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浙江省台山市2013-2014学年度高二第一学期期末学业水平调研测试数学(文)试卷


台州市 2013-2014 学年度第一学期期末学业水平调研测试 高二数学(文科)试卷 (必修 5、选修 1-1 的第 1、2 章)
说明:1.本试卷共 4 页,考试时间为 120 分钟,满分 150 分; 2.各题均在答题卷指定位置上作答,否则无效;考试结束时,只交回答题卷.

第Ⅰ卷(选择题部分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,每小题给出的 4 个选项中只有一 个是正确的,请将所选选项的字母填写在答题卷相应的位置上) 1.命题“若 a ? b ,则 a ? 1 ? b ? 1 ”的否命题是 A.若 a ? b ,则 a ? 1 ? b ? 1 C.若 a ? b ,则 a ? 1 ? b ? 1 2.双曲线 B.若 a ? b ,则 a ? 1 ? b ? 1 D.若 a ? b ,则 a ? 1 ? b ? 1

x2 y2 ? ? 1 的渐近线方程是 25 4

2 A. y ? ? x 5

5 B. y ? ? x 2

C. y ? ?

4 x 25

D. y ? ?

25 x 4

3.下列是全称命题并且是真命题的是 A. ?x ? R , x 2 ? 0 C. ?x ? Q , x 2 ? Q B. ?x , y ? R , x 2 ? y 2 ? 0
2 ?1 D. ?x0 ? Z , x0

4.如果 a ? b ? 0 ,那么下面一定成立的是 A. a ? b ? 0 B. ac ? bc C.
1 1 ? a b

D. a 2 ? b 2

5.设 p : ? 1 ? x ? 3 , q : x ? 5 ,则 ?p 是 q 的 A.充分不必要条件 C.充要条件 6.若方程 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则实数 k 的取值范围是 k ?2 5?k
·1 ·

A. 2 ? k ? 5

B. k ? 5

C. k ? 2 或 k ? 5

D.以上答案均不对

7.若实数 a , b 满足 a ? b ? 2 ,则 3a ? 3b 的最小值是 A.18 B.6 C. 2 3 D. 2 4 3

8.已知抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F ,该抛物线上的一点 A 到 y 轴的距离为 3,则 AF ? A.4 B.5 C.6 D.7

9.在等差数列 {a n } 中,若 a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? 450 ,则数列 {a n } 的前 9 项的和为 A.180 10. 如图, 椭圆 B.405 C.450 D.810

x2 y2 左、右焦点分别是 F1 , ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右顶点分别是 A ,B , a2 b2

F2 ,若 AF1 , F1 F2 , F1 B 成等比数列,则此椭圆的离心率为

A.

1 4

B.

1 2

C.

5 5

D. 5 ? 2

y

A

F1

O

F2

B

x

第Ⅱ卷(非选择题部分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请把下列各题的正确答案填写在 答题卷相应的位置上) 11.命题: ?x ? N , x 2 ? x 的否定是 .

12.已知 a , b , c 分别是 ?ABC 的三个内角 A , B , C 所对的边,若 a ? 3 , b ? 2 ,
B ? 45 0 ,则 A ?



13.一个数列,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和 数列,这个常数叫做该数列的公和。已知数列 {a n } 是等和数列,且 a1 ? 2 ,公和为 5, 那么这个数列的前 21 项和 S 21 ? .
·2 ·

14.椭圆 4 x 2 ? 9 y 2 ? 144 内有一点 P(3,2) ,过点 P 的弦恰好以 P 为中点,那么这条弦所 在直线的斜率为 ,直线方程为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步 骤. 15.(本小题满分 12 分) 已知 a , b , c 分别是 ?ABC 的三个内角 A , B , C 所对的边,若 a ? 3 3 , c ? 2 ,
B ? 150 0 ,求边 b 和 ?ABC 的面积.

16. (本小题满分 12 分) 已知等比数列 {a n } 中, a1 ? 2 , a 4 ? 16 . (1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)若 a3 ,a5 分别为等差数列 {bn } 的第 3 项和第 5 项, 试求数列 {bn } 的通项公式及前

n 项和 S n .

