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初高中物理衔接—数学专题.word(教师版)


数学知识的准备
一、乘法公式
1、我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式: (1)平方差公式 (2)完全平方公式

(a ? b)(a ? b) ? a 2 ? b 2 (a ? b)2 ? a 2 ? 2ab ? b 2

(a ? b ? c)2 ? a 2 ? b2 ? c 2 ? 2ab ? 2ac ? 2bc
2、我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式: (1)立方和公式 (2)立方差公式 (3)两数和立方公式 (4)两数差立方公式

(a ? b)(a 2 ? ab ? b 2 ) ? a3 ? b3 (a ? b)(a 2 ? ab ? b 2 ) ? a3 ? b3 (a ? b)3 ? a3 ? 3a 2b ? 3ab2 ? b3 (a ? b)3 ? a3 ? 3a 2b ? 3ab2 ? b3
2 2 2

对上面列出的五个公式,有兴趣的同学可以自己去证明. 【课堂练习 1】 已知 a ? b ? c ? 4 , ab ? bc ? ac ? 4 ,求 a ? b ? c 的值. 解: a ? b ? c ? (a ? b ? c) ? 2(ab ? bc ? ac) ? 8 .
2 2 2 2

二、 一元二次方程
1、根的判别式 我们知道,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) ,用配方法可以将其变形为

(x ?

b 2 b 2 ? 4ac ) ? . 2a 4a 2
?b ? b 2 ? 4ac ; 2a



(1)当 b2-4ac>0 时,方程①的右端是一个正数,因此,原方程有两个不相等的实数根 x1,2=

(2)当 b2-4ac=0 时,方程①的右端为零,因此,原方程有两个等的实数根 x1=x2=-

b ; 2a

(3)当 b2-4ac<0 时,方程①的右端是一个负数,而方程①的左边 ( x ? 等于零,因此,原方程没有实数根.

b 2 ) 一定大于或 2a

由此可知,一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况可以由 b2-4ac 来判定,我 们把 b2-4ac 叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式,通常用符号“Δ”来表 示. 综上所述,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) ,有 (1) 当 Δ>0 时,方程有两个不相等的实数根

?b ? b 2 ? 4ac x1,2= ; 2a
(2)当 Δ=0 时,方程有两个相等的实数根 x1=x2=-

b ; 2a

(3)当 Δ<0 时,方程没有实数根.

【课堂练习 2】 判定下列关于 x 的方程的根的情况(其中 a 为常数) ,如果方程有实 数根,写出方程的实数根. (1)x2-3x+3=0; (2)由于该方程的根的判别式为 Δ=22-4× a=4-4a=4(1-a), 1× 所以 ①当 Δ>0,即 4(1-a) >0,即 a<1 时,方程有两个不相等的实数根 (2)x2-2x+a=0. 解: (1)∵Δ=32-4× 3=-3<0,∴方程没有实数根. 1×

x1 ? 1 ? 1 ? a ,
x1=x2=1;

x2 ? 1 ? 1 ? a ;

②当 Δ=0,即 a=1 时,方程有两个相等的实数根 ③当 Δ<0,即 a>1 时,方程没有实数根. 说明:在第 3,4 小题中,方程的根的判别式的符号随着 a 的取值的变化而变化,于是, 在解题过程中,需要对 a 的取值情况进行讨论,这一方法叫做分类讨论.分类讨论这一思想 方法是高中数学中一个非常重要的方法,在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问 题.

2.2 根与系数的关系(韦达定理) 如果 ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别是 x1,x2,那么 x1+x2= ? 关系也被称为韦达定理. 【选用例题】 已知方程 5x
2

b c ,x1·2= .这一 x a a

? kx ? 6 ? 0 的一个根是 2,求它的另一个根及 k 的值.

分析:由于已知了方程的一个根,可以直接将这一根代入,求出 k 的值,再由方程解出 另一个根.但由于我们学习了韦达定理,又可以利用韦达定理来解题,即由于已知了方程的 一个根及方程的二次项系数和常数项, 于是可以利用两根之积求出方程的另一个根, 再由两 根之和求出 k 的值. 解法一:∵2 是方程的一个根, ∴5× 2+k× 2 2-6=0, ∴k=-7. 所以,方程就为 5x2-7x-6=0,解得 x1=2,x2=- 所以,方程的另一个根为-

3 . 5

3 ,k 的值为-7. 5 6 3 ,∴x1=- . 5 5

解法二:设方程的另一个根为 x1,则 2x1=-

3 k )+2=- ,得 k=-7. 5 5 3 所以,方程的另一个根为- ,k 的值为-7. 5
由 (-

三、直角三角形
1、弧度与角度的转换关系 1度=π/180弧度( ≈0.017453弧度 ) 1弧度=180°/π (≈57.3°) 4π/3 弧度=4π/3 ×180°/π = 240° 【课堂练习3】 360° =360×π/180 =2π 弧度

