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2016届广东省深圳市高考数学一模试卷(理科)(解析版)


2016 年广东省深圳市高考数学一模试卷(理科)
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的 1.已知集合 A={x|y= },B={x|log2x≤1},则 A∩B=( )

A.{x|﹣3≤x≤1} B.{x|0<x≤1} C.{x|﹣3≤x≤2} D.{x|x≤2} 2.复数 z 满足 z?i=3+4i,则 z 在复平面内对应的点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知平面向量 、 满足| |=2,| |=1, 与 的夹角为 120°,且( + 则实数 λ 的值为( ) A.﹣7 B.﹣3 C.2 D.3

)⊥(2 ﹣ ) ,

4.若 x,y 满足约束条件

,则 z=x﹣y 的最小值为(



A.﹣3 B.1 C.﹣2 D.2 5.公差为 1 的等差数列{an}中,a1,a3,a6 成等比数列,则{an}的前 10 项和为( A.65 B.80 C.85 D.170 6.若函数 f(x)=2sin(2x+φ) (|φ|< 称轴方程是( A.x= ) C.x= D.x= ) )的图象过点(



,1) ,则该函数图象的一条对

B.x=

7. (x2+2) (x﹣ )6 的展开式中常数项为(

A.﹣40 B.﹣25 C.25 D.55 8.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图,则在该几何体 中,最长的棱的长度是( )

A.4 B.2 C.6 D.4 9.4 名同学参加 3 项不同的课外活动,若每名同学可自由选择参加其中的一项,则每项活 动至少有一名同学参加的概率为( )

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A.

B.

C.

D. AB=BC=CA= 的同一球面上, 点 S 到平面 ABC 的距离为 , ) ,

10. A、 B、 C 在半径为 点 S、

则点 S 与△ ABC 中心的距离为( A. B. C.1 D.

11.过点(0,2b)的直线 l 与双曲线 C:



=1(a,b>0)的一条斜率为正值的渐近

线平行,若双曲线 C 的右支上的点到直线 l 的距离恒大于 b,则双曲线 C 的离心率的取值范 围是( ) A. C. (1,2] B. (2,+∞) (1,2) D. ( 1, ] 2 12.函数 f(x)=lnx﹣ax +x 有两个零点,则实数 a 的取值范围是( ) A. (0,1) B. (﹣∞,1) C. (﹣∞, ) D. (0, )

二.填空题:本大题 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分 13.已知 f(x) ,g(x)分别是定义域为 R 的奇函数和偶函数,且 f(x)+g(x)=3x.则 f (1)的值为 . 14.公元 263 年左右,我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边形面 积可无限逼近圆的面积,并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点 后两位的近似值 3.14,这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程 序框图,则输出 n 的值为 . (参考数据:sin15°=0.2588,sin7.5°=0.1305)

15.过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F,且倾斜角为 若弦 AB 的垂直平分线经过点(0,2) ,则 p 等于 16.数列{an}满足 an= 围是 .
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的直线与抛物线交于 A,B 两点, .

(n≥2) ,若{an}为等比数列,则 a1 的取值范

三.解答题:本大题共 5 小题,满分 60 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.如图,在△ ABC 中,∠C=60°,D 是 BC 上一点,AB=31,BD=20,AD=21. (1)求 cos∠B 的值; (2)求 sin∠BAC 的值和边 BC 的长.

18.根据某水文观测点的历史统计数据,得到某河流水位 X(单位:米)的频率分布直方图 如图:将河流水位在以上 6 段的频率作为相应段的概率,并假设每年河流水位互不影响 (1)求未来三年,至多有 1 年河流水位 X∈[27,31)的概率(结果用分数表示) ; (2)该河流对沿河 A 企业影响如下:当 X∈[23,27)时,不会造成影响;当 X∈[27,31) 时,损失 10000 元;当 X∈[31,35)时,损失 60000 元,为减少损失,现有种应对方案: 方案一:防御 35 米的最高水位,需要工程费用 3800 元; 方案二:防御不超过 31 米的水位,需要工程费用 2000 元; 方案三:不采取措施; 试比较哪种方案较好,并请说理由.

19.如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,∠ABC=60°,PA⊥PB, PC=2. (1)求证:平面 PAB⊥平面 ABCD; (2)若 PA=PB,求二面角 A﹣PC﹣D 的余弦值.