17. (本小题满分 14 分) 已知不等式 ax2 ? 3x ? 2 ? 0 的解集为 A ? {x 1 ? x ? b} . (1)求 a , b 的值; (2)求函数 f ( x) ? (2a ? b) x ?
9 ( x ? A) 的最小值. ( a ? b) x

·3 ·

18. (本小题满分 14 分) 某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机,由于这两种产品的市场需 求量非常大,有多少就能销售多少,因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力)确定 产品的月供应量,以使得总利润达到最大。已知对这两种产品有直接限制的因素是资金 和劳动力,经调查,得到关于这两种产品的有关数据如下表: 资 金 成 本 劳动力(工资) 每台产品利润 每台单位产品所需资金(百元) 空调机 30 5 6 洗衣机 20 10 8 月资金供应量 (百元) 300 110

试问:怎样确定两种货物的月供应量,才能使总利润最大?最大利润是多少?

19. (本小题满分 14 分)
1 已知顶点是坐标原点,对称轴是 x 轴的抛物线经过点 A( ,? 2 ) . 2

(1)求抛物线的标准方程; (2)直线 l 过定点 P(?2,1) ,斜率为 k ,当 k 为何值时,直线与抛物线有公共点?

20. (本小题满分 14 分) 设正数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,且 2 S n ? a n ? 1 . (1)求数列 {a n } 的首项 a1 ; (2)求数列 {a n } 的通项公式; (3)设 bn ?
1 m , Tn 是数列 {bn } 的前 n 项和,求使得 Tn ? 对所有 n ? N * 都成立 a n a n ?1 18
·4 ·

的最小正整数 m .

2013-2014 学年度第一学期期末学业水平调研测试 高二数学(文科)参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) DACDB ABADC

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 11. ?x ? N , x 2 ? x 14. ? 12. 60 0 或 120 0 13.52

2 , 2 x ? 3 y ? 12 ? 0 (只对一个得 3 分) 3

三、解答题: 15.解:在 ?ABC 中,由余弦定理得
b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B
? (3 3 ) 2 ? 2 2 ? 2 ? 3 3 ? 2 ? cos150 0

???3 分

? 49

∴b ? 7 ∴ ?ABC 的面积 S ?ABC ?
1 ac sin B 2 1 ? ? 3 3 ? 2 ? sin150 0 2 3 ? 3 2

???6 分 ???9 分

???12 分

16.解:(1)设等比数列 {a n } 的公比为 q 由 a 4 ? a1 q 3 ,得 16 ? 2q 3 解得 q ? 2 ???3 分

·5 ·

∴数列 {a n } 的通项公式 a n ? a1 q n ?1 ,即 a n ? 2 n (2)由(1)得 a3 ? 8 , a5 ? 32 ,则 b3 ? 8 , b5 ? 32
?b3 ? b1 ? 2d 设等差数列 {bn } 的的公差为 d ,则有 ? ?b5 ? b1 ? 4d
?b1 ? 2d ? 8 ?b1 ? ?16 ∴? ,解得 ? ?d ? 12 ?b1 ? 4d ? 32

???5 分 ???6 分

???8 分 ???9 分 ???10 分

∴数列 {bn } 的通项公式 bn ? b1 ? (n ? 1)d ? 12 n ? 28 ∴数列 {bn } 的前 n 项和 S n ?
?
n(b1 ? bn ) 2

n(?16 ? 12 n ? 28) 2

? 6n 2 ? 22n

???12 分

17.解:(1)∵不等式 ax2 ? 3x ? 2 ? 0 的解集为 A ? {x 1 ? x ? b} ∴1 和 b 是方程 ax2 ? 3x ? 2 ? 0 的两根
?a ? 3 ? 2 ? 0 ∴? 2 ?ab ? 3b ? 2 ? 0

???2 分

解得 a ? 1 , b ? 2 (2)由(1)得 f ( x) ? 4 x ?
9 x

???7 分 ???9 分 ???11 分 ???12 分 ?14 分

? 2 36

=12 当且仅当 4 x ?