2、弧长与圆心角、半径的关系 弧长 l ? ? ? r 周长 c ? 2? ? r 3、在 Rt△ABC 中,∠C=90゜,AB=c,BC=a,AC=b, 1) 、三边关系(勾股定理) : 2) 、锐角间的关系:∠ 3) 、边角间的关系: sinA = sinB = 4、填表 ; cosA = ; cosB= sin ?
0

? 为圆心角(弧度单位)

+∠

= 90° ; tanA = ; tanB = cos ? tan ? ; cotA = ; cotB = cot ? ;

?
30 45 60

0

2 2

0

5、同角三角函数的基本关系式
2 s i n? ? c o 2 ? ? 1 s

tan ? ?

s in ? c o? s

c o? ? t

c o? s s in ?

6、正弦、余弦的诱导公式 诱导公式一:

sin( ? ? ) ? cos? 2
诱导公式二:

?

c o s ( ??) ? s i n ? 2 s i n ( ? ?) ? -c o ? s 2
cos( ? +α )=-cosα cos( ? -α )=-cosα cos(2k· +α )=cosα ?

?

tan( ? ? ) ? cot? 2 tan( ? ? ) ? - cot? 2
tan( ? +α )=tanα tan( ? -α )=-tanα tan(2k· +α )=tanα ?

?

sin( ? ? ) ? cos? 2
诱导公式三: sin( ? +α )=-sinα 诱导公式四: sin( ? -α )=sinα 诱导公式五 (k∈Z): sin(2k· +α )=sinα ? 诱导公式六:

?

?

?

sin(2 ? -α )=sin(-α )=-sinα ? cos(2 ? -α )=cos(-α )=cosα ?? tan(2 ? -α )= tan(-α )=-tanα 【课堂练习 4】 (2009 全国卷Ⅰ文) sin585 的值为 (A) ?
o

2 2

(B)

2 2

(C) ?

3 2

(D)

3 2

解析:本小题考查诱导公式、特殊角的三角函数值,基础题。

sin585o ? sin(360o ? 225o ) ? sin(180o ? 45o ) ? ? sin45o ? ?

2 ,故选择 A. 2

【课堂练习 5】 (2010 年全国理科)记 cos(?80?) ? k ,那么 tan100? ? A.

1? k2 k

B. -

1? k2 C. k

k 1? k2

D. -

k 1? k2

命题意图:本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识,并突出了弦切 互化这一转化思想的应用.
? 2 ? 2 ? 2 解析: sin 80 ? 1 ? cos 80 ? 1 ? cos ( ?80 ) ? 1 ? k ,

? 所以 tan100? ? ? tan80 ? ?

sin 80? 1? k 2 ?? . 故选择 B cos80? k

7、三角形的“四心” 三角形是最重要的基本平面图形,很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题. 在三角形中,角平分线、中线、高是三角形中的三种重要线段. 重心:三角形的三条中线相交于一点,这个交点称为三角形的重心(如图 7.1) 。 三角形的重心在三角形的内部,恰好是每条中线的三等分点.

图 7.1

图 7.2

垂心:三角形的三条高所在直线相交于一点,该点称为三角形的垂心。 锐角三角形的垂心一定在三角形的内部, 直角三角形的垂心为它的直角顶点, 钝角三角 形的垂心在三角形的外部.(如图 7.2) 外心:过不共线的三点 A、B、C 有且只有一个圆,该圆是三角形 ABC 的外接圆,圆 心 O 为三角形的外心(如图 7.3) 。三角形的外心到三个顶点的距离相等,是各边的垂直平 分线的交点.

内心:三角形的三条角平分线相交于一点,是三角形的内心. 三角形的内心在三角形 的内部,它到三角形的三边的距离相等.(如图 7.4) C O A 图 7.3 B 图 7.4

【选用例题 2】 已知 ?ABC 的三边长分别为 BC = a, AC = b, AB = c , 为 ?ABC 的内心, I 且 I 在 ?ABC 的边 BC、AC、AB 上的射影分别为 D、 F, E、

b+ c- a . 2 证明 作 ?ABC 的内切圆,则 D、E、F 分别为内切圆在三
求证: AE = AF = 边 上 的 切 点 , AE, AF 为 圆 的 从同 一 点 作 的 两 条切 线 , Q

\ AE = AF ,
同理,BD=BF,CD=CE.

