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导数综合练习题

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导数练习题(B)
1. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax 3 ? bx 2 ? (c ? 3a ? 2b) x ? d 的图象如图所示. (I)求 c, d 的值; (II)若函数 f (x) 在 x ? 2 处的切线方程为 3x ? y ? 11 ? 0 ,求函数 f (x) 的 解析式; 1 (III)在(II)的条件下,函数 y ? f (x) 与 y ? f ?( x) ? 5 x ? m 的图象有三 3 个不同的交点,求 m 的取值范围. 2. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? a ln x ? ax ? 3(a ? R) . (I)求函数 f (x) 的单调区间; (II) 函数 f (x) 的图象的在 x ? 4 处切线的斜率为 3)上不是单调函数,求 m 的取值范围.

3 1 m (1, , 若函数 g ( x) ? x 3 ? x 2 [ f ' ( x) ? ] 在区间 3 2 2

3. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 的图象经过坐标原点,且在 x ? 1 处取得极大值. (I)求实数 a 的取值范围; (2a ? 3) 2 (II)若方程 f ( x) ? ? 恰好有两个不同的根,求 f (x) 的解析式; 9 (III)对于(II)中的函数 f (x) ,对任意 ?、? ? R ,求证: | f (2 sin ? ) ? f (2 sin ? ) |? 81.

4. (本小题满分 12 分) 已知常数 a ? 0 , e 为自然对数的底数,函数 f ( x) ? e x ? x , g ( x) ? x 2 ? a ln x . (I)写出 f (x) 的单调递增区间,并证明 e a ? a ; (II)讨论函数 y ? g (x) 在区间 (1, e a ) 上零点的个数.

5. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln( x ?1) ? k( x ?1) ?1 . (I)当 k ? 1 时,求函数 f ( x) 的最大值; (II)若函数 f ( x) 没有零点,求实数 k 的取值范围;

6. (本小题满分 12 分) 已知 x ? 2 是函数 f ( x) ? ( x ? ax ? 2a ? 3)e 的一个极值点( e ? 2.718 ? ? ? ) . (I)求实数 a 的值; 3 (II)求函数 f ( x) 在 x ? [ ,3] 的最大值和最小值. 2
2 x

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7. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 4 x ? (2 ? a) ln x, (a ? R, a ? 0)
2

(I)当 a=18 时,求函数 f (x) 的单调区间; (II)求函数 f (x) 在区间 [e, e ] 上的最小值.
2

8. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x( x ? 6) ? a ln x 在 x? (2, ??) 上不具有单调性. ... (I)求实数 a 的取值范围; (II)若 f ?( x) 是 f ( x) 的导函数,设 g ( x) ? f ?( x) ? 6 ? 不等式 | g ( x1 ) ? g ( x2 ) |?

2 ,试证明:对任意两个不相等正数 x1、x2 , x2

38 | x1 ? x2 | 恒成立. 27

9. (本小题满分 12 分)

1 2 x ? ax ? (a ? 1) ln x, a ? 1. 2 (I)讨论函数 f (x) 的单调性;
已知函数 f ( x) ? (II)证明:若 a ? 5, 则对任意x1 , x 2 ? (0,??), x1 ? x 2 , 有

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ?1. x1 ? x 2

10. (本小题满分 14 分)

1 2 x ? a ln x, g ( x) ? (a ? 1) x , a ? ?1 . 2 (I)若函数 f ( x), g ( x) 在区间 [1,3] 上都是单调函数且它们的单调性相同,求实数 a 的取值范围; (II)若 a ? (1, e ] (e ? 2.71828 ,设 F ( x) ? f ( x)? g ( x),求证:当 x1 , x2 ?[1, a] 时,不等式 ? ) | F ( x1 ) ? F ( x2 ) |? 1 成立.
已知函数 f ( x) ? 11. (本小题满分 12 分) 设曲线 C : f ( x) ? ln x ? ex ( e ? 2.71828 ??? ) f ?( x) 表示 f ( x) 导函数. , (I)求函数 f ( x) 的极值; (II)对于曲线 C 上的不同两点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , x1 ? x2 ,求证:存在唯一的 x0 ? ( x1 , x2 ) ,使 直线 AB 的斜率等于 f ?( x0 ) .

