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8-2(2),3,5,6 感生电动势 自感 互感 磁能 电磁场


课前 Ex1:

? 如图,等边?金属框,边长l,放在均匀 B 中,ab边//B, 当?绕ab边以匀角速度?转动时,则 ? 3 B ?Bl 2 ?
bc边的电动势为 ca边的电动势为
8 3 ? ?Bl 2 8

a l

l o
l c

金属框的总电动势为

0

(规定电动势沿abca绕为正值)

b

? bc ? ? ca ? ? co

1 3 ? 2 ? ?B( l sin 60 ) ? ?Bl 2 2 8

? Ex2、长直电流I与矩形线圈共面,今使线圈向右以速度 v
匀速直线运动. 则

1 ( ? ) (1) 线圈在图示位置时电压表的读数为_______________. 2π a a ? b M (2) 电压表的正极端为_______ . B C I V :内阻无穷大
B

?0 Ilv 1

C

? MC
A a

l

? AB
A

M

N

? DN
D

M V N D
b

? v

VM ? ? MC ? ? AB ? ? DN ? VN (基尔霍夫定律) ?VM ? VN ? ? AB ? ? MC ? ? DN ? ? AB ? ? CD ? 0

8-2 感生电动势(书P304)
实验表明,当磁场变化时,静止导体中也会出 现感应电动势------感生电动势 一、产生感生电动势的非静电力不是洛仑兹力, 而是感生电场力

?

? Ek 方向与感应电流Ii一致,由 Lenz 定律判定

? 变化磁场在其周围空间激发涡旋电场或感生电场 Ek

Maxwell假设:(书P305)

二 、感生电动势

? Ek由变化磁场产生,非保守 ? ? 场 ? i ? ? Ek ? dl
L

由Faraday电磁感应定律:

? i ? ? ddΦ t

? ? ? d ? ? dB ? ?? i ? ? Ek ? dl ? ? ? B ? dS ? ? ? ? dS L S S dt dt 果 因

参:书P328问题8-25

静电场(库仑场) 产生 根源

感生电场(涡旋电场) 变化磁场
? ? ? ?B ? ?L Ek ? dl ? ??S ?t ? dS ≠0 果


静止带电体
? ? ? E ? dl ? 0
l

环流

是否保守场 电势概念 电场线 特点

是 有
起自正电荷, 止于负电荷, 不闭合

否 无

闭合曲线

? ? d? Ex:在感应电场中,电磁感应定律可写成 ? E K ? d l ? ? dt L

? 式中 E K 为感应电场的电场强度.此式表明: ? (A) 闭合曲线L上 E 处处相等. K (B) 感应电场是保守力场. (C) 感应电场的电场强度线不是闭合曲线. (D) 在感应电场中不能像对静电场那样引入电势的概念.

[D] Ex: 书P329 习题 8-5 (A), (B)

计算感生电动势

步骤: 1、方向:由 Lenz 定律判定(顺时针或逆时针)
2、大小:

先求出穿过闭合线圈的总磁通量?

? ? Φ ? ? B ? dS
S

? ? B为dS处合磁场

再求 ? i

dΦ ?i ? ? dt

例1 真空中长直电流
I ? I 0 e ? kt , ( I 0 ? 0, k ? 0)

h
I

l2

共面矩形线圈, 已知l1,l2,h,

求线圈内的感生电动势.

? h ?l2 ? I ? 0 解: Φ ? B ? dS ? ?S ? 2πx l1dx h
dΦ ?i ? ? dt
h ? l2 ? ln 2π h

l1
O

? 0 Il1

x

x

dx

h ? l2 dI ?0l1 I 0 k ? kt h ? l2 ? ?( ln ) ? e ln 2π h dt 2π h

?0l1

感生电动势方向: 顺时针 原I 原B ? 感应电流的磁场方向 ? ? ?

例2 二长直电流I, dI/dt =k > 0,正方形线圈边长a,求 线圈内的感应电动势,并判断感应电流方向. I I

a

a

a

a 解:由LenZ定律知, 感应电流方向:顺时针

dΦ 线圈内的感应电动势 ? i ? ? dt ? ? ? ? Φ ? ? B ? dS B为dS处合磁场 S

O

I
I a

? dS处合磁场 B ?
S

建如图坐标系,任取面元dS= a· dx

x

?0 I
2π( x ? a)
S

?

