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正余弦定理课件


学生姓名 授课教师 教学课题 教学目标 重点难点

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学科 第( )次课

数学 课时: 1 课时

2013 年月日
正弦、余弦定理

掌握正弦、余弦定理及应用 会运用正弦、余弦定理及性质进行解题

1.正、余弦定理内容 正弦定理:
a sin A
2 2

?

b sin B
2

?

c sin C

? 2R;

余弦定理: a ? b ? c ? 2 bc cos A ,
b c
2

? c ? a

2

? a ?b b
2

2

? 2 ca cos B , ? 2 ab cos C .
2

2

2

2

cos A ? cos B ? cos C ?

?c ? a ?b

? a ?b ? a

2

,
2

2 bc c
2 2

,
2

2 ca a
2 2

.

2 ab

2.常用三角公式 教学过程 sin2A+cos2A=1 面积公式S=
1 2

absinC

sin2A=2sinAcosA?sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB cos2A=1-2sin2A

考点一 1. 在△ ABC 中,三边长为连续的自然数,且最大角是最小角的 2 倍,求此三角形的三边长.

2. 已知在 ? ABC 中, ? A ? 45 ? , a ? 2 , c ?
sin C ? 6 2 ? sin 45 ? ? 6 2 ? 2 2

6 解此三角形。
3 2

解:由正弦定理得
1

?

∵ c sin A ?
a ? 2 ,c ?

6

?

2 2

?

3

6 , 3 ? 2 ?

6

∴ 有两解,即 ? C ? 60 ? 或 ? C ? 120 ?
? B ? 180 ? ? 60 ? ? 45 ? ? 75 ? 或 ? B ? 180 ? ? 120 ? ? 45 ? ? 15 ?
a sin A



b ?

sin B

得b ?

3 ? 1 或b ?

3 ?1 3 ? 1 , ? C ? 120 ? , ? B ? 15 ?

∴ b ?

3 ? 1 , ? C ? 60 ? , ? B ? 75 ? 或 b ?

3. 如图,在△ ABC 中,AB=4cm,AC=3cm,角平分线 AD=2cm,求此三角形面积.

考点二 在△ ABC 中已知 a=2bcosC,求证:△ ABC 为等腰三角形.? 证明:欲证△ ABC 为等腰三角形.可证明其中有两角相等,因而在已知条件中化去边元素,使只 剩含角的三角函数.由正弦定理得 a= ∴2bcosC=
b sin A sin B b sin A sin B

,即 2cosC· sinB=sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC.

∴sinBcosC-cosBsinC=0 即 sin(B-C)=0,? ∴B-C=nπ(n∈Z).? ∵B、C 是三角形的内角,? ∴B=C,即三角形为等腰三角形.?

2

变式训练 1. 在△ ABC 中,AB=5,AC=3,D 为 BC 中点,且 AD=4,求 BC 边长.

考点三 1. 已知 a 、b 、c 是 ? ABC 中,? A 、? B 、? C 的对边, 是 ? ABC 的面积, a ? 4 ,b ? 5 , S 若
S ? 5 3 ,求 c 的长度。

解:
S ? 1 2 ab sin C ? 5 3

∵ a ? 4 ,b ? 5 ,
3 2



sin C ?

∴ C ? 60 ? 或 120 ? ∴ c? ∴ c ?
61

2 2 2 ∴ 当 C ? 60 ? 时, c ? a ? b ? ab ? 21

21

2 2 2 当 C ? 120 ? 时, c ? a ? b ? ab ? 61

即 (a ? c) ? 4
2

∴ a ? c ? 2 又a ? c ? 1

∴ 1? a?c ? 2

变式训练 1. 已知三角形的一个角为 60° ,面积为 10 3 cm2,周长为 20cm,求此三角形的各边长.

考点四:在 ? ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c 依次成等比数列,求 的取值范围。
2 解:∵ b ? ac

y ?

1 ? sin 2 B sin B ? cos B

3

cos B ?

a

2

?c

2

?b

2

?

a

2

?c

2

? ac

?

1 ( 2

a c

?

c a

)?

1 2

?