12. (本小题满分 14 分) 定义 F ( x, y) ? (1 ? x) , x, y ? (0,??) ,
y

(I)令函数 f ( x) ? F (3,log 2 (2 x ? x 2 ? 4)) ,写出函数 f ( x) 的定义域; (II)令函数 g ( x) ? F (1,log 2 ( x3 ? ax 2 ? bx ? 1)) 的图象为曲线 C,若存在实数 b 使得曲线 C 在

x0 (?4 ? x0 ? ?1) 处有斜率为-8 的切线,求实数 a 的取值范围;
(III)当 x, y ?N * 且 x ? y 时,求证 F ( x, y) ? F ( y, x) .

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导数练习题(B)答案
1. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax 3 ? bx 2 ? (c ? 3a ? 2b) x ? d 的图象如图所示. (I)求 c, d 的值; (II)若函数 f (x) 在 x ? 2 处的切线方程为 3x ? y ? 11 ? 0 ,求函数 f (x) 的 解析式; 1 (III)在(II)的条件下,函数 y ? f (x) 与 y ? f ?( x) ? 5 x ? m 的图象有三 3 个不同的交点,求 m 的取值范围. 解:函数 f (x) 的导函数为

f ' ( x) ? 3ax 2 ? 2bx ? c ? 3a ? 2b
'

…………(2 分)

(I)由图可知 函数 f (x) 的图象过点(0,3) ,且 f (1) ? 0

?d ? 3 得 ? ?3a ? 2b ? c ? 3a ? 2b ? 0
(II)依题意

?d ? 3 ?? ?c ? 0

…………(4 分)

f ' (2) ? ?3 且 f (2) ? 5

?12a ? 4b ? 3a ? 2b ? ?3 ? ?8a ? 4b ? 6a ? 4b ? 3 ? 5
解得 a ? 1, b ? ?6 所以 f ( x) ? x 3 ? 6 x 2 ? 9 x ? 3
2 3 2

(III) f ?( x) ? 3x ? 12 x ? 9 . 可转化为:x ? 6 x ? 9 x ? 3 ? x ? 4 x ? 3 ? 5 x ? m 有三个不等实根,
2

即: g ?x ? ? x ? 7 x ? 8 x ? m 与 x 轴有三个交点;
3 2

?

…………(8 分)

?

g ??x ? ? 3x 2 ? 14 x ? 8 ? ?3x ? 2??x ? 4? ,

x
g ??x ? g ?x ?

2? ? ? ? ?, ? 3? ?
+ 增

2 3
0 极大值

?2 ? 4 ? ,? ?3 ?


4
0 极小值

?4, ? ? ?
+ 增

? 2 ? 68 …………(10 分) g? ? ? ? m, g ?4? ? ?16 ? m . ? 3 ? 27 ? 2 ? 68 当且仅当 g ? ? ? ? m ? 0且g ?4? ? ?16 ? m ? 0 时,有三个交点, ? 3 ? 27 68 故而, ? 16 ? m ? 为所求. …………(12 分) 27 2. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? a ln x ? ax ? 3(a ? R) . (I)求函数 f (x) 的单调区间;
(II) 函数 f (x) 的图象的在 x ? 4 处切线的斜率为 3)上不是单调函数,求 m 的取值范围. 解: (I) f ' ( x) ?

3 1 m (1, , 若函数 g ( x) ? x 3 ? x 2 [ f ' ( x) ? ] 在区间 3 2 2
(2 分)

a(1 ? x) ( x ? 0) x ? ? 当 a ? 0时, f ( x)的单调增区间为 0,1?, 减区间为1,??? ? 当 a ? 0时, f ( x)的单调增区间为1,???, 减区间为?0,1?;

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当 a=1 时, f (x) 不是单调函数 (II) f ' (4) ? ? (5 分)

3a 3 ? 得a ? ?2, f ( x) ? ?2 ln x ? 2 x ? 3 4 2 1 m ? g ( x) ? x 3 ? ( ? 2) x 2 ? 2 x,? g ' ( x) ? x 2 ? (m ? 4) x ? 2 (6 分) 3 2 ? g ( x)在区间(1,3)上不是单调函数, 且g ' (0) ? ?2
? g ' (1) ? 0, ?? ? g ' (3) ? 0.
(8 分)? ?

?m ? ?3, 19 ? 19 (10 分) m ? (? ,?3) 3 ?m ? 3 , ?