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20.已知椭圆 E:

+

=1(a>b>0)的离心率为

,直线 x+y+

=0 与椭圆 E 仅有

一个公共点. (1)求椭圆 E 的方程; (2)直线 l 被圆 O:x2+y2=3 所截得的弦长为 3,且与椭圆 E 交于 A、B 两点,求△ ABO 面 积的最大值. 21.已知函数 f(x)=(x+1)ex 和函数 g(x)=(ex﹣a) (x﹣1)2(a>0) (e 为自然对数 的底数) . 1 ( )求函数 f(x)的单调区间; (2)判断函数 g(x)的极值点的个数,并说明理由; (3)若函数 g(x)存在极值为 2a2,求 a 的值. 选修 4-1:几何证明选讲 22.如图,在直角△ ABC 中,AB⊥BC,D 为 BC 边上异于 B、C 的一点,以 AB 为直径作 ⊙O,并分别交 AC,AD 于点 E,F. (Ⅰ)证明:C,E,F,D 四点共圆; (Ⅱ)若 D 为 BC 的中点,且 AF=3,FD=1,求 AE 的长.

选修 4-4:坐标系与参数方程选讲 23. 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知直线 l 的参数方程为 0<α<π) (t 为参数, ,

以原点 O 为极点, 以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 C 的极坐标方程为 ρ= (p>0) . (Ⅰ)写出直线 l 的极坐标方程和曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)若直线 l 与曲线 C 相交于 A,B 两点,求 + 的值.

选修 4-5:不等式选讲 24.已知函数 f(x)=|x+a|+|x﹣3|(a∈R) . a=1 f x x+8 ≥ (Ⅰ)当 时,求不等式 ( ) 的解集; (Ⅱ)若函数 f(x)的最小值为 5,求 a 的值.

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2016 年广东省深圳市高考数学一模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的 1.已知集合 A={x|y= A.{x|﹣3≤x≤1} B.{x|0<x≤1} },B={x|log2x≤1},则 A∩B=( C.{x|﹣3≤x≤2} D.{x|x≤2} )

【考点】交集及其运算. 【分析】求出 A 中 x 的范围确定出 A,求出 B 中不等式的解集确定出 B,找出两集合的交 集即可. 【解答】解:由 A 中 y= 解得:﹣3≤x≤1,即 A={x|﹣3≤x≤1}, 由 B 中不等式变形得:log2x≤1=log22, 解得:0<x≤2,即 B={x|0<x≤2}, 则 A∩B={x|0<x≤1}, 故选:B. 2.复数 z 满足 z?i=3+4i,则 z 在复平面内对应的点在( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ) ,得到(1﹣x) (x+3)≥0,即(x﹣1) (x+3)≤0,

【考点】复数的代数表示法及其几何意义;复数代数形式的乘除运算. 【分析】将 z= 化为:4﹣3i,从而求出所在的象限. =4﹣3i,

【解答】解:因为 z=

所以 z 在复平面内对应的点为(4,﹣3) ,在第四象限. D 故选: . 3.已知平面向量 、 满足| |=2,| |=1, 与 的夹角为 120°,且( + 则实数 λ 的值为( ) A.﹣7 B.﹣3 C.2 D.3 【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】求出 ,根据向量垂直得出( + =| || |cos120°=﹣1. 【解答】解: ∵( + )⊥(2 ﹣ ) , ∴( + )?(2 ﹣ )=0,即 2 )⊥(2 ﹣ ) ,

)?(2 ﹣ )=0,解方程得出 λ.

+(2λ﹣1)



=0.

∴8+1﹣2λ﹣λ=0,解得 λ=3. 故选:D.

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4.若 x,y 满足约束条件

,则 z=x﹣y 的最小值为(



A.﹣3 B.1

C.﹣2 D.2

【考点】简单线性规划. 【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,进行求最值即可.

【解答】解:由 z=x﹣y 得 y=x﹣z,作出不等式组约束条件

,对应的平面区

域如图(阴影部分) 平移直线 y=x﹣z,由图象可知当直线 y=x﹣z,过点 A 点, 由 ,可得 A(0,2)时,直线 y=x﹣z 的截距最大,此时 z 最小,

∴目标函数 z=x﹣y 的最小值是﹣2. 故选:C.

5.公差为 1 的等差数列{an}中,a1,a3,a6 成等比数列,则{an}的前 10 项和为( ) A.65 B.80 C.85 D.170 【考点】等差数列的前 n 项和. 【分析】由已知列式求得等差数列的首项,然后代入等差数列的前 n 项和公式得答案. 【解答】解:在公差为 1 的等差数列{an}中, 由 a1,a3,a6 成等比数列,得: ,即 a1=4. ∴ 故选:C. .

