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2011年

2010—2011 学年上期 12 月考 高三年级理科数学试题
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1.已知 M ? { y ? R | y ? x2}, N ? {x ? R | x2 ? y 2 ? 2} ,则 M ? N ? ( A. {(?1,1), (1,1)} A. 2
6

) D. [0, 2] ) D. 2
15

B. {1} B. 2
9

C. [0,1] C. 2
12

2.等比数列 {an } 中, a1 ? 2, a6 ? 4 ,函数 f ( x) ? x( x ? a1 )( x ? a2 )?( x ? a6 ) ,则 f ' (0) ? ( 3.定义在复数集 C 上的函数 f ( x) 满足 f ( x) ? ?

A. ? 2 B. 0 C.2 D. 2 ? i 4.已知两个平面 ? 、 ? ,直线 a ? ? ,则“ ? // ? ”是“直线 a // ? ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0 , ? ? 0 , ? ? ? ? ? ? ) 的部分图象如图所示,则函数 f ( x ) 的解 析式为 ( )

?1 ? x ( x ? R) ,则 f ?1 ? i ? 等于( ?(1 ? i) x ( x ? R)



1 ? ) 2 4 1 3? ) B. f ( x) ? 2 sin( x ? 2 4 1 ? C. f ( x) ? 2 sin( x ? ) 2 4 1 3? ) D. f ( x) ? 2 sin( x ? 2 4
A. f ( x ) ? 2 sin( x ? 6.下列命题中是假命题 的是 ... A. ?m ? R, 使f ( x) ? (m ? 1) ? x m
2


?4m?3



是幂函数 ,

且在(0,??) 上递减
B. ?a ? 0,函数f ( x) ? ln x ? ln x ? a有零点
2

C. ?? , ? ? R, 使 cos(? ? ? ) ? cos? ? sin ? ; D. ?? ? R,函数f ( x) ? sin(2 x ? ? ) 都不是偶函数 7.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 k 的值是 ( A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 )

8. 若 (2 x ? 项的值为( A.12

1 n ) 的展开式中,二项式系数最大的项只有第三项,则展开式中常数 x
) B.18
2 2

C.24
2

D.32 )

9.过点 A(a, a ) 可作圆 x ? y ? 2ax ? a ? 2a ? 3 ? 0 的两条切线,则实数 a 的取值范围为(

3 3 C. a ? ?3 D. ?3 ? a ? 1 或 a ? 2 2 ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? 10.对于非零向量 m, n ,定义运算“#”: m # n ?| m | ? | n | sin ? ,其中 ? 为 m, n 的夹角.有两两不共线的三个 ? ?? 向量 a, b, c ,下列结论: ( ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ①若 a # b ? a # c ,则 b ? c ; ② a #b ? b # a ; ? ? ? ? ③若 a # b ? 0 ,则 a / / b ; ④ (a ? b)#c ? a# c ? b# c ; ? ? ? ? ⑤ a # b ? (?a) # b .
A. a ? ? 3 或 1 ? a ? B. 1 ? a ? 其中正确的个数有( A.1 个 ) B.2 个 C.3 个 D.4 个 )

3 2

11.定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ,当 x ? [3,5] 时 f ( x) ? 2 ? x ? 4 ,则(

) ? f (cos ) 6 6 2? 2? ) ? f (cos ) C. f (sin 3 3
A. f (sin

?

?

B. f (sin1) ? f (cos1) D. f (sin 2) ? f (cos 2)

?x ? 1 ? 12.已知 x, y 满足 ? x ? y ? 4 ,记目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值为 7,最小值为 1,则 ?ax ? by ? c ? 0 ?

a?b?c ?( a
A.2

) B.1 C.-1 D.-2

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知双曲线的右焦点为(5,0),一条渐近线方程为 2 x ? y ? 0 ,则此双曲线的标准方程是 . 14.已知某个几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得这个几何体的体积是 cm3 .

(14 题图) 15.若函数 f ( x) ?

