A)的值. 【解答】 (Ⅰ)解:由 ,得 asinB=bsinA,

又 asinA=4bsinB,得 4bsinB=asinA, 两式作比得: 由 ,∴a=2b. ,得 ,

由余弦定理,得 (Ⅱ)解:由(Ⅰ) ,可得

; ,代入 asinA=4bsinB,得 .

由(Ⅰ)知,A 为钝角,则 B 为锐角, ∴ 于是 故 . , , .

3.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 2cosC(acosB+bcosA) =c. (Ⅰ)求 C; (Ⅱ)若 c= ,△ABC 的面积为 ,求△ABC 的周长.

【解答】解: (Ⅰ)∵在△ABC 中,0<C<π,∴sinC≠0 已知等式利用正弦定理化简得:2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC, 整理得:2cosCsin(A+B)=sinC, 即 2cosCsin(π﹣(A+B) )=sinC 2cosCsinC=sinC ∴cosC= , ∴C= ;

(Ⅱ)由余弦定理得 7=a2+b2﹣2ab? ,
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∴(a+b)2﹣3ab=7, ∵S= absinC= ∴ab=6, ∴(a+b)2﹣18=7, ∴a+b=5, ∴△ABC 的周长为 5+ . ab= ,

4.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 cosA= ,sinB= C. (1)求 tanC 的值; (2)若 a= ,求△ABC 的面积.

【解答】解: (1)∵A 为三角形的内角,cosA= , ∴sinA= 又 = , cosC+ sinC,

cosC=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC= cosC= sinC, ; 得:cosC= = cosC= , , =

整理得: 则 tanC=

(2)由 tanC= ∴sinC= ∴sinB=

=

=



∵a=

,∴由正弦定理

=

得:c=

=

=



则 S△ABC= acsinB= ×

×

×

=



5.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且

+

=



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(Ⅰ)证明:sinAsinB=sinC; (Ⅱ)若 b2+c2﹣a2= bc,求 tanB. 【解答】 (Ⅰ)证明:在△ABC 中,∵ ∴由正弦定理得: ∴ ∵sin(A+B)=sinC. ∴整理可得:sinAsinB=sinC, (Ⅱ)解:b2+c2﹣a2= bc,由余弦定理可得 cosA= . sinA= , + tanB=4. = = =1, = , = , , + = ,

6.在△ABC 中,已知 AB=2,AC=3,A=60°. (1)求 BC 的长; (2)求 sin2C 的值. 【解答】解: (1 )由余弦定理可得: BC2=AB2+AC2﹣2AB?ACcosA=4+9﹣2×2 ×3 × =7, 所以 BC= . ,则 sinC= = = ,

(2)由正弦定理可得: ∵AB<BC,BC= 角, >2,

,AB=2,角 A=60°,在三角形 ABC 中,大角对大边,大边对大

∴角 C<角 A, 角 C 为锐角. sinC>0, cosC>0 则 cosC= 因此 sin2C=2sinCcosC=2× = .

=

=



7.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知△ABC 的面积为

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3

,b﹣c=2,cosA=﹣ .

(Ⅰ)求 a 和 sinC 的值; (Ⅱ)求 cos(2A+ )的值. ,△ABC 的

【解答】解: (Ⅰ)在三角形 ABC 中,由 cosA=﹣ ,可得 sinA= 面积为 3 ,可得: ,

可得 bc=24,又 b﹣c=2,解得 b=6,c=4,由 a2=b2+c2﹣2bccosA,可得 a=8, ,解得 sinC= (Ⅱ)cos(2A+ = . ; ﹣sin2Asin =

)=cos2Acos

8. △ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c. 向量 = (a, b) 与 = (cosA, sinB)平行. (Ⅰ)求 A; (Ⅱ)若 a= ,b=2,求△ABC 的面积. b)与 =(cosA,sinB)平行, sinBcosA=0,因为 sinB

【解答】解: (Ⅰ)因为向量 =(a, 所以 asinB﹣ ≠0, 所以 tanA= (Ⅱ)a= 得 c=3, △ABC 的面积为: = . ,可得 A= ;

=0,由正弦定理可知:sinAsinB﹣

,b=2,由余弦定理可得:a2=b2+c2﹣2bccosA,可得 7=4+c2﹣2c,解

9.设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c,且 b=3,c=1,△ABC 的面积为 ,求 cosA 与 a 的值. ,

【解答】解:∵b=3,c=1,△ABC 的面积为

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∴ ∴sinA= ,

=



又∵sin2A+cos2A=1 ∴cosA=± , 由余弦定理可得 a= =2 或2 .