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6.若函数 f(x)=2sin(2x+φ) (|φ|< 称轴方程是( A.x= ) C.x=

)的图象过点(

,1) ,则该函数图象的一条对

B.x=

D.x=

【考点】正弦函数的图象. 【分析】 先求的 φ=﹣ , 可得函数的解析式, 再利用正弦函数的图象的对称性, 得出结论. )的图象过点( +φ∈(﹣ , =kπ+ ,1) , ) , ,

【解答】解:根据函数 f(x)=2sin(2x+φ) (|φ|< 可得 2sin( 可得 φ+ 求得 x= 故选:D. 7. (x2+2) (x﹣ )6 的展开式中常数项为( A.﹣40 B.﹣25 C.25 D.55 = + +φ)=1,即 sin( ,∴φ=﹣ +φ)= ,再根据

,f(x)=2sin(2x﹣

) ,令 2x﹣ ,

,k∈Z,故它的一条对称轴方程为 x=



【考点】二项式定理的应用. 【分析】 (x﹣ )6 的通项公式 Tr+1= 6) .令 6﹣2r=0 或﹣2,解得 r 即可得出.
6 【解答】 解: (x﹣ ) 的通项公式 Tr+1= r = (﹣1)

=(﹣1)r

x6﹣2r, (r=0,1,2,…,

x6﹣2r, 1, 2, …, (r=0,

6) . 令 6﹣2r=0 或﹣2,解得 r=3 或 4. ∴(x2+2) (x﹣ )6 的展开式中常数项= 故选:B. 8.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图,则在该几何体 中,最长的棱的长度是( ) +2 =15﹣2×20=﹣25.

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A.4

B.2

C.6

D.4

【考点】由三视图还原实物图. 【分析】根据几何体的三视图还原几何体形状,由题意解答. 【解答】解:由几何体的三视图得到几何体是以俯视图为底面的四棱锥,如图: 由网格可得 AD 最长为 故答案为: . = ;

9.4 名同学参加 3 项不同的课外活动,若每名同学可自由选择参加其中的一项,则每项活 动至少有一名同学参加的概率为( A. B. C. D. )

【考点】古典概型及其概率计算公式. 【分析】先求出基本事件总数 n,再求出每项活动至少有一名同学参加,包含的基本事件个 数,由此能求出每项活动至少有一名同学参加的概率. 【解答】解:∵4 名同学参加 3 项不同的课外活动,每名同学可自由选择参加其中的一项, ∴基本事件总数 n=34=81, 每项活动至少有一名同学参加,包含的基本事件个数 m= ∴每项活动至少有一名同学参加的概率 p= = 故选:A. . =36,

10. A、 B、 C 在半径为 点 S、

AB=BC=CA= 的同一球面上, 点 S 到平面 ABC 的距离为 , )



则点 S 与△ ABC 中心的距离为( A. B. C.1 D.

【考点】点、线、面间的距离计算.

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【分析】设△ ABC 的外接圆的圆心为 M,协 S 作 SD⊥平面 ABC,交 MC 于 D,连结 OD, OS, 过 S 作 MO 的垂线 SE, 交 MO 于点 E, 由题意求出 MC=MO=1, 从而得到 ME=SD= , 进而求出 MD=SE= ,由此能求出点 S 与△ ABC 中心的距离. 的同一球面上, ,

【解答】解:如图,∵点 S、A、B、C 在半径为 点 S 到平面 ABC 的距离为 ,AB=BC=CA=

设△ ABC 的外接圆的圆心为 M,过 S 作 SD⊥平面 ABC,交 MC 于 D, 连结 OD,OS,过 S 作 MO 的垂线 SE,交 MO 于点 E, ∴半径 r=MC= =1,∴MO= = =1,

∵SD⊥MC,ME⊥MC,∴MESD 是矩形,∴ME=SD= , ∴MD=SE= ∴SM= 故选:B. = = = = . ,

11.过点(0,2b)的直线 l 与双曲线 C:



=1(a,b>0)的一条斜率为正值的渐近

线平行,若双曲线 C 的右支上的点到直线 l 的距离恒大于 b,则双曲线 C 的离心率的取值范 围是( ) A. C. (1,2] B. (2,+∞) (1,2) D. ( 1, ] 【考点】双曲线的简单性质. 【分析】 利用双曲线 C 的右支上的点到直线 l 的距离恒大于 b, 直线 l 与 bx﹣ay=0 的距离恒 大于等于 b,建立不等式,即可求出双曲线 C 的离心率的取值范围. 【解答】解:由题意,直线 l 的方程为 y= x+2b,即 bx﹣ay+2ab=0. ∵双曲线 C 的右支上的点到直线 l 的距离恒大于 b, ∴直线 l 与 bx﹣ay=0 的距离恒大于等于 b,

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≥b,

∴3a2≥b2, ∴3a2≥c2﹣a2, ∴e≤2, ∵e>1, ∴1<e≤2. 故选:A. 12.函数 f(x)=lnx﹣ax2+x 有两个零点,则实数 a 的取值范围是( A. (0,1) B. (﹣∞,1) C. (﹣∞, ) D. (0, ) )

【考点】函数零点的判定定理. 【分析】函数 f(x)=lnx﹣ax2+x 有两个不同的零点,转化为函数 g(x)=lnx 和 h(x)=ax2 ﹣x 交点的问题; 讨论 a≤0 时不满足题意,a>0 时,求得(a)max=1,当 x→+∞时,a→0,从而可得答案. 或 a>0 时,作出两函数 g(x)=lnx,h(x)=ax2﹣x 的图象,由 >1 求出 a 的取值范围. 【解答】解:∵函数 f(x)=lnx﹣ax2+x 有两个不同的零点, 不妨令 g(x)=lnx,h(x)=ax2﹣x, 将零点问题转化为两个函数交点的问题; 又函数 h(x)=x(ax﹣1) , 当 a≤0 时,g(x)和 h(x)只有一个交点,不满足题意; 当 a>0 时,由 lnx﹣ax2+x=0,得 a= ;

令 r(x)=

,则 r′(x)=

=



当 0<x<1 时,r'(x)>0,r(x)是单调增函数, 当 x>1 时,r'(x)<0,r(x)是单调减函数,且 >0,∴0<a<1;

或当 a>0 时,作出两函数 g(x)=lnx,h(x)=ax2﹣x 的图象,如图所示;

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g(x)=lnx 交 x 轴于点(1,0) , h(x)=ax2﹣x 交 x 轴于点(0,0)和点( ,0) ; 要使方程有两个零点,应满足两函数有两个交点, 即 >1,解得 0<a<1; ∴a 的取值范围是(0,1) . 故选:A. 二.填空题:本大题 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分 13.已知 f(x) ,g(x)分别是定义域为 R 的奇函数和偶函数,且 f(x)+g(x)=3x.则 f (1)的值为 .

【考点】函数奇偶性的性质. 【分析】根据条件可以得到﹣f(x)+g(x)=3﹣x,该式联立 f(x)+g(x)=3x 便可解出 f (x) ,从而可求出 f(1)的值. 【解答】解:f(x)+g(x)=3x①; ∴f(﹣x)+g(﹣x)=3﹣x; 又 f(﹣x)=﹣f(x) ,g(﹣x)=g(x) ; ∴﹣f(x)+g(x)=3﹣x②; ①②联立得, ;





故答案为: .

14.公元 263 年左右,我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边形面 积可无限逼近圆的面积,并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点 后两位的近似值 3.14,这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程 序框图,则输出 n 的值为 24 . (参考数据:sin15°=0.2588,sin7.5°=0.1305)

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【考点】程序框图. 【分析】列出循环过程中 S 与 n 的数值,满足判断框的条件即可结束循环. 【解答】解:模拟执行程序,可得 n=6,S=3sin60°= ,

不满足条件 S≥3.10,n=12,S=6×sin30°=3, 不满足条件 S≥3.10,n=24,S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056, 满足条件 S≥3.10,退出循环,输出 n 的值为 24. 故答案为:24. 15.过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F,且倾斜角为 若弦 AB 的垂直平分线经过点(0,2) ,则 p 等于

的直线与抛物线交于 A,B 两点, .

【考点】抛物线的简单性质. 【分析】写出 AB 的点斜式方程,与抛物线方程联立消元,利用根与系数的关系求出 AB 的 中点坐标,利用直线垂直与斜率的关系列方程解出 p. 【解答】解:F( ,0) ,∴直线 AB 的方程为:y=x﹣ .