(15 题图)

d (a, b, c, d ? R) ,其图象如图所 ax ? bx ? c 示, a : b : c : d ? .
2

16.已知一个公园的形状如图所示,现有 4 种不同的植物 要全部都种在此公园的 A,B,C,D,E 这五个区域内,要 求有公共边界的的两块相邻区域种不同的植物,共有

种不同的种法 2 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 . 0 0 17.(12 分)在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a.b.c,且 9 2 C 2 2 BC 边上中线 AM 的长为 7 . ,0 a ? (b ? c) ? (2 ? 3)bc , sin A sin B ? cos 2 5 (Ⅰ) 求角 A 和角 B 的大小;(Ⅱ) 求 ?ABC 的面积. 1 3
2 18.(12 分)已知数列 ?an ? 是各项均不为 0 的等差数列, Sn 为其前 n 项和,且满足 an ? S2n?1 ,令 bn ?

数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn .

1 , an ? an ?1

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式及数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ; (Ⅱ)是否存在正整数 m, n (1 ? m ? n) ,使得 T1 , Tm , Tn 成等比数列?若存在,求出所有的 m, n 的值;若不存在,请说明理由. 19.(12 分)如图,已知 ABCD 为平行四边形, ?A ? 60? , AF 2 ? 2 FB , AB ? 6 ,点 E 在 CD 上, EF // BC , BD ? AD , BD 与 EF 相交于 N .现将四边形 ADEF 沿 EF 折起,使点 D 在平面 BCEF 上 0 的射影恰在直线 BC 上. (Ⅰ)求证: BD ? 平面 BCEF ; 0 (Ⅱ)求折后直线 DN 与直线 BF 所成角的余弦值;(Ⅲ)求三棱锥 N—ABF 的体积. 9 0 5 1 3

x2 y 2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的长轴长为 4 ,离心率为 , F1 , F2 分别为其左右焦点.一动 2 2 a b 圆过点 F2 ,且与直线 x ? ?1 相切. (Ⅰ)求椭圆 C1 的方程; (Ⅱ)求动圆圆心轨迹 C 的方程;
20. (12 分)已知椭圆 C1 : (Ⅲ) 在曲线 C 上有两点 M、N,椭圆 C 上有两点 P、Q,满足 MF2 与 NF2 共线, PF2 与 QF2 共线,且

PF2 ? MF2 ? 0 ,求四边形 PMQN 面积的最小值.
21. (12 分)已知函数 f ( x) ? ln(ax ? 1) ? x ? x ? ax.
3 2

2 为 f ( x) 的极值点,求实数 a 的值; 3 (Ⅱ)若 y ? f ( x) 在 [1,??) 上为增函数,求实数 a 的取值范围; b 3 (Ⅲ)若 a ? ?1 使,方程 f (1 ? x) ? (1 ? x) ? 有实根,求实数 b 的取值范围. x
(Ⅰ)若 x ?

请考生在第 22、23 两题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。 22. (10 分) 选修 4-1 几何证明选讲如图所示,已知 PA 与⊙O 相切,A 为切点,PBC 为割线,,弦 CD∥AP,AD、BC 相交于 E 点,F 为 CE 上一点,且 DE2=EF· EC? (Ⅰ)求证:?P=?EDF; A (Ⅱ)求证:CE· EB=EF· EP. O · F C D 23. (10 分) 选修 4-5:不等式选讲 (Ⅰ)若 | a |? 1, | b |? 1,比较 | a ? b | ? | a ? b | 与 2 的大小,并说明理由; (Ⅱ)设 m 是 | a |, | b | 和 1 中最大的一个,当 | x |? m时, 求证 :| E P B

a b ? |? 2. x x2

2010—2011 学年上期第二次月考高三年级理科数学试题 参考答案
一、选择题 1.D 2.B 3.C 4.A 5.B 6.D 7.A 8.C 9.A 10.C 11.C 12.D 二、填空题 13.

x2 y2 ? ?1 5 20

14.