(12 分)

3. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 的图象经过坐标原点,且在 x ? 1 处取得极大值. (I)求实数 a 的取值范围; (2a ? 3) 2 (II)若方程 f ( x) ? ? 恰好有两个不同的根,求 f (x) 的解析式; 9 (III)对于(II)中的函数 f (x) ,对任意 ?、? ? R ,求证: | f (2 sin ? ) ? f (2 sin ? ) |? 81. 解: (I) f (0) ? 0 ? c ? 0, f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? b, f ?(1) ? 0 ? b ? ?2a ? 3

? f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? (2a ? 3) ? ( x ? 1)(3x ? 2a ? 3), 2a ? 3 由 f ?( x) ? 0 ? x ? 1或x ? ? ,因为当 x ? 1 时取得极大值, 3 2a ? 3 所以 ? ? 1 ? a ? ?3 ,所以 a的取值范围是: (??,?3) ; 3
…………(4分) (II)由下表:

x
f ?(x)

(??,1)
+
递增

1
0
极大值
?a?2

(1,?

2a ? 3 ) 3

?

2a ? 3 3

(?

2a ? 3 ,??) 3

递减

0
极小值
a?6 (2a ? 3) 2 27

递增

f (x)
依题意得:

a?6 (2a ? 3) 2 ,解得: a ? ?9 (2a ? 3) 2 ? ? 27 9 所以函数 f (x) 的解析式是: f ( x) ? x3 ? 9 x 2 ? 15x
…………(10分) (III)对任意的实数 ? , ? 都有 ? 2 ? 2 sin ? ? 2,?2 ? 2 sin ? ? 2, 在区间[-2,2]有: f (?2) ? ?8 ? 36 ? 30 ? ?74, f (1) ? 7, f (2) ? 8 ? 36 ? 30 ? 2

f ( x)的最大值是f (1) ? 7, f ( x)的最小值是f (?2) ? ?8 ? 36 ? 30 ? ?74 函数 f ( x)在区间 ?2,2] 上的最大值与最小值的差等于81, [ 所以. …………(14分) 4. (本小题满分 12 分) 已知常数,为自然对数的底数,函数, . (I)写出的单调递增区间,并证明; (II)讨论函数在区间上零点的个数. 解: ,得的单调递增区间是, …………(2 分) (I) ∵,∴,∴,即. …………(4 分) (II) ,由,得,列表

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0 单调递减 极小值 当时,函数取极小值,无极大值. 由(I) ,∵,∴,∴ , …………(8 分) (i)当,即时,函数在区间不存在零点 (ii)当,即时 若,即时,函数在区间不存在零点 若,即时,函数在区间存在一个零点; 若,即时,函数在区间存在两个零点; 综上所述,在上,我们有结论: 当时,函数无零点; 当 时,函数有一个零点; 当时,函数有两个零点. …………(12分) 5. (本小题满分 14 分) 已知函数. (I)当时,求函数的最大值; (II)若函数没有零点,求实数的取值范围; 解: (I)当时, 定义域为(1,+) ,令, ………………(2 分) ∵当,当, ∴内是增函数,上是减函数 ∴当时,取最大值 ………………(4 分) (II)①当,函数图象与函数图象有公共点, ∴函数有零点,不合要求; ………………(8 分) ②当, ………………(6 分) 令,∵, ∴内是增函数,上是减函数, ∴的最大值是, ∵函数没有零点,∴, , 因此,若函数没有零点,则实数的取值范围.………………(10 分) 6. (本小题满分 12 分) 已知是函数的一个极值点() . (I)求实数的值; (II)求函数在的最大值和最小值. 解: (I)由可得 ……(4 分) ∵是函数的一个极值点,∴ ∴,解得 ……………(6 分) (II)由,得在递增,在递增, 由,得在在递减 ∴是在的最小值; ……………(8 分) , ∵ ∴在的最大值是. ……………(12 分) 7. (本小题满分 14 分) 已知函数 (I)当 a=18 时,求函数的单调区间; (II)求函数在区间上的最小值. 解: (Ⅰ) , + 单调递增 …………(6分)

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2分 由得,解得或 注意到,所以函数的单调递增区间是(4,+∞) 由得,解得-2<<4, 注意到,所以函数的单调递减区间是. 综上所述,函数的单调增区间是(4,+∞) ,单调减区间是 (Ⅱ)在时, 所以, 设 当时,有△ =16+4× 2, 此时,所以,在上单调递增, 所以 当时,△ =, 令,即,解得或; 令,即, 解得. ①若≥,即≥时, 在区间单调递减,所以. ②若,即时间, 在区间上单调递减,在区间上单调递增, 所以. ③若≤,即≤2 时,在区间单调递增, 所以 综上所述,当≥2 时, ; 当时, ; 当≤时, 14 分 8. (本小题满分 12 分) 已知函数在上不具有单调性. ...