联立方程组

,消元得:x2﹣3px+

=0,

设 AB 的中点坐标为(x0,y0) ,则 x0= ∴AB 的垂直平分线经过点(0,2) ,∴

=

,y0=x0﹣ =p. =﹣1.

=﹣1,即

解得 p= .

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故答案为: .

16.数列{an}满足 an= 围是 {a1|a1≥ } .

(n≥2) ,若{an}为等比数列,则 a1 的取值范

【考点】等比数列的通项公式. 【分析】对 a1 分类讨论,利用已知及其等比数列的通项公式性质即可得出. 【解答】解:①当 ∵{an}为等比数列,∴ 时,a2=4.由于 =a1a3,∴42=9a1,解得 a1= ,因此 a3=32=9. .而 a4=42=16,不满足{an}为等比数列,

舍去. ②当 a1≥22 时,a2=2a1,∴a2≥8. 当 8≤a2<9 时,a3=32=9.∵{an}为等比数列,∴ =a1a3,∴ =9a1,解得 a1= ,舍去. .

当 a2≥9 时,a3=2a2.可得{an}为等比数列,公比为 2.此时 a1 综上可得:a1 的取值范围是{a1|a1≥ }.

三.解答题:本大题共 5 小题,满分 60 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.如图,在△ ABC 中,∠C=60°,D 是 BC 上一点,AB=31,BD=20,AD=21. (1)求 cos∠B 的值; (2)求 sin∠BAC 的值和边 BC 的长.

【考点】余弦定理;正弦定理. 【分析】 (1)利用余弦定理可得 cosB= .

(2)0°<B<180°,由(1)可得:sinB= (B+60°)]=sin(B+60°) . 在△ ABC 中,由正弦定理可得: =

=

,可得 sin∠BAC=sin[180°﹣

,即可得出.

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【解答】解: (1)在△ ABC 中,cosB=

=

=



(2)0°<B<180°,由(1)可得:sinB=

=



∴sin∠BAC=sin[180°﹣(B+60°)]=sin(B+60°)=sinBcos60°+cosBsin60°= + = . = ,

在△ ABC 中,由正弦定理可得:

∴BC=

=

=35.

18.根据某水文观测点的历史统计数据,得到某河流水位 X(单位:米)的频率分布直方图 如图:将河流水位在以上 6 段的频率作为相应段的概率,并假设每年河流水位互不影响 (1)求未来三年,至多有 1 年河流水位 X∈[27,31)的概率(结果用分数表示) ; 2 A X [23 27 X ( )该河流对沿河 企业影响如下:当 ∈ , )时,不会造成影响;当 ∈[27,31) 时,损失 10000 元;当 X∈[31,35)时,损失 60000 元,为减少损失,现有种应对方案: 方案一:防御 35 米的最高水位,需要工程费用 3800 元; 方案二:防御不超过 31 米的水位,需要工程费用 2000 元; 方案三:不采取措施; 试比较哪种方案较好,并请说理由.

【考点】频率分布直方图;离散型随机变量的期望与方差. 【分析】 (1)由二项分布求出未来 3 年,至多有 1 年河流水位 X∈[27,31)的概率值; (2)由随机变量的分布列与均值,计算方案一、二、三的损失是多少,比较选用哪种方案 最好. 【解答】解: (1)由二项分布得,在未来 3 年,至多有 1 年河流水位 X∈[27,31)的概率为: P= ? + ? ? = , ;

所以在未来 3 年,至多有 1 年河流水位 X∈[27,31)的概率为 (2)由题意知,P(23≤X<27)=0.74,
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P(27≤X<31)=0.25, P(31≤X≤35)=0.01; 用 X1、X2、X3 分别表示采取方案一、二、三的损失, 由题意知,X1=3800,X2 的分布列如下; X2 2000 62000 P 0.99 0.01 所以 E(X2)=2000×0.99+62000×0.01=2600; X3 的分布列如下, X3 0 10000 60000 P 0.74 0.25 0.01 E(X3)=60000×0.01+10000×0.25=3100; 因为采用方案二的损失最小,所以采用方案二最好. 19.如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,∠ABC=60°,PA⊥PB, PC=2. (1)求证:平面 PAB⊥平面 ABCD; (2)若 PA=PB,求二面角 A﹣PC﹣D 的余弦值.

