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2017-2018版高中数学第二单元圆锥曲线与方程2.1.2椭圆的几何性质(二)教学案新人教B版选修1_1

2.1.2 学习目标 椭圆的几何性质(二) 1.进一步巩固椭圆的几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识. 知识点一 点与椭圆的位置关系 思考 1 判断点 P(1,2)与椭圆 +y =1 的位置关系. 4 x2 2 思考 2 类比点与圆的位置关系的判定,你能给出点 P(x0,y0)与椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的位 置关系的判定吗? x2 y2 a b 梳理 设 P(x0,y0),椭圆 2+ 2=1(a>b>0),则点 P 与椭圆的位置关系如下表所示: x2 y2 a b 位置关系 满足条件 P 在椭圆外 P 在椭圆上 P 在椭圆内 x2 y2 0 0 + >1 a2 b2 x2 y2 0 0 + =1 a2 b2 x2 y2 0 0 + <1 a2 b2 知识点二 直线与椭圆的位置关系 思考 1 直线与椭圆有几种位置关系? 1 思考 2 如何判断直线 y=2x+1 与椭圆 4x +y =4 的位置关系? 2 2 x2 y2 梳理 直线 y=kx+m 与椭圆 2+ 2=1 的位置关系的判定 a b y=kx+m, ? ? 2 2 联立?x y 2+ 2=1, ? ?a b 消去 y 得关于 x 的一元二次方程. 位置关系 相交 相切 相离 解的个数 两解 一解 无解 Δ 的取值 Δ ________0 Δ ________0 Δ ________0 知识点三 直线与椭圆的相交弦 思考 若直线与椭圆相交,如何求相交弦弦长? 梳 理 +k 2 弦 长 公 式 : (1)|AB| = x1-x2 2 + y1-y2 2 = 1+k |x1 - x2| = 2 x1+x2 k 2 -4x1x2]; (2)|AB|= = + 1 1 1+ 2|y1-y2| k2 y1+y2 2 -4y1y2] (直线与椭圆的交点 A(x1,y1),B(x2,y2),k 为直线的斜率). 其中,x1+x2,x1x2 或 y1+y2,y1y2 的值,可通过由直线方程与椭圆方程联立,消去 y 或 x 后 得到关于 x 或 y 的一元二次方程得到. 类型一 直线与椭圆的位置关系 2 命题角度 1 直线与椭圆位置关系判断 例 1 直线 y=kx-k+1 与椭圆 + =1 的位置关系是( 2 3 A.相交 C.相离 B.相切 D.不确定 x2 y2 ) 反思与感悟 直线与椭圆的位置关系判别方法(代数法) 联立直线与椭圆的方程,消元得到一元二次方程: (1)Δ >0?直线与椭圆相交?有两个公共点. (2)Δ =0?直线与椭圆相切?有且只有一个公共点. (3)Δ <0?直线与椭圆相离?无公共点. 跟踪训练 1 在平面直角坐标系 xOy 中,经过点(0, 2)且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 +y = 2 1 有两个不同的交点 P 和 Q.求 k 的取值范围. x2 2 命题角度 2 距离的最值问题 例 2 在椭圆 + =1 上求一点 P,使它到直线 l:3x-2y-16=0 的距离最短,并求出最短 4 7 距离. x2 y2 反思与感悟 本题通过对图形的观察分析,将求最短距离问题转化为直线与椭圆的位置关系 问题.解此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立,消去 y 或 x 得到关于 x 或 y 的一 元二次方程,则(1)直线与椭圆相交?Δ >0;(2)直线与椭圆相切?Δ =0;(3)直线与椭圆相 离?Δ <0,所以判定直线与椭圆的位置关系,方程及其判别式是最基本的工具. 跟踪训练 2 已知椭圆 + =1,直线 l:4x-5y+40=0.椭圆上是否存在一点,它到直线 25 9 x2 y2 l 的距离最小?最小距离是多少? 3 类型二 弦长与中点弦问题 例 3 已知椭圆 + =1 和点 P(4,2),直线 l 经过点 P 且与椭圆交于 A、B 两点. 36 9 1 (1)当直线 l 的斜率为 时,求线段 AB 的长度; 2 (2)当 P 点恰好为线段 AB 的中点时,求 l 的方程. x2 y2 反思与感悟 处理直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过解直线与椭圆构成的方程.利用 根与系数的关系或中点坐标公式解决,涉及弦的中点,还可使用点差法:设出弦的两端点坐 标,代入椭圆方程,两式相减即得弦的中点与斜率的关系. 跟踪训练 3 已知椭圆 ax +by =1(a>0,b>0 且 a≠b)与直线 x+y-1=0 相交于 A,B 两点, 2 2 C 是 AB 的中点,若|AB|=2 2,OC 的斜率为 2 ,求椭圆的方程. 2 类型三 椭圆中的最值(或范围)问题 例 4 已知椭圆 4x +y =1 及直线 y=x+m. (1)当直线和椭圆有公共点时,求实数 m 的取值范围; (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程. 引申探究 在例 4 中,设直线与椭圆相交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,求△AOB 面积的最大值及△AOB 面积最大时的直线方程. 2 2 反思与感悟 解析几何中的综合性问题很多,而且可与很多知识联系在一起出题,例如不等 式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等.解决这类问题需要正确地应用转化思想、 函数与方程思想和数形结合思想.其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或 函数关系式,这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件. 4 跟踪训练 4 若点 O 和点 F 分别为椭圆 + =1 的中心和左焦点, 点 P 为椭圆上的任意一点, 4 3 → → 则OP·FP的最大值为________. x2 y2 1.点 A(a,1)在椭圆 + =1 的内部,则 a 的取值范围是( 4 2 A.- 2<a< 2 C.-2<a<2 2 x2 y2 ) B.a<- 2或 a> 2 D.-1<a<1 2.若直线 y=x+ 6与椭圆 x + 2=1(m>0 且 m≠1)只有一

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