?0 I
2πx

a

?

? ? ?Φ ? ? B ? dS ? ? BdS

dx
a

a

4 ? ( ? ) ? adx ? ln 2 a 2π( x ? a) 2πx 2π 3

?

3a

?0 I

?0 I

?0 Ia

x

?0 ak 4 4 dI ? ? i ? ?( ln ) ? ? ? ln 2π 3 dt 2π 3

?0 a

涡流(书P308):
大块导体处在变化的磁场中时, 在大块导体中也会 激起旋涡状的感应电流, 称为涡流.

作业: 书P329习题 8-7

书P331习题 8-13

8-3 自感和互感 (P309)
一、自感 若回路几何形状、尺寸不变, 周围无铁磁质 ? ? Φ ? ? B ? dS B ? I ?Φ ?
S

I Φ

? B

I

Φ ? LI

L:自感(系数 ), 与电流无关 N 匝线圈: 磁链

单位:亨利(H)

Ψ ? NΦ

Ψ ? LI

Ψ L? I

自感电动势: L ? ? dΨ ? ? d( LI ) ? ? L dI ? dt dt dt Ex:书P328 问题8-19, 8-21 书P329 习题 8-5 (C), (D)

例 计算长直螺线管的自感(P310) 已知:匝数N, 横截面积S, 长度l , 磁导率? 解:设长直螺线管通有电流 I
N H ? nI ? I l

I μ S

?NI Ψ ? N ? B ? dS ? NBS ? N S S l L? 2 2 ?N Ψ ?N L? ? S ? 2 lS? ?n 2V

?N B ? ?H ? I l ? ?

l

?n V
2

I l l 变小 讨论:当其它条件不变,螺线管管长变长时, L______. N n? ?, V ? Sl ? l

二、互感
二邻近载流回路1、2 ? I1产生的 B1穿过I2 的磁通量

? 21

? 12

I1
1

? 21 ? B1 ? I1

? I2产生的 B2穿过I1 的磁通量
Φ12 ? M12 I 2
互感电动势: 线圈2中: 21 ? ? dΦ21 ? ? M ? dt 线圈1中:? 12 ? ? dΦ12 ? ? M dt

Φ21 ? M 21I1

I2
2

互感(系数)
M 21 ? M12 ? M

dI1 dt
dI 2 dt

A

输出端

输出端 输入端

B

音频信号 发生器

1

2

初级线圈 次级线圈

音频功率 放大器

B的外 接喇叭

Ex: 面积为S和2 S的两圆线圈1、2如图放置,通有相

同的电流I.线圈1的电流所产生的通过线圈2的磁通
用?21表示,线圈2的电流所产生的通过线圈1的磁通 用?12表示,则?21和?12的大小关系为: (A) ?21 =2?12. (C) ?21 =?12. (B) ?21 >?12. (D) ?21 = (1/2)?12.
I S 1 I 2

Φ21 ? MI1 Φ12 ? MI 2
[C]

2S

例 书P314 例4 已知l1,l2,h, 求长直导线与线圈的互感 解: 设长直导线带电流I1 ,则

h
B

l2
C

? h ? l2 ? I ? Φ21 ? ? B1 ? dS ? ? 0 1 l1dx S 2πx h
?

I1的磁场穿过ABCD的磁通量为

I1

l1
O

A

? 0 I1l1

h ? l2 ln 2π h

x

dx

D

x

Φ21 ?0l1 h ? l2 M? ? ln 2π h I1
M只与二回路几何形状、相对位置及周围磁介质有关.

Ex: 小线圈半径a,匝数N1,大线圈半 径R,匝数N2,通电流I=b+kt, b, k 均为 正数. 设a内各点磁场均匀,求: (1)t 时刻小线圈中的感生电动势; (2)两线圈的互感.
解(1) 小线圈中的感生电动势方向: 顺时针 大线圈在小线圈处产生的磁场 B ? N 2 ? 0 I 穿过小线圈的总磁通量 ? ? ?0 Iπa 2 Ψ ? N1 ? B ? dS ? N1 B ? S小 ? N1 N 2 S小 2R 2 dΨ ?0 πa dI ?0 πa 2 k ? ?? ? ? N1 N 2 ? ? N1 N 2
2R