1 2


0 ? B ?

2 ac

2 ac

?
3



y ?

1 ? sin 2 B sin B ? cos B

?

(sin B ? cos B ) sin B ? cos B
2

2

? sin B ? cos B ?

2 sin( B ?

?
4

)

?

∵ 4

? B ?

?
4

?

7 12

?



? sin( B ?

?
4

) ?1

2

∴ 1? y ?

2

变式训练 1. 在 ? ABC 中,已知 b ? a ( 3 ? 1) , C ? 30 ? ,求 A、B。

1.(2011 江苏 15)在 ? ABC 中,角 A、B、C 所对应的边为 a , b , c (1)若 sin( A ?
?
6 ) ? 2 cos A , 求 A 的值;

(2)若 cos A ? 1 3 , b ? 3 c ,求 sin C 的值.

2.(2009 全国卷Ⅱ文) (本小题满分 12 分)设△ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,
cos( A ? C ) ? cos B ? 3 2

, b ? ac ,求 B.
2

3.(2011 湖南理 17) 在 ? ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 c sin A ? a cos C . (Ⅰ)求角 C 的大小;

4

(Ⅱ)求 3 sin A ? cos ? B ?
?

?

? ?

? 的最大值,并求取得最大值时角 A、B 的大小。 4 ?

4.(2011 山东理 17) 在 ? ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 (I)求
sin C sin A cos A ? 2 cos C cos B ? 2c ? a b



的值;
1 4 , b ? 2 , ? ABC 的面积 S。

(II)若 cos B ?

5.(2009 北京理) (本小题共 13 分) 在 ? A B C 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c , B ? (Ⅰ)求 s in C 的值; (Ⅱ)求 ? A B C 的面积.
?
3

, cos A ?

4 5

,b ?

3 。

6.(2011 湖北理 16) 设 ? ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知 a ? 1, b ? 2 , cos C ? 1 4 。 (Ⅰ)求 ? ABC 的周长 (Ⅱ)求 cos ? A ? C ? 的值

一. 选择题: 1. 在 ? ABC 中,一定成立的等式是( A. a sin A ? b sin B 课后作业 C. a sin B ? b sin A
cos A ? b a ,则 ? ABC 是(



B. a cos A ? b cos B D. a cos B ? b cos A

2. 在 ? ABC 中,若 cos B



5

A. 等腰三角形

B. 等边三角形

C. 直角三角形

D. 等腰或直角三角形 )
?
3

3. 已知 ? ABC 中,AB=1,BC=2,则 ? C 的取值范围是(
?
6

(0 ,

]

(0 ,

?
2

)

(

?
6

,

?
2

]

(

?
6

,

]

A.

B.

C.

D. )
5

4. ? ABC 中,若 3 a ? 2 b sin A ,则 B 为(
? ? ?
2

A. 3

B. 6

C. 3 或 3

?

?

D. 6 或 6

?

5. ? ABC 的三边满足 ( a ? b ? c )( a ? b ? c ) ? 3 ab ,则 ? C 等于( A. 15 ? B. 30 ? C. 45 ? D. 60 ?



6. 在 ? ABC 中,AB=3,BC= 13 ,AC=4,则边 AC 上的高为(
3 2 3 3
3



A.

2

B.

2

C. 2

D. 3 3 )条件 D. 既不充分也不必要
2

7. ? ABC 中, sin A ? sin B ”是“A=B”的( “ A. 充分不必要 8. ? ABC 中, sin A. 30 ?
2

B. 必要不充分
A ? sin
2

C. 充要

B ? sin B sin C ? sin

C ,则 A 等于(



B. 60 ?

C. 120 ?

D. 150 ? )

9. ? ABC 中, B ? 30 ? , b ? 50 3 , c ? 150 ,则这个三角形是( A. 等边三角形 B. Rt 三角形
a ? b sin B ? c sin C 1

C. 等腰三角形
? k

D. 等腰或直角三角形

10. 在 ? ABC 中, sin A

,则 k =(



A. 2R 提交时间

B. R

C. 4R

D. 2 R 教研主任审批

教研组长审批

6


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