9 3 ,即 x ? ? A 时,函数 f ( x) 有最小值 12 x 2

18.解:设空调机、洗衣机的月供应量分别是 x , y 台,总利润是 z ,可得
?30 x ? 20 y ? 300 ?5 x ? 10 y ? 110 ? 线性约束条件为: ? ? x ? 0, x ? N ? ? y ? 0, y ? N
·6 ·

?3 x ? 2 y ? 30 ? x ? 2 y ? 22 ? ,即 ? ? x ? 0, x ? N ? ? y ? 0, y ? N

???4 分

目标函数为

z ? 6x ? 8 y

???5 分

作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域
y 15 11 M

0

10

22

x

??8 分
3 z 3 考虑 z ? 6 x ? 8 y ,将它变形为 y ? ? x ? ,这是斜率为 ? 、随 z 变化的一族 4 8 4 z z 平行直线, 是直线在 y 轴上的截距,当 取最大值时, z 的值最大,当然直线要与 8 8 z 可行域相交,由图可得,当直线经过可行域上的点 M 时,截距 最大,即 z 最 8

大.

???11 分
?3 x ? 2 y ? 30 ?x ? 4 解方程组 ? ,得 M 的坐标为 ? ? x ? 2 y ? 22 ?y ? 9

???12 分 ???13 分

∴ z max ? 6 ? 4 ? 8 ? 9 ? 96 (百元)

答:当月供应量为空调机 4 台,洗衣机 9 台时,可获最大利润 9600 元。 19.解:(1)依题意设抛物线的方程为 y 2 ? 2 px
1 1 把 A 点的坐标 ( ,? 2 ) 代入方程得 (? 2 ) 2 ? 2 p ? 2 2

???14 分 ???2 分

解得 p ? 2 ∴抛物线的标准方程 y 2 ? 4 x (2)直线 l 的方程为 y ? 1 ? k ( x ? 2) ,即 y ? kx ? 2 x ? 1
? y ? k x ? 2x ? 1 解联立方程组 ? 2 ,消去 y ,得 ? y ? 4x
·7 ·

???5 分 ???6 分 ???7 分

得 (kx ? 2 x ? 1) 2 ? 4 x ,化简得 ky2 ? 4 y ? 4(2k ? 1) ? 0 ①当 k ? 0 ,由①得 y ? 1 代入 y 2 ? 4 x ,得 x ?
1 这时直线与抛物线有一个公共点 ( ,1) 4
?k ? 0 ②当 k ? 0 ,依题意得 ? 2 ?? ? (?4) ? 4k ? 4(2k ? 1) ? 0

???9 分

1 4

???11 分

解得 ? 1 ? k ? 0 或 0 ? k ? 综合①②,当 ? 1 ? k ?

1 2

???13 分 ???14 分

1 时直线与抛物线有公共点 2

20.解:(1)当 n ? 1 时,由 2 S1 ? a1 ? 1且 S1 ? a1 ,解得 a1 ? 1 (2)由 2 S n ? a n ? 1 ,得 4S n ? (a n ? 1) 2 ∴ 4S n ?1 ? (a n ?1 ? 1) 2 ??② ??①

???2 分

②-①得: 4S n?1 ? 4S n ? (a n?1 ? 1) 2 ? (a n ? 1) 2 化简,得 (a n?1 ? a n ) ? (a n?1 ? a n ? 2) ? 0 又由 a n ? 0 ,得 an?1 ? an ? 0 ∴ an?1 ? an ? 2 ? 0 ,即 an?1 ? an ? 2 ∴数列 {a n } 是以 1 为首项,公差为 2 的等差数列 ∴ an ? a1 ? (n ? 1) ? 2 ,即 a n ? 2n ? 1 (3) bn ?
1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) a n a n ?1 (2n ? 1)( 2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

???4 分

???5 分 ???6 分 ???8 分 ???10 分

∴ Tn ? b1 ? b2 ? ?bn
1 1 1 1 1 1 ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1
·8 ·

1 1 (1 ? ? ) 2 2n ? 1 1 ???12 分 ? 2 m 1 m ∴要使 Tn ? 对所有 n ? N * 都成立,只需 ? ,即 m ? 9 18 2 18 ?

∴满足条件的最小正整数 m ? 9 .

???14 分

·9 ·


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