10. 如图, 在平面四边形 ABCD 中, DA⊥AB, DE=1, EC= ∠BEC= .

, EA=2, ∠ADC=



(Ⅰ)求 sin∠CED 的值; (Ⅱ)求 BE 的长.

【解答】解: (Ⅰ)设 α=∠CED, 在△CDE 中,由余弦定理得 EC2=CD2+ED2﹣2CD?DEcos∠CDE, 即 7=CD2+1+CD,则 CD2+CD﹣6=0, 解得 CD=2 或 CD=﹣3, (舍去) , 在△CDE 中,由正弦定理得 ,

则 sinα= 即 sin∠CED= .



(Ⅱ)由题设知 0<α< 而∠AEB= ∴cos∠AEB=cos ( ,

,由(Ⅰ)知 cosα=



) =cos

cosα+sin ,

sinα=



在 Rt△EAB 中,cos∠AEB=

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故 BE=



11.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 b+c=2acosB. (Ⅰ)证明:A=2B; (Ⅱ)若△ABC 的面积 S= ,求角 A 的大小.

【解答】 (Ⅰ)证明:∵b+c=2acosB, ∴sinB+sinC=2sinAcosB, ∴sinB+sin(A+B)=2sinAcosB ∴sinB+sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB ∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin(A﹣B) ∵A,B 是三角形中的角, ∴B=A﹣B, ∴A=2B; (Ⅱ)解:∵△ABC 的面积 S= ∴ bcsinA= , ,

∴2bcsinA=a2, ∴2sinBsinC=sinA=sin2B, ∴sinC=cosB, ∴B+C=90°,或 C=B+90°, ∴A=90°或 A=45°.

12.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 A= c2. (1)求 tanC 的值; (2)若△ABC 的面积为 3,求 b 的值. 【解答】解: (1 )∵A= ﹣a2= bc﹣c2,
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,b2﹣a2=

,∴由余弦定理可得:

,∴ b2

又 b2﹣a2= c2.∴ ∴a2=b2﹣ =

bc﹣c2= c2.∴ ,即 a= .

b= c.可得



∴cosC=

=

=



∵C∈(0,π) , ∴sinC= ∴tanC= 或由 A= =2. ,b2﹣a2= c2. = .

可得:sin2B﹣sin2A= sin2C, ∴sin2B﹣ = sin2C, ∴﹣ cos2B= sin2C, ∴﹣sin ∴﹣sin ∴sin2C=sin2C, ∴tanC=2. (2)∵ 解得 c=2 ∴ . =3. = × =3, =sin2C, =sin2C,

13.在△ABC 中,内角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,且 a+b+c=8. (Ⅰ)若 a=2,b= ,求 cosC 的值; (Ⅱ) 若 sinAcos2 +sinBcos2 =2sinC, 且△ABC 的面积 S= sinC, 求 a 和 b 的值. 【解答】解: (Ⅰ)∵a=2,b= ,且 a+b+c=8,

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∴c=8﹣(a+b)= ,

∴由余弦定理得:cosC=

=

=﹣ ; +sinB? =2sinC,

(Ⅱ)由 sinAcos2 +sinBcos2 =2sinC 可得:sinA? 整理得:sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC, ∵sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)=sinC, ∴sinA+sinB=3sinC, 利用正弦定理化简得:a+b=3c, ∵a+b+c=8, ∴a+b=6①, ∵S= absinC= sinC, ∴ab=9②, 联立①②解得:a=b=3.