【考点】二面角的平面角及求法;平面与平面垂直的判定. 【分析】 (1)取 AB 的中点 O,连接 AC,CO,PO,运用菱形和等边三角形的性质,以及 线面垂直的判定定理,可得 CO⊥平面 PAB,再由面面垂直的判定定理即可得证; (2)由面面垂直的性质定理,可得直线 OC,OB,OP 两两垂直,以 O 为坐标原点,分别 以 OC,OB,OP 所在直线为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系 O﹣xyz,分别求得 O,A, P,B,C,D, , , 的坐标, 设平面 APC 的一个法向量为 =(x1,y1,z1) ,平面 DPC 的一个法向量为 =(x2,y2,

z2) ,运用向量垂直的条件:数量积为 0,求得一个法向量,再由向量的夹角公式计算即可 得到所求值. 【解答】解: (1)证明:取 AB 的中点 O,连接 AC,CO,PO, 由 ABCD 是边长为 2 的菱形,可得 AB=BC=2, 又∠ABC=60°,可得△ ABC 为等边三角形, 即有 CO⊥AB,OC= , 由 PA⊥PB,可得 OP= AB=1, 而 PC=2, 由 OP2+OC2=12+( 可得 CO⊥OP, )2=22=PC2,

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而 AB,OP 为相交二直线,可得 CO⊥平面 PAB, 又 OC?平面 ABCD, 即有平面 PAB⊥平面 ABCD; (2)由 PA=PB,可得 PO⊥AB, 又平面 PAB⊥平面 ABCD,则 PO⊥平面 ABCD, 直线 OC,OB,OP 两两垂直, 以 O 为坐标原点,分别以 OC,OB,OP 所在直线为 x,y,z 轴, 建立空间直角坐标系 O﹣xyz, 则 O(0,0,0) ,A(0,﹣1,0) ,P(0,0,1) ,B(0,1,0) , C( ,0,0) D 2 0 , ( , , ) , 可得 =( ,0,﹣1) , =(0,1,1) , =(0,2,0) , 设平面 APC 的一个法向量为 z2) , 由 可得 ,取 z1= ,可得 =(1,﹣ , ) , =(x1,y1,z1) ,平面 DPC 的一个法向量为 =(x2,y2,



,可得

,取 x2=

,可得

=(

,0,3) ,

由题意可得二面角 A﹣PC﹣D 为锐角二面角,记为 θ, 则 cosθ=|cos< , >|= = = .

即有二面角 A﹣PC﹣D 的余弦值为



20.已知椭圆 E:

+

=1(a>b>0)的离心率为

,直线 x+y+

=0 与椭圆 E 仅有

一个公共点. (1)求椭圆 E 的方程; (2)直线 l 被圆 O:x2+y2=3 所截得的弦长为 3,且与椭圆 E 交于 A、B 两点,求△ ABO 面 积的最大值. 【考点】椭圆的简单性质.

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【分析】 (1)由椭圆的离心率可得 a2=2b2,得到椭圆方程 x2+2y2﹣2b2=0,联立直线方程和 椭圆方程,由判别式等于 0 求得 b2,则椭圆方程可求; (2)由直线 l 被圆 O:x2+y2=3 所截得的弦长为 3,得到坐标原点到直线 l 的距离为 ,

然后分直线 l 的斜率存在和不存在两种情况求△ ABO 面积,当直线 l 的斜率不存在时,直接 求解,当直线 l 的斜率存在时,设出直线方程 y=kx+m,由原点到直线的距离列式,把 m 用 含有 k 的代数式表示, 然后再由弦长公式求得弦长, 换元后利用判别式法求得弦长的最大值, 求出斜率存在时△ ABO 面积的最大值,最后比较得答案. 【解答】解: (1)由 则椭圆方程为 x2+2y2﹣2b2=0. 联立 ,消去 y 得, ,解得:b2=1. ; , ,得 ,即 ,∴a2=2b2,

由 ∴椭圆方程为:

(2)∵直线 l 被圆 O:x2+y2=3 所截得的弦长为 3, ∴原点 O 到直线 l 的距离为 . , 代入椭圆 , 得 y= ,

①当直线 l 的斜率不存在时, 直线 l 的方程为 x=± 不妨设 A( 则 ) ,B( ; ) ,

②当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=kx+m,即 kx﹣y+m=0, 由 ,得 4m2=3k2+3.

联立

,消去 y 得, (1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣2=0.



