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2012-2013学年度第二学期高二期末(理科答案)6月28日


石家庄市 2012~2013 学年度第二学期期末考试试卷

高二数学(理科)参考答案
一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1-5.ABDAC 6-10.CABCC 11-12. DA

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.

16 3

14. ? 29

15. 72

16.

2011 6042

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.解: (I)当 a ? 0 时, f ( x) ? x 2 ? e x , f ?( x) ? (2 x ? x 2 ) ? e x ,………………2 分

f ?(1) ? 3e ,
所以,当 a ? 0 时,曲线 y ? f (x) 在点 (1 , f (1)) 处的切线的斜率为 3e ………………4 分
2 x (II)当 a ? 1 时, f ( x) ? ( x ? x ? 1)e ,

f ?( x) ? (2x ? 1)e x ? ( x 2 ? x ? 1)e x ? ( x ? 1)(x ? 2)e x ………………6 分
所以当 x 变化时, f ?(x) 、 f (x) 的变化情况如下表:

x
f ?(x)

(?? , ? 2)
+ ↗

?2
0 极大值

(?2 , 1)
— ↘

1
0 极小值

(1 , ? ?)
+ ↗

f (x)
……………8 分

所以, f (x) 的极大值为 f ( ?2) ?

5 ,极小值为 f (1) ? ?e ………………10 分 e2

18.解:(Ⅰ)因为按性别比例分层抽样, 所以抽取男生

15 25 ? 8 ? 3 位,抽取女生 ?8 ? 5 位 25 ? 15 25 ? 15

所以男、女生分别抽取抽取 3 位和 5 位才符合抽样要求………………5 分

(Ⅱ)因为 r ?

? (x
i ?1

8

i

? x )( yi ? y )
8

? (x
i ?1

8

?

i

? x ) 2 ? ( y j ? y) 2
j ?1

727 ? 0.99,……………6 分 31.8 ? 23.1

所以物理成绩 y 与数学成绩 x 之间有较强的线性相关关系,……………8 分

? 根据所给的数据,可以计算得出 b ?

? (x
i ?1 8

8

i

? x )( y i ? y )
i

? (x
i ?1

?

? x)2

727 ? 0.72 ,……………10 分 1014

? ? a ? y ? bx ? 84 ? 0.72? 77 ? 28.56,……………11 分
? 所以 y 与 x 的回归直线方程为 y ? 0.72 x ? 28.56 .………………12 分
19.解: (I)设事件 C 表示“这 3 人中恰有 2 人是低碳族” ……………1 分
2 P(C) ? C3 ? 0.82 ? 0.2 ? 0.384………………4 分

答:甲、乙、丙这 3 人中恰有 2 人是低碳族的概率是 0.384 ……………5 分 (II)设 A 小区有 x 人,两周后非低碳族的概率 P ?

x ? 0.5 ? (1 ? 0.2) 2 ? 0.32 , x

故低碳族的概率是 P ? 1 ? 0.32 ? 0.68 ……………8 分 随机地从 A 小区中任选 25 个人,这 25 个人是否为低碳族相互独立,且每个人是低碳族的概率都 是 0.68 , 故这 25 个人中低碳族人数服从二项分布,故 X ~ B ( 25 , 0.68) ,……………10 分 所以, E ( X ) ? 25? 0.68 ? 17 ………………12 分 20.解: (I)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2 ? a1 ,∴a1 ? 1 当 n ? 2 时, a1 ? a2 ? S 2 ? 2 ? 2 ? a2 ,∴a 2 ?

3 2 7 4 15 8

当 n ? 3 时, a1 ? a2 ? a3 ? S3 ? 2 ? 3 ? a3 ,∴a 3 ?

当 n ? 4 时, a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? S 4 ? 2 ? 4 ? a4 ,∴a 4 ? 由此猜想 a n ?

2n ?1 ( n ?N*).………………5 分 n ?1 2

21-1 (II)证明: (i)当 n=1 时,左边=a1=1,右边= 0 =1,左边=右边,结论成立.……6 分 2 (ii)假设 n ? k (k ? 1 且 k ? N*)时,结论成立,即 a k ?

2k ?1 ,……………8 分 2 k ?1

那么 n ? k ? 1 时, ak ?1 ? S k ?1 ? S k ? 2(k ? 1) ? ak ?1 ? 2k ? ak ? 2 ? ak ? ak ?1 ,

∴2ak ?1 ? 2 ? ak ,∴a k ?1

2k ? 1 2 ? k ?1 2 ? ak 2 k ?1 ? 1 2 ? ? ? , 2 2 2k

∴n ? k ? 1 时,结论成立,……………11 分 由(i) (ii)可知,猜想 a n ?

2n ?1 成立.………………12 分 2 n ?1

n(ad ? bc)2 50(20 ? 15 ? 10 ? 5) 2 21. )解:因为 K ? (Ⅰ ? ? 8.333 ,……2 分 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 25? 25? 30 ? 20
2

又 8.333 ? 7.879 ,……………4 分 所以,我们有 99.5% 的把握认为患心肺疾病是与性别有关系的. ………………6 分 (Ⅱ )解: ? 的所有可能取值:0,1,2,3 ……………7 分
3 1 2 C7 C3 ? C7 35 7 63 21 P(? ? 0) ? 3 ? ? ; P(? ? 1) ? ? ? ; 3 C10 120 24 C10 120 40 1 3 C32 ? C7 21 C3 7 1 ? ? ; P(? ? 3) ? 3 ? ; ……………9 分 3 C10 120 40 C10 120

P(? ? 2) ?