14.△ABC 的内角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c. (Ⅰ)若 a,b,c 成等差数列,证明:sinA+sinC=2sin(A+C) ; (Ⅱ)若 a,b,c 成等比数列,求 cosB 的最小值. 【解答】解: (Ⅰ)∵a,b,c 成等差数列, ∴2b=a+c, 利用正弦定理化简得:2sinB=sinA+sinC, ∵sinB=sin[π﹣(A+C)]=sin(A+C) , ∴sinA+sinC=2sinB=2sin(A+C) ; (Ⅱ)∵a,b,c 成等比数列, ∴b2=ac, ∴cosB= = ≥ = ,

当且仅当 a=c 时等号成立, ∴cosB 的最小值为 .
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15.△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c. (Ⅰ)若 a,b,c 成等差数列,证明:sinA+sinC=2sin(A+C) ; (Ⅱ)若 a,b,c 成等比数列,且 c=2a,求 cosB 的值. 【解答】解: (Ⅰ)∵a,b,c 成等差数列, ∴a+c=2b, 由正弦定理得:sinA+sinC=2sinB, ∵sinB=sin[π﹣(A+C)]=sin(A+C) , 则 sinA+sinC=2sin(A+C) ; (Ⅱ)∵a,b,c 成等比数列, ∴b2=ac, 将 c=2a 代入得:b2=2a2,即 b= ∴由余弦定理得:cosB= a, = = .

16.四边形 ABCD 的内角 A 与 C 互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2. (1)求 C 和 BD; (2)求四边形 ABCD 的面积. 【解答】解: (1)在△BCD 中,BC=3,CD=2, 由余弦定理得:BD2=BC2+CD2﹣2BC?CDcosC=13﹣12cosC①, 在△ABD 中,AB=1,DA=2,A+C=π, 由余弦定理得:BD2=AB2+AD2﹣2AB?ADcosA=5﹣4cosA=5+4cosC②, 由①②得:cosC= , 则 C=60°,BD= ;

(2)∵cosC= ,cosA=﹣ , ∴sinC=sinA= , + ×3×2× =2 .

则 S= AB?DAsinA+ BC?CDsinC= ×1×2×

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17.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 sin(A+C)=8sin2 . (1)求 cosB; (2)若 a+c=6,△ABC 的面积为 2,求 b. 【解答】解: (1)sin(A+C)=8sin2 , ∴sinB=4(1﹣cosB) , ∵sin2B+cos2B=1, ∴16(1﹣cosB)2+cos2B=1, ∴16(1﹣cosB)2+cos2B﹣1=0, ∴16(cosB﹣1)2+(cosB﹣1) (cosB+1)=0, ∴(17cosB﹣15) (cosB﹣1)=0, ∴cosB= ; ,

(2)由(1)可知 sinB= ∵S△ABC= ac?sinB=2, ∴ac= ,

∴b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣2×

×

=a2+c2﹣15=(a+c)2﹣2ac﹣15=36﹣17﹣15=4, ∴b=2.

18.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 b+c=2acosB. (1)证明:A=2B; (2)若 cosB= ,求 cosC 的值. 【解答】 (1)证明:∵b+c=2acosB,
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∴sinB+sinC=2sinAcosB, ∵sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB, ∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin(A﹣B) ,由 A,B∈(0,π) , ∴0<A﹣B<π,∴B=A﹣B,或 B=π﹣(A﹣B) ,化为 A=2B,或 A=π(舍去) . ∴A=2B. (II)解:cosB= ,∴sinB= cosA=cos2B=2cos2B﹣1= ,sinA= = . = . + × = .

∴cosC=﹣cos(A+B)=﹣cosAcosB+sinAsinB=

19.设△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,a=btanA,且 B 为钝角. (Ⅰ)证明:B﹣A= ;

(Ⅱ)求 sinA+sinC 的取值范围. 【解答】解: (Ⅰ)由 a=btanA 和正弦定理可得 ∴sinB=cosA,即 sinB=sin( 又 B 为钝角,∴ ∴B= +A∈( ; +A)= ﹣2A) ﹣2A>0, +A) ,π) , = = ,

+A,∴B﹣A=

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 C=π﹣(A+B)=π﹣(A+ ∴A∈(0, ) ,∴sinA+sinC=sinA+sin(

=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin2A =﹣2(sinA﹣ )2+ , ∵A∈(0, ) ,∴0<sinA< ,

∴由二次函数可知

<﹣2(sinA﹣ )2+ ≤ , ]

∴sinA+sinC 的取值范围为(

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20.△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 cosB= = ,ac=2 ,求 sinA 和 c 的值.