4 3

15.1: (-6) :5(-8)16.96

三、解答题 17.解: (Ⅰ)由 a2 ? (b ? c)2 ? (2 ? 3)bc得 a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? 3bc,

? b2 ? c 2 ? a 2 3 ---4 分 ? , A? . 6 2bc 2 1 1 ? cos C 2 C 由 sin A sin B ? cos ,得 sin B ? 即 sin B ? 1 ? cos C 2 2 2 5 则 cos C ? 0 ,即 C 为钝角,故 B 为锐角,且 B ? C ? ? 6 5 ? 2 ? 则 sin( ? ? C ) ? 1 ? cos C ? cos( C ? ) ? ?1 ? C ? ? 故 B ? . 6 3 3 6 2 2 x x 1 2 2 ? 2 x ? ? (? ) ? 7 (Ⅱ)设 AC ? x , 由余弦定理得 AM ? x ? 4 2 2 1 3 解得 x ? 2 故 S ?ABC ? ? 2 ? 2 ? ---------14 分 ? 3. 2 2
? cos A ?
18.解: (1)因为 ?an ? 是等差数列,由 an ? S2 n ?1 ?
2

(a1 ? a2 n ?1 )(2n ? 1) ? (2n ? 1)an , 2

又因为 an ? 0 ,所以 an ? 2n ? 1, 由 bn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ), an an?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 1 1 n (1 ? ? ? ? ? ? ? )? . 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 n (2)由(1)知, Tn ? , 2n ? 1 1 m n , Tn ? 所以 T1 ? , Tm ? , 3 2m ? 1 2n ? 1 m 2 1 n ) ? ( ), 若 T1 , Tm , Tn 成等比数列,则 ( 2m ? 1 3 2n ? 1
所以 Tn ? 即

m2 n ? . 2 4m ? 4m ? 1 6n ? 3 m2 n ? , 2 4m ? 4m ? 1 6n ? 3

解法一:由

可得

3 ?2m2 ? 4m ? 1 2 ? , 所以 ?2m ? 4m ? 1 ? 0 , 2 n m

从而 1 ?

6 6 * ,又 m ? N ,且 m ? 1 ,所以 m ? 2 , ? m ? 1? 2 2

此时 n ? 12 .故当且仅当 m ? 2 , n ? 12 , 数列 ? Tn ?中的 T1 , Tm , Tn 成等比数列. 解法二:因为

n 1 1 ? ? , 3 6n ? 3 6 ? 6 n



m2 1 ? ,即 2m2 ? 4m ?1 ? 0 , 2 4m ? 4m ? 1 6

6 6 ,(以下同上) . ? m ? 1? 2 2 19.解: (Ⅰ) EF ? DN , EF ? BN ,得 EF ? 面 DNB 则平面 BDN ? 平面 BCEF , 由 BN ? 平面 BDN ? 平面 BCEF , 则 D 在平面 BCEF 上的射影在直线 BN 上, 又 D 在平面 BCEF 上的射影在直线 BC 上, 则 D 在平面 BCEF 上的射影即为点 B , 故 BD ? 平面 BCEF . --------4 分
从而 1 ? (Ⅱ)法一.如图,建立空间直角坐标系, ∵在原图中 AB=6,∠DAB=60° , 则 BN= 3 ,DN=2 3 ,∴折后图中 BD=3,BC=3 ∴N(0, 3 ,0),D(0,0,3),C(3,0,0) NF ?

1 CB =(-1,0,0) 3

∴ BF ? BN ? NF ? (-1, 3 ,0) DN ? (0, 3 ,-3) ∴ cos ? BF, DN ? =

BF ? DN | BF | ? | DN |

?

3 4

∴折后直线 DN 与直线 BF 所成角的余弦值为

3 4

-----9 分

法二.在线段 BC 上取点 M,使 BM=NF,则 MN∥BF ∴∠DNM 或其补角为 DN 与 BF 所成角. 又 MN=BF=2,DM= BD2 ? BM 2 ? 10, DN ? 2 3 . ∴ cos?DNM ?