6分

8分

(I)求实数的取值范围; (II)若是的导函数,设,试证明:对任意两个不相等正数,不等式恒成立. 解: , (I) ………………(2 分) ∵在上不具有单调性,∴在上有正也有负也有 0, ... 即二次函数在上有零点 ………………(4 分) ∵是对称轴是,开口向上的抛物线,∴ 的实数的取值范围 ………………(6 分) (II)由(I) , 方法 1: , ∵,∴,…………(8 分) 设, 在是减函数,在增函数,当时,取最小值 ∴从而,∴,函数是增函数, 是两个不相等正数,不妨设,则 ∴,∵,∴ ∴,即 ………………(12 分) 方法 2: 、是曲线上任意两相异点, , , ………(8 分) 设,令, , 由,得由得 在上是减函数,在上是增函数, 在处取极小值, ,∴所以

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即 9. (本小题满分 12 分) 已知函数 (I)讨论函数的单调性; (II)证明:若 (1)的定义域为, (i)若,则 故在单调增加. (ii)若 单调减少,在(0,a-1) , 单调增加. (iii)若 单调增加. (II)考虑函数 由 由于,从而当时有 故,当时,有 10. (本小题满分 14 分) 已知函数. (I)若函数在区间上都是单调函数且它们的单调性相同,求实数的取值范围; (II)若,设,求证:当时,不等式成立. 解: , (I) ……………(2 分) ∵函数在区间上都是单调函数且它们的单调性相同, ∴当时,恒成立, ……………(4 分) 即恒成立, ∴在时恒成立,或在时恒成立, ∵,∴或 ………………(6 分) (II) , ∵定义域是, ,即 ∴在是增函数,在实际减函数,在是增函数 ∴当时,取极大值, 当时,取极小值, ………………(8 分) ∵,∴ ………………(10 分) 设,则, ∴,∵,∴ ∴在是增函数,∴ ∴在也是增函数 ………………(12 分) ∴,即, 而,∴ ∴当时,不等式成立. ………………(14 分) 11. (本小题满分 12 分) 设曲线: ,表示导函数. () (I)求函数的极值; (II)对于曲线上的不同两点,,求证:存在唯一的,使直线的斜率等于. , 解: ,得 (I) 当变化时,与变化情况如下表: 0 + 单调递增 极大值 ∴当时,取得极大值,没有极小值; …………(4 分) - 单调递减 ………………(12 分)

2分

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(II) (方法 1)∵,∴,∴ 即,设 , ,是的增函数, ∵,∴; , ,是的增函数, ∵,∴, ∴函数在内有零点, …………(10 分) 又∵,函数在是增函数, ∴函数在内有唯一零点,命题成立…………(12 分) (方法 2)∵,∴, 即, ,且唯一 设,则, 再设, ,∴ ∴在是增函数 ∴,同理 ∴方程在有解 …………(10 分) ∵一次函数在是增函数 ∴方程在有唯一解,命题成立………(12 分) 注:仅用函数单调性说明,没有去证明曲线不存在拐点,不给分. 12. (本小题满分 14 分) 定义, (I)令函数,写出函数的定义域; (II)令函数的图象为曲线 C,若存在实数 b 使得曲线 C 在处有斜率为-8 的切线,求实数的取值 范围; (III)当且时,求证. 解: ,即 (I) ……………………(2 分) 得函数的定义域是, ……………………(4 分) (II) 设曲线处有斜率为-8 的切线, 又由题设 ∴存在实数 b 使得 有解, ……………………(6 分) ① 由①得代入③得, ② 有解, ……………………(8 分) 方法 1: ,因为,所以, ③ 当时,存在实数,使得曲线 C 在处有斜率为-8 的切线 ………………(10 分) 方法 2:得, ………………(10 分) 方法 3:是的补集,即 ………………(10 分) (III)令 又令 , 单调递减. ……………………(12)分 单调递减, , ………………(14 分)


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