,sin(A+B)

【解答】解:①因为△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c 已知 cosB= , sin(A+B)= 所以 sinA+ ,ac=2 cosA= ,所以 sinB= ,sinAcosB+cosAsinB= ,

①,结合平方关系 sin2A+cos2A=1②, sinA﹣16=0, (舍去) ; 由①可知 sin(A+B)=sinC= ,所以 c=1. ,sinA= ,

由①②解得 27sin2A﹣6 解得 sinA=

或者 sinA=﹣

②由正弦定理, 所以 a=2 c,又 ac=2

21.设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,a=btanA. (Ⅰ)证明:sinB=cosA; (Ⅱ)若 sinC﹣sinAcosB= ,且 B 为钝角,求 A,B,C. 【解答】解: (Ⅰ)证明:∵a=btanA. ∴ =tanA, ∵由正弦定理: ∴ = , ,又 tanA= ,

∵sinA≠0, ∴sinB=cosA.得证. (Ⅱ)∵sinC=sin[π﹣(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB, ∴sinC﹣sinAcosB=cosAsinB= ,由(1)sinB=cosA, ∴sin2B= , ∵0<B<π, ∴sinB= ,
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∵B 为钝角, ∴B= , ,

又∵cosA=sinB= ∴A= ,

∴C=π﹣A﹣B= 综上,A=C=

, ,B= .

22.△ABC 中,D 是 BC 上的点,AD 平分∠BAC,△ABD 面积是△ADC 面积的 2 倍. (1)求 ; ,求 BD 和 AC 的长.

(2)若 AD=1,DC=

【解答】解: (1)如图,过 A 作 AE⊥BC 于 E, ∵

=

=2

∴BD=2DC, ∵AD 平分∠BAC ∴∠BAD=∠DAC 在△ABD 中, 在△ADC 中, ∴ = = = = .…6 分 = . ,∴sin∠B= ,∴sin∠C= ;

(2)由(1)知,BD=2DC=2×

过 D 作 DM⊥AB 于 M,作 DN⊥AC 于 N, ∵AD 平分∠BAC, ∴DM=DN,

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=

=2,

∴AB=2AC, 令 AC=x,则 AB=2x, ∵∠BAD=∠DAC, ∴cos∠BAD=cos∠DAC, ∴由余弦定理可得: ∴x=1, ∴AC=1, ∴BD 的长为 ,AC 的长为 1. = ,

23.已知 a,b,c 分别是△ABC 内角 A,B,C 的对边,sin2B=2sinAsinC. (Ⅰ)若 a=b,求 cosB; (Ⅱ)设 B=90°,且 a= ,求△ABC 的面积.

【解答】解: (I)∵sin2B=2sinAsinC, 由正弦定理可得: 代入可得(bk)2=2ak?ck, ∴b2=2ac, ∵a=b,∴a=2c, 由余弦定理可得:cosB= (II)由(I)可得:b2=2ac, ∵B=90°,且 a= ,
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>0,

=

= .

∴a2+c2=b2=2ac,解得 a=c= ∴S△ABC= =1.



24.△ABC 中,D 是 BC 上的点,AD 平分∠BAC,BD=2DC (Ⅰ) 求 .