DN 2 MN 2 ? DM 2 3 ? 2 DN ? MN 4 3 4

∴折后直线 DN 与直线 BF 所成角的余弦值为 (Ⅲ)∵AD∥EF,

∴A 到平面 BNF 的距离等于 D 到平面 BNF 的距离,

∴ VN ? ABF ? V A? BNF ? VD ? BNF ? 即所求三棱锥的体积为

1 3 S ?BNF ? BD ? 3 2

3 ------14 分 2 ?2a ? 4 ?a ? 2 ? 20.解: (Ⅰ)由已知可得 ? ? b2 ? a2 ? c2 ? 3, c 1 ?? e? ? ?c ? 1 ? ? a 2 x2 y2 ? ?1. 则所求椭圆方程 C1 : --------3 分 4 3 (Ⅱ)由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线,且抛物线 C 的焦点为 (1,0) ,准线方程为 x ? ?1 ,则动圆圆心轨
迹方程为 C : y 2 ? 4 x . --------6 分 (Ⅲ)当直线 MN 的斜率不存在时, | MN |? 4 , 此时 PQ 的长即为椭圆长轴长, | PQ |? 4 从而 S PMQN ?

设直线 MN 的斜率为 k,则 k≠0,直线 MN 的方程为: y ? k ( x ? 1)

1 1 | MN | ? | PQ |? ? 4 ? 4 ? 8 2 2

---8 分

1 ( x ? 1) k 设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ), P( x3 , y3 ),Q( x4 , y4 )
直线 PQ 的方程为 y ? ? 由?

? y ? k ( x ? 1) ? y ? 4x
2

,消去 y 可得 k x ? (2k ? 4) x ? k ? 0
2 2 2 2

由抛物线定义可知:

| MN |?| MF2 | ? | NF2 |? x1 ? 1 ? x2 ? 1 ?

2k 2 ? 4 4 ?2 ? 4? 2 2 k k

---10 分

1 ? y ? ? ( x ? 1) ? ? k 2 2 2 由? 2 消去 y 得 (3k ? 4) x ? 8x ? 4 ? 12k ? 0 , 2 ?x ? y ?1 ?4 3 ?

12(1 ? k 2 ) 3k 2 ? 4 1 1 4 12(1 ? k 2 ) (1 ? k 2 ) 2 ? 24 ∴ S PMQN ? | MN | ? | PQ |? (4 ? 2 ) 2 2 k 3k 2 ? 4 3k 4 ? 4k 2 2 令1 ? k ? t , ∵ k ? 0, 则 t ? 1
从而 | PQ |? 1 ? (? ) | x3 ? x4 |?
2

1 k

---12 分

则 S PMQN

1 24t 2 24t 2 ? | MN | ? | PQ |? ? ? 2 3(t ? 1) 2 ? 4(t ? 1) 3t 2 ? 2t ? 1

24 2 1 3? ? 2 t t

2 1 1 ? 2 = 4 ? (1 ? ) 2 ? (0,3) t t t 24 所以 S PMQN = >8 2 1 3? ? 2 t t 3?

----14 分

所以四边形 PMQN 面积的最小值为 8 21.解: (I) f ?( x) ?

----15 分
2 2

a x[3a ? (3 ? 2a) x ? (a ? 2)] ? 3x 2 ? 2 x ? a ? ax ? 1 ax ? 1 2 2 ? x ? 为f ( x) 的极值点,? f ?( ) ? 0 3 3 2 2 2 ? 3a( ) 2 ? (3 ? 2a) ? (a 2 ? 2) ? 0且 a ? 1 ? 0 ? a ? 0 3 3 3 2 又当 a ? 0 时, f ?( x) ? x(3x ? 2) , 从而 x ? 为f ( x) 的极值点成立. 3 (II)因为 f ( x)在[1,??) 上为增函数,

x[3a 2 x ? (3 ? 2a) x ? (a 2 ? 2)] ? 0在[1,??) 上恒成立. 6分 ax ? 1 若 a ? 0 ,则 f ?( x) ? x(3x ? 2) ,? f ( x)在[1,??) 上为增函数不成产? 若 a ? 0,由ax ? 1 ? 0对x ? 1恒成立知a ? 0.
所以 所以 3ax2 ? (3 ? 2a) x ? (a 2 ? 2) ? 0对x ? [1,??) 上恒成立. 令 g ( x) ? 3ax2 ? (3 ? 2a) x ? (a 2 ? 2) , 其对称轴为 x ? 因为 a ? 0, 所以