分布列如下:

?
P

0

1

2

3

7 24

21 40

7 40

1 120

……………10 分

7 21 7 1 9 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 24 40 40 120 10 9 所以, ? 的数学期望为 E (? ) ? ………………12 分 10
则 E? ? 0 ? 22.解: (I) f ?( x) ? 2ax ? 由于 x ? (0 , ? ?) ,所以 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,∴ f (x) 在 (0 , ? ?) 上是减函数……………3 分

1 2ax2 ? 1 ? ,……………1 分 x x

2a ( x ?
当 a ? 0 时, f ?( x ) ?

1

2a x

)(x ?

1 2a

)

当 x 变化时, f ?(x) 、 f (x) 的变化情况如下表:

x
f ?(x)
f (x)
则 f (x) 在 (0 ,

(0 ,
— ↘

1 2a

)

1 2a
0 极小值

(

1 2a

, ? ?)

+ ↗

1 2a

) 上是减函数,在 (

1 2a

, ? ?) 上是增函数;……………5 分

综上所述,当 a ? 0 时, f (x) 的单调递减区间是 (0 , ? ?)

当 a ? 0 时, f (x) 的单调递减区间是 (0 ,

2a 2a , ? ?) …………6 分 ) ,单调递增区间是 ( 2a 2a

(II)当 a ?

1 2a 时, ? e, 2 2e 2a

由(I)知 f (x) 在 (0 ,

1 2a

) 上是减函数,在 (

1 2a

, ? ?) 上是增函数,

所以, f ( x1 ) 的最小值是 f ( 又因为 g ?( x) ?

2a 1 1 ) ? ? ln(2a) ,则 2 f ( x) 的最小值为 1 ? ln(2a) ………8 分 2a 2 2

2a 1 1 ? ? ,在 (0 , e] 上 g ?( x) ? 0 ,所以 g (x) 在 (0 , e] 上单调递增, x 2a x

所以 g ( x2 ) 在 (0 , e] 上的最大值是 g (e) ? ?4 ? ln(2a) ,……………10 分

?(1 ? ln(2a)) ? (?4 ? ln(2a)) ? 7, ? 故由题设知 ? 1 ?a ? 2e2 . ?
解得

1 e 1 e ? a ? ,故 a 的取值范围是 ( 2 , ) ………………12 分 2 2 2 2e 2e

附加题: (以下是选修系列四三选一的内容,各校可根据本校的情况,酌情选择此题) 【几何证明选讲】 解: (I)连接 DE,根据题意在△ADE 和△ACB 中, AD× AB=mn=AE× AC, 即

AD AE ? ,又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ AC AB

ACB , 因此∠ADE=∠ACB 所以 C,B,D,E 四点共圆.………………5 分

(Ⅱ)若 m=6,n=8,方程 x ? 16x ? mn ? 0 的两根为 x1 ? 4, x2 ? 12 ,故 AD=4,AB=12.
2

取 CE 的中点 G,DB 的中点 F,分别过 G,F 作 AC,AB 的垂线,两垂线相交于 H 点,连接 DH. 因为 C,B,D,E 四点共圆,所以 C,B,D,E 四点所在圆的圆心为 H,半径为 DH. 由于 ?A ? 90 ,故 GH∥AB, HF∥AC. HF=AG=7,DF=4
?

故 C,B,D,E 四点所在圆的半径为 65 ………………10 分 【坐标系与参数方程】 解: (I)由 l1 的参数方程可知: k1 ?

y ?1 m 3 ? , l2 : 3x ? 4 y ? 4 ,? k 2 ? ? x?2 3 4

? 直线 l1与l2垂直 ,?k1k2 ? ?1 ? m ? 4 ………………5 分
(II)曲线 C 的直角坐标方程为

? x ? 2 ? 3t x2 y 2 ? ? 1 ,将直线 l1 的参数方程为 ? 代入得: 9 4 ? y ? 1 ? 4t
55 ………10 分 36

180t 2 ? 120t ? 11 ? 0 ,由参数 t 的几何意义得: MA ?MB ? 25 t1t2 ?
【不等式选讲】 解: (I)由 f ( x) ? a 得

1? a 1? a ?x? ,因为解集为 {x | 0 ? x ? 1} , 2 2

?1 ? a ? 2 ?0 ? 所以, ? ,解得 a ? 1 ………………5 分 ?1 ? a ? 1 ? 2 ?
(II)由函数 g ( x) ?

1 1 ? 的定义域为 R 知, f ( x) ? f ( x ? 1) ? m | 2 x ? 1 | ? | 2 x ? 1 | ? m

对任意实数 x 有 | 2 x ? 1 | ? | 2 x ? 1 | ?m ? 0 恒成立 由于 | 2 x ? 1 | ? | 2 x ? 1 |?| 1 ? 2 x ? 1 ? 2 x |? 2 ,所以 m ? ?2 即 m 的取值范围是 (?2 , ? ?) ………………10 分


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