(Ⅱ) 若∠BAC=60°,求∠B. 【解答】解: (Ⅰ)如图, 由正弦定理得: , ∵AD 平分∠BAC,BD=2DC, ∴ ;

(Ⅱ)∵∠C=180°﹣(∠BAC+∠B) ,∠BAC=60°, ∴ 由(Ⅰ)知 2sin∠B=sin∠C, ∴tan∠B= ,即∠B=30°. ,

25.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 a﹣c= sinC, (Ⅰ)求 cosA 的值; (Ⅱ)求 cos(2A﹣ )的值. sinC,利用正弦定理化简得:b= c,

b,sinB=

【解答】解: (Ⅰ)将 sinB= 代入 a﹣c=

b,得:a﹣c=c,即 a=2c,

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∴cosA= (Ⅱ)∵cosA= ∴sinA=

=

=



,A 为三角形内角, = , , + × = .

∴cos2A=2cos2A﹣1=﹣ ,sin2A=2sinAcosA= 则 cos(2A﹣ )=cos2Acos +sin2Asin

=﹣ ×

26.△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 a=3,cosA= . (Ⅰ)求 b 的值; (Ⅱ)求△ABC 的面积. 【解答】解: (Ⅰ)∵cosA= ∴sinA= ∵B=A+ . )=cosA= = × , =3 . , = , ,

,B=A+

∴sinB=sin(A+ 由正弦定理知 ∴b= ?sinB=

(Ⅱ)∵sinB= ∴cosB=﹣

,B=A+ =﹣ ,



sinC=sin(π﹣A﹣B)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB= , ∴S= a?b?sinC= ×3×3 × = .

×(﹣

)+

×

=

第 21 页(共 24 页)

27.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c. (1)若 sin(A+ )=2cosA,求 A 的值.

(2)若 cosA= ,b=3c,求 sinC 的值. 【解答】解: (1)因为 所以 sinA= , , ,

所以 tanA= 所以 A=60° (2)由

及 a2=b2+c2﹣2bccosA 得 a2=b2﹣c2 故△ABC 是直角三角形且 B= 所以 sinC=cosA=

28.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边是 a,b,c,已知 3acosA=ccosB+bcosC (1)求 cosA 的值 (2)若 a=1,cosB+cosC= ,求边 c 的值.

【解答】解: (1)由余弦定理可知 2accosB=a2+c2﹣b2;2abcosc=a2+b2﹣c2; 代入 3acosA=ccosB+bcosC; 得 cosA= ; (2)∵cosA= ∴sinA= cosB=﹣cos(A+C)=﹣cosAcosC+sinAsinC=﹣ cosC+ 又已知 cosB+cosC= cosC+ sinC= 代入 ③ sinC ③

,与 cos2C+sin2C=1 联立

解得 sinC=
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已知 a=1 正弦定理:c=

=

=

29.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 bsinA= (1)求角 B 的大小; (2)若 b=3,sinC=2sinA,分别求 a 和 c 的值. 【解答】解: (1)∵bsinA= ∵sinA≠0,∴sinB= B∈(0,π) , 可知:cosB≠0,否则矛盾. ∴tanB= ,∴B= . cosB, a?cosB,由正弦定理可得:sinBsinA=

a?cosB.

sinAcosB,

(2)∵sinC=2sinA,∴c=2a, 由余弦定理可得:b2=a2+c2﹣2accosB, ∴9=a2+c2﹣ac, 把 c=2a 代入上式化为:a2=3,解得 a= ∴ . ,

30.在△ABC 中,a=3,b=2 (Ⅰ)求 cosA 的值; (Ⅱ)求 c 的值.

,∠B=2∠A.

【解答】解: (Ⅰ)由条件在△ABC 中,a=3, 利用正弦定理可得 解得 cosA= . ,即 =

,∠B=2∠A, .

(Ⅱ) 由余弦定理可得 a2=b2+c2﹣2bc?cosA, 即 9= 即 c2﹣8c+15=0. 解方程求得 c=5,或 c=3.
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+c2﹣2×2

×c×



当 c=3 时,此时 a=c=3,根据∠B=2∠A,可得 B=90°,A=C=45°, △ABC 是等腰直角三角形,但此时不满足 a2+c2=b2,故舍去. 当 c=5 时,求得 cosB= = ,cosA= = ,

∴cos2A=2cos2A﹣1= =cosB,∴B=2A,满足条件. 综上,c=5.

第 24 页(共 24 页)


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