∴|AB|=

=

=


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设 k2=t, 令 y= ,则(4y﹣5)t2+(4y﹣6)t+y﹣1=0,

当 y= 时,可得 t= ,符合题意; 当y 综上,y 时,由△ =(4y﹣6)2﹣(4y﹣5) (4y﹣4)≥0,得 y . . . 且y .

∴当斜率存在时, 综①②可知,△ ABO 面积的最大值为

21.已知函数 f(x)=(x+1)ex 和函数 g(x)=(ex﹣a) (x﹣1)2(a>0) (e 为自然对数 的底数) . (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)判断函数 g(x)的极值点的个数,并说明理由; (3)若函数 g(x)存在极值为 2a2,求 a 的值. 【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值. 【分析】 (1)求函数的导数,利用函数单调性和导数的关系即可求函数 f(x)的单调区间; (2)求函数的导数,根据函数极值和导数的关系即可判断函数 g(x)的极值点的个数,并 说明理由; (3)根据函数的极值,建立方程关系进行求解即可求 a 的值. 【解答】解: (1)∵函数 y=(x+1)ex, ∴f′(x)=ex+(x+1)ex=(x+2)ex, 由 f′(x)>0 得(x+2)ex>0, 即 x+2>0,得 x>﹣2,即函数的单调增区间为(﹣2,+∞) . f x 0 x 2 ′ ∞ 由 ( )< 得 <﹣ ,即函数的单调递减区间为(﹣ ,﹣2) . (2)g′(x)=ex(x﹣1)2+(ex﹣a) (2x﹣2)=(x﹣1) (xex+ex﹣2a)=(x﹣1) (f(x)﹣ 2a) , 当 x<﹣1 时,f(x)=(x+1)ex≤0, ①当 0<a<e 时,由(1)得 f(x)在(﹣1,+∞)上单调递增,且 f(﹣1)﹣2a<0,f(1) ﹣2a=2e﹣2a>0, 则?唯一 x0∈(﹣1,1) ,使 f(x0)=0, 当 x∈(﹣∞,x0)时,f(x)﹣2a<0,故 g′(x)>0, 当 x∈(x0,1)时,f(x)﹣2a>0,故 g′(x)<0, 当 x∈(1,+∞)时,f(x)﹣2a>0,故 g′(x)>0, 故当 x=x0 时,函数 g(x)取得极大值,当 x=1 时,函数 g(x)取得极小值. ②当 a=e 时,由(1)得 f(x)在(﹣1,+∞)上单调递增,且 f(1)﹣2a=0, 当 x∈(﹣∞,1)时,f(x)﹣2a<0,故 g′(x)>0, 当 x∈(1,+∞)时,f(x)﹣2a>0,故 g′(x)>0,此时函数 g(x)无极值. ③当 a>e 时,由(1)得 f(x)在(﹣1,+∞)上单调递增,且 f(1)﹣2a=2e﹣2a<0,
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f(lna)﹣2a=a(lna+1)﹣2a=a(lna﹣1)>0, 则?唯一 x0∈(1,lna) ,使 f(x0)=0, 当 x∈(﹣∞,1)时,f(x)﹣2a<0,故 g′(x)>0, 当 x∈(1,x0)时,f(x)﹣2a<0,故 g′(x)<0, 当 x∈(x0,+∞)时,f(x)﹣2a>0,故 g′(x)>0, 故当 x=x0 时,函数 g(x)取得极小值,当 x=1 时,函数 g(x)取得极大值. 综上当 a∈(0,e)∪(e,+∞)时,g(x)有两个极值点, 当 a=e 时,g(x)无极值点. (3)由(2)知当 0<a<e 时,∵g(1)=0≠ , 故 g(x0)=(e 由 f(x0)=0 得 a= ﹣a) (x0﹣1)2=2a2,① ,代入①得(e ) (x0﹣1)



2

=2[

]2,

整理得(1﹣x0)3﹣(1+x0)2e

﹣=0,

设 h(x)=(1﹣x)3﹣(1+x)2ex,﹣1<x<1, ∵h′(x)=﹣3(1﹣x)2﹣(x+3) (1+x)ex, ∴当﹣1<x<1 时,h′(x)<0, ∴h(x)在(﹣1,1)上单调递减, ∵h(0)=0, ∴x0=0,a= = ∈(0,e)符号题意,

当 a>e 时,∵g(x0)<g(1)=0<a2, ∴不存在符号题意的 a, 综上当 a= 时,g(x)存在极值等于 a2.

