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2017-2018版高中数学第二单元圆锥曲线与方程2.1.2椭圆的几何性质(二)教学案新人教B版选修1


2.1.2 学习目标 椭圆的几何性质(二) 1.进一步巩固椭圆的几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识. 知识点一 点与椭圆的位置关系 思考 1 判断点 P(1,2)与椭圆 +y =1 的位置关系. 4 x2 2 思考 2 类比点与圆的位置关系的判定,你能给出点 P(x0,y0)与椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的位 置关系的判定吗? x2 y2 a b 梳理 设 P(x0,y0),椭圆 2+ 2=1(a>b>0),则点 P 与椭圆的位置关系如下表所示: x2 y2 a b 位置关系 满足条件 P 在椭圆外 P 在椭圆上 P 在椭圆内 x2 y2 0 0 + >1 a2 b2 x2 y2 0 0 + =1 a2 b2 x2 y2 0 0 + <1 a2 b2 知识点二 直线与椭圆的位置关系 思考 1 直线与椭圆有几种位置关系? 1 思考 2 如何判断直线 y=2x+1 与椭圆 4x +y =4 的位置关系? 2 2 x2 y2 梳理 直线 y=kx+m 与椭圆 2+ 2=1 的位置关系的判定 a b y=kx+m, ? ? 2 2 联立?x y 2+ 2=1, ? ?a b 消去 y 得关于 x 的一元二次方程. 位置关系 相交 相切 相离 解的个数 两解 一解 无解 Δ 的取值 Δ ________0 Δ ________0 Δ ________0 知识点三 直线与椭圆的相交弦 思考 若直线与椭圆相交,如何求相交弦弦长? 梳 理 +k 2 弦 长 公 式 : (1)|AB| = x1-x2 2 + y1-y2 2 = 1+k |x1 - x2| = 2 x1+x2 k 2 -4x1x2]; (2)|AB|= = + 1 1 1+ 2|y1-y2| k2 y1+y2 2 -4y1y2] (直线与椭圆的交点 A(x1,y1),B(x2,y2),k 为直线的斜率). 其中,x1+x2,x1x2 或 y1+y2,y1y2 的值,可通过由直线方程与椭圆方程联立,消去 y 或 x 后 得到关于 x 或 y 的一元二次方程得到. 类型一 直线与椭圆的位置关系 2 命题角度 1 直线与椭圆位置关系判断 例 1 直线 y=kx-k+1 与椭圆 + =1 的位置关系是( 2 3 A.相交 C.相离 B.相切 D.不确定 x2 y2 ) 反思与感悟 直线与椭圆的位置关系判别方法(代数法) 联立直线与椭圆的方程,消元得到一元二次方程: (1)Δ >0?直线与椭圆相交?有两个公共点. (2)Δ =0?直线与椭圆相切?有且只有一个公共点. (3)Δ <0?直线与椭圆相离?无公共点. 跟踪训练 1 在平面直角坐标系 xOy 中,经过点(0, 2)且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 +y = 2 1 有两个不同的交点 P 和 Q.求 k 的取值范围. x2 2 命题角度 2 距离的最值问题 例 2 在椭圆 + =1 上求一点 P,使它到直线 l:3x-2y-16=0 的距离最短,并求出最短 4 7 距离. x2 y2 反思与感悟 本题通过对图形的观察分析,将求最短距离问题转化为直线与椭圆的位置关系 问题.解此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立,消去 y 或 x 得到关于 x 或 y 的一 元二次方程,则(1)直线与椭圆相交?Δ >0;(2)直线与椭圆相切?Δ =0;(3)直线与椭圆相 离?Δ <0,所以判定直线与椭圆的位置关系,方程及其判别式是最基本的

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