1 1 ? , 3 2a

1 1 1 ? ? , 从而 g ( x)在[1,??) 上为增函数. 3 2a 3 2 所以只要 g (1) ? 0 即可,即 ? a ? a ? 1 ? 0

1? 5 1? 5 1? 5 又因为 a ? 0, 所以0 ? a ? 10 分 ?a? . 2 2 2 b 3 (III)若 a ? ?1 时,方程 f (1 ? x) ? (1 ? x) ? x b 2 可得 ln x ? (1 ? x) ? (1 ? x) ? x 2 2 3 即 b ? x ln x ? x(1 ? x) ? x(1 ? x) ? x ln x ? x ? x 在x ? 0 上有解
所以 即求函数 g ( x) ? x ln x ? x ? x 的值域.
2 3

法一: b ? x(ln x ? x ? x ) 令 h( x) ? ln x ? x ? x
2

2

1 (2 x ? 1)(1 ? x) ? x ? 0 ?当0 ? x ? 1时, h?( x) ? 0 , ? 1 ? 2x ? x x 从而 h( x)在(0,1) 上为增函数;当 x ? 1 时, h?( x) ? 0 ,从而 h( x)在(1,??) 上为减函数. 15 分 ? h( x) ? h(1) ? 0, 而h( x) 可以无穷小.? b的取值范围为 (??,0]
由 h?( x) ? 法二: g ?( x) ? ln x ? 1 ? 2 x ? 3x g ??( x) ?
2

1 6x 2 ? 2x ? 1 ? 2 ? 6x ? ? x x

1? 7 1? 7 时, g ??( x) ? 0 ,所以 g ?( x)在0 ? x ? 上递增; 6 6 1? 7 1? 7 时, g ??( x) ? 0, 所以 g ?( x)在c ? 当x ? 上递减; 6 6 1? 7 又 g ?(1) ? 0,? 令g ?( x0 ) ? 0,0 ? x0 ? ?当0 ? x ? x0时, g ?( x) ? 0, 6 所以 g ( x)在0 ? x ? x0 上递减;当 x0 ? x ? 1 时, g ?( x) ? 0 ,
当0 ? x ?

所以 g ( x)在x0 ? x ? 1 上递增;当 x ? 0时, g ( x) ? 0, 所以g ( x)在x ? 1 上递减; 又当 x ? ??时, g ( x) ? ?? ,

22. 证明: (1)∵DE2=EF· EC, ∴DE ? CE=EF? ED. ∵?DEF 是公共角, ∴ΔDEF∽ΔCED. ∴?EDF=?C. ∵CD∥AP, ∴?C=? P. ∴?P=?EDF.----5′ (2)∵?P=?EDF, ?DEF=?PEA,∴ΔDEF∽ΔPEA. ∴DE ? PE=EF ? EA. 即 EF· EP=DE· EA.∵弦 AD、BC 相交于点 E, ∴DE· EA=CE· EB.∴CE· EB=EF· EP. 10′ 23.解: (1) | a ? b | ? | a ? b |? 2. (2)因为 | x |? m ?| b | 且 | x |? m ? 1, 所以 | x |?| b | .
2

1 g ( x) ? x ln x ? x 2 ? x 3 ? x( l nx ? x ? x 2 ) ? x( l nx ? ) 4 1 当 x ? 0时, ln x ? ? 0, 则 g ( x) ? 0, 且g (1) ? 0 所以 b的取值范围为 (??,0] 4

又因为 | x |? m ?| a |, 所以 | 故原不等式成立.

a b a b | a | | b | | x | | x |2 ? 2 |?| | ? | 2 |? ? ? ? ? 2, x x x | x | | x |2 | x | | x |2 x


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