选修 4-1:几何证明选讲 22.如图,在直角△ ABC 中,AB⊥BC,D 为 BC 边上异于 B、C 的一点,以 AB 为直径作 ⊙O,并分别交 AC,AD 于点 E,F. (Ⅰ)证明:C,E,F,D 四点共圆; (Ⅱ)若 D 为 BC 的中点,且 AF=3,FD=1,求 AE 的长.

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【考点】与圆有关的比例线段;圆內接多边形的性质与判定. 【分析】 (Ⅰ)连结 EF,BE,说明 AB 是⊙O 是直径,推出∠ABE=∠C,然后证明 C,E, F,D 四点共圆. (Ⅱ)利用切割线定理求解 BD,利用 C、E、F、D 四点共圆,得到 AE?AC=AF?AD,然后 求解 AE. 【解答】 (Ⅰ)证明:连结 EF,BE,则∠ABE=∠AFE,因为 AB 是⊙O 是直径, 所以,AE⊥BE,又因为 AB⊥BC,∠ABE=∠C, 所以∠AFE=∠C,即∠EFD+∠C=180°, ∴C,E,F,D 四点共圆. (Ⅱ)解:因为 AB⊥BC,AB 是直径, 所以,BC 是圆的切线,DB2=DF?DA=4,即 BD=2, 所以,AB= =2 , =2 ,

因为 D 为 BC 的中点,所以 BC=4,AC= 因为 C、E、F、D 四点共圆,所以 AE?AC=AF?AD,

即2

AE=12,即 AE=



选修 4-4:坐标系与参数方程选讲 23. 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知直线 l 的参数方程为 0<α<π) (t 为参数, ,

以原点 O 为极点, 以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 C 的极坐标方程为 ρ= (p>0) . (Ⅰ)写出直线 l 的极坐标方程和曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)若直线 l 与曲线 C 相交于 A,B 两点,求 + 的值.

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【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 【分析】 (1)分别用 x,y 表示 t,消去参数得到普通方程,再化为极坐标方程; B 坐标, (2) 联立方程组解出 A, 代入两点间的距离公式得出|OA|,|OB|,再进行化简计算.

【解答】解: (I)由



,∴直线 l 的普通方程为



=0,

即 sinαx﹣cosαy=0. 把 x=ρcosθ,y=ρsinθ 代入普通方程得 sinαρcosθ﹣cosαρsinθ=0. ∵ρ= , ∴p=ρ﹣ρcosθ=ρ﹣x, ∴ρ=p+x, 两边平方得 ρ2=x2+2px+p2, ∴x2+y2=x2+2px+p2,

即 y2﹣2px﹣p2=0.

(II)联立方程组

,解得





∴|OA|2=(

)2+(

)2 =

,|OB|2=



)2+(

)2=



∴|OA|=

,|OB|=





+

=

+

=



+

)= .

选修 4-5:不等式选讲 24.已知函数 f(x)=|x+a|+|x﹣3|(a∈R) . (Ⅰ)当 a=1 时,求不等式 f(x)≥x+8 的解集; (Ⅱ)若函数 f(x)的最小值为 5,求 a 的值. 【考点】绝对值不等式的解法;函数的最值及其几何意义;分段函数的应用. 【分析】 (Ⅰ)当 a=1 时,不等式即|x+1|+|x﹣3|≥x+8,分类讨论去掉绝对值,分别求得它的 解集,再取并集,即得所求. (Ⅱ)由条件利用绝对值三角不等式求得 f(x)的最小值,再根据 f(x)的最小值为 5,求 得 a 的值.
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【解答】解: (Ⅰ)当 a=1 时,求不等式 f(x)≥x+8,即|x+1|+|x﹣3|≥x+8, 若 x<﹣1,则有﹣x﹣1+3﹣x≥x+8,求得 x≤﹣2. 若﹣1≤x≤3,则有 x+1+3﹣x≥x+8,求得 x≤﹣4,不满足要求. 若 x>3,则有 x+1+x﹣3≥x+8,求得 x≥10. 综上可得,x 的范围是{x|x≤﹣2 或 x≥10}. (Ⅱ)∵f(x)=|x+a|+|x﹣3|=|x+a|+|3﹣x|≥|x+a+3﹣x|=|a+3|, ∴函数 f(x)的最小值为|a+3|=5,∴a+3=5,或 a+3=﹣5, 解得 a=2,或 a=﹣8.

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2016 年 7 月 25 日

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