R
a

I

2R

dt 2 R dt ?0 πa 2 Ψ (2) M ? ? N1 N 2 2R I

静电场
Gauss定理 环路定理 介质中
q ? ? ? i E ? dS ? i ?S ?0 ? ? ? E ? dl ? 0
l

稳恒磁场
? ? ? B ? dS ? 0
S

? ? ? B ? dl ? ?0 ? I i
l i

电容率 矢量
S

? ? 电位移 D ? ? 0? r E
? ? ? D ? dS ? ? qi
i

? ? ? 0? r

磁导率 ? ? ? 0 ? r
? 磁场强度 H ? ? B

? ? ? H ? dl ? ? I i
l i

?0?r

贮存能量 能量密度

1 We ? CU 2 2 1 1 we ? DE ? ?E 2 2 2

Wm ? ?
wm ? ?

8-5 ?磁场的能量及其密度 (P316)
一 、自感磁能 Wm
1 ? LI 2 2

二、磁能密度 wm
螺线管为例:

I

L

L ? ?n V
2

H ? nI

B ? ?nI

1 Wm ? LI 2 ? 1 ?n 2V ( H )2 ? 1 ?H 2V 2 2 n 2
Wm 1 1 2 wm ? ? ?H ? BH V 2 2

注: (1)有磁场的地方就有磁场能量; (2)磁能密度wm是位置的单值函数.

Ex:
求:中点 P 处的磁能密度 解: I

1 B wm ? BH ? 2 2?0
B?

2

P ?
2a I

?0 I
πa

?0 I 2 1 ? wm ? ( ) 2 ? 0 πa

8-6 位移电流 电磁场基本方程的积分形式
1820 年 Oersted 电 产生 磁

1831 年 Faraday 磁 产生 1865 年Maxwell 两个假设 涡旋电场Ek ? ? ? ?B ? ?l Ek ? dl ? ??S ?t ? dS 果 因



历史性

位移电流Id (为变化的电场)
? ? ? ?D ? ?L H D ? dl ? ?S ?t ? dS ? I D 果 因

注: 1. 传导电流Ic : 由电荷定向移动形成 位移电流Id : 由变化的电场产生 全电流

2. 位移电流也会在周围空间产生磁场(涡旋磁场), 其磁效应服从安培环路定理. 3. 在真空中位移电流无热效应.

Ex: 判断下列说法哪一个正确?
(A)位移电流由电荷作定向运动而产生. (B)位移电流只能在导体中通过.

(C)位移电流的大小与变化的电场有关.
(D)位移电流是虚拟的电流,不能激发磁场.
? ? ? ?D ? ?L H D ? dl ? ?S ?t ? dS ? I D

[C]

真空中麦克斯韦方程组(积分形式) P324

? ? ? ?B ? ?LE ? dl ? ??S ?t ? dS ? ? ? B ? dS ? 0
i ?1

? ? n ? D ? dS ? ? qi
S

理解

S

? ? n ? H ? dl ? ? I i ? I D
L i ?1

注: 等式右边是原因, 左边是结果

Ex、真空中Maxwell 方程组(积分形式): ?

? ? n ? D ? dS ? ? qi (1)

? ? ? B ? dS ? 0 (3)
S

S

i ?1

? ? ?B ? ?LE ? dl ? ??S ?t ? dS (2) ? ? n (4) ? H ? dl ? ? I i ? I D
L i ?1

判断下列结论包含于或等效于哪一个Maxwell方程式: (1)位移电流一定包含有磁场; (4) (2)电荷总包含有电场; (1) (3)变化的磁场一定伴随有电场. 注:公式右边为原因,左边为结果. (2)

静电场
Gauss定理 环路定理 介质中
q ? ? ? i E ? dS ? i ?S ?0 ? ? ? E ? dl ? 0
l

稳恒磁场
? ? ? B ? dS ? 0
S

? ? ? B ? dl ? ?0 ? I i
l i

电容率 矢量
S

? ? 电位移 D ? ? 0? r E
? ? ? D ? dS ? ? qi
i

? ? ? 0? r

磁导率 ? ? ? 0 ? r
? 磁场强度 H ? ? B

? ? ? H ? dl ? ? I i
l i

?0?r

贮存能量 能量密度

1 We ? CU 2 2 1 1 we ? DE ? ?E 2 2 2

Wm ? 1 LI 2 ?
2

1 1 wm ? ? BH ? ?H 2 2 2

作业:
P333: 习题 8-23


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