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20080620高一数学(3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式)_图文

本节课目标:由两角差的余弦公 式推导两角和的余弦、两角和与 差的正弦、正切公式,并能熟练 运用。

复习引入

1.写出两角差的余弦公式并说出其结构 特征 cos(? ? ? ) ? cos?cos? ? sin?sin?
cos? ? cos[( ? ? ) ? ? ] ? cos( ? ? )cos? ? sin(? ? ? )sin? ? ?

cos? ? cos[(? ? ? ) ? ? ] ? cos( ? ? )cos? ? sin(? ? ? )sin? ? 1 如:已知 cos( a + b )cosb + sin(a + b )sin b = , 3
? 3? ? 且 ? ? ? 2 ,2? ? ? ?

? , 求 cos( ?

?

4

) 的值.

2.利用两角差的余弦公式固然能解决一 些问题,但范围太窄,我们希望在此基 础上获取一系列有应用价值的公式,实 现资源利用和可持续发展战略. 3.有了两角差的余弦公式,自然想得到 两角差的正弦、正切公式,以及两角和 的正弦、余弦、正切公式,对此,我们 将逐个进行探究,让希望成为现实.

探究(一):两角和与差的基本三角公式

思考1:你能从两角差的余弦公式推出两 角和的余弦公式吗?如何推出?

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.
cos(α+β)= cosαcosβ-sinαsinβ 上述公式就是两角和的余弦公式,记 作 C ( a + b ),该公式有什么特点?如何记 忆?

思考2:你能由上面的公式推导出sin(α +β),sin(α-β)分别等于什么吗? sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

上述公式就是两角和与差的正 S ( a - b ) ,这两 弦公式,分别记作 S (α+β), (α-β) (a + b ) 个公式有什么特点?如何记忆?

思考3:从 S (α±β) C(α±β)出发,你能推出 (a ± b ) 、 (a ± b ) tan(α+β)、tan(α-β)分别与tanα、 tanβ有什么关系吗?
t anα + t anβ a b t an(α + β ) = a b , 1 - t anα t anβ a b t anα - t an β a b t an(α- β ) = a b . 1 + t anα t anβ a b

上述公式就是两角和与差的正切 T a 公式,分别记作 T (α- b ) , (α + b ) ,这两 a 个公式有什么特点?如何记忆?公式成 立的条件是什么?
β

β

归纳: 为方便起见,公式S(α+β)C (α+β) , (a + b ) (a + b ), T(α+β)) 称为和角公式,公式S(α-β) C a - b , (a + b ( a - b ) , (α-β) T (α-β) 称为差角公式.怎样理解这6个公 (a - b ) 式的逻辑联系?
C(α-β) T(α-β) S(α-β) S(α+β) C(α+β) T(α+β)

应用举例

3 例1 已知 sin? ? ? ,α是第四象限角, 5 ? ? p π 求 cos( ? ? ) , sin( ? ? ) , an( a - ) 的值. t
4

4

4

例2 求下列各式的值: (1)cos75°; (2 )sin20°cos50°-sin70°cos40°;
1 + t an 15 (3) o ; 1 - t an 15
o

(4)tan17°+tan28°+tan17°tan28°
α β sin(2a + β ) b sin b a b 求证: sin a - 2 cos(α + β ) = sin α α a

例3

.

小结

1.两角差的余弦公式 C? ? ? 是两角和与 差的三角系列公式的基础,明确了各公 式的内在联系,就自然掌握了公式的形 成过程. C a+ b) 2.公式 S(α+β)与 S(α-β) , ((α+β)与 C? ? ? (α-β) (a - b ) (a + b ) T(α+β)) 与 T (α-β)) 的结构相同,但运算 (a + b (a - b 符号不同,必须准确记忆,防止混淆. 3.公式都是有灵性的,应用时不能生搬 硬套,要注意整体代换和适当变形.

作业:
P131练习:4,5,6.


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