\ b + c - a = AF + BF + AE + CE - BD - CD = AF + AE = 2 AF = 2 AE
即 AE = AF =

b+ c- a . 2

【选用例题 3】若三角形的内心与重心为同一点,求证:这个三角形 为正三角形。 证明:如图,O 为三角形 ABC 的重心和内心。连 AO 并延长交 BC 于 D。O 为三角形的内心,故 AD 平分 ?BAC ,

\

AB BD (角平分线性质定理) = AC DC
O 为三角形的重心,D 为 BC 的中点,即 BD=DC.

\

AB = 1 ,即 AB = AC . AC
同理可得,AB=BC.

?ABC 为等边三角形.

四、函数及图像 1、 一次函数及图像:
(1)若两个变量 y , x 间的关系式可以表示成 y ? kx ? b ( b 为常数, k 不等于 0)的形 式,则称 y 是 x 的一次函数。

一次函数 y=kx+b(k≠0)是过(0,b),( ? (2)当 b =0 时,称 y 是 x 的正比例函数。

b ,0)两点的一条直线. k

正比例函数是当 y=kx+b 中 b=0 时特殊的一次函数. 正 比例函数 y=kx(k≠0)是过(0,0),(1,k)两点的一条直线, 是经过原点的一条直线。 (3)一次函数的图象斜率 ①斜率的定义:平面直角坐标系中,已知两点 P(x1,y1),Q(x2,y2),

如果 x1≠x2,则直线 PQ 的斜率是 k ?

y 2 ? y1 ?y ? . x 2 ? x1 ?x

② 几何意义:斜率是反映直线相对于 x 轴正方向的倾斜程度, ③ 直线倾斜角与斜率的关系

k=tan ? ( ? ≠900)
?

0 0 ? ? ? 180 0

? 为锐角时,k>0; k 越大,直线倾斜度越大 ? ? 为钝角时,k<0; k 越大,直线倾斜度越大 ? ? =0°时, k=0; ? ? =90°时,k 不存在。
④ 记住下列三角函数值 00 sin cos tan
3 3

300

450

600

900

1200

1350
2 2

1500

1800

2、 二次函数
(1)二次函数的一般表示方式: :

b 2 4ac ? b 2 y ? ax ? bx ? c ? a( x ? ) ? ( a ? 0 ), 2a 4a
2

对称轴是 x ? ?

b , 2a

(- 顶点是

b 4ac ? b 2 , ); 2a 4a

(2) 二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0) 的性质: ①函数 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) 的图象关于直线 x ? ?
2

b 对称。 2a

② a ? 0 时,在对称轴 ( x ? ? (x??

b )左侧, y 值随 x 值的增大而减少;在对称轴 2a

4ac ? b 2 b b )右侧; y 的值随 x 值的增大而增大。当 x ? ? 时, y 取得最小值 4a 2a 2a

③ a ? 0 时,在对称轴 ( x ? ? (x??

b )左侧, y 值随 x 值的增大而增大;在对称轴 2a

4ac ? b 2 b b )右侧; y 的值随 x 值的增大而减少。当 x ? ? 时, y 取得最大值 4a 2a 2a
y

b x=- 2a

y

A (?

b 4ac ? b 2 , ) 2a 4a

O A (?

x

O x=- 图 2.2-4

x

b 4ac ? b 2 , ) 2a 4a

b 2a

上述二次函数的性质可以分别通过上图直观地表示出来.因此,在今后解决二次函数问 题时,可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题. 【课堂练习 6】求经过点 A(?2,0), B(?5,3) 两点直线的斜率和倾斜角。

图 2.2-3

附录:高中物理中的数学公式 a b c 1.正弦定理: ? ? ? 2R . sin A sin B sin C 2 2 2 b2 ? c 2 ? a 2 ? 2ca cos B ; 2.余弦定理: a ? b ? c ? 2bc cos A ; c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C . 1 1 1 3.面积定理: (1) S ? aha ? bhb ? chc ( ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 边上的高). 2 2 2 1 1 1 (2) S ? ab sin C ? bc sin A ? ca sin B . 2 2 2
4.常用不等式: (1) a, b ? R ? a ? b ? 2ab (当且仅当 a=b 时取“=”号).
2 2

a?b ? ab (当且仅当 a=b 时取“=”号). 2 3 3 3 (3) a ? b ? c ? 3abc(a ? 0, b ? 0, c ? 0).
(2) a, b ? R ?
?

(4) a ? b ? a ? b ? a ? b 5.极值定理 已知 x, y 都是正数,则有 (1)如果积 xy 是定值 p ,那么当 x ? y 时和 x ? y 有最小值 2 p ; (2)如果和 x ? y 是定值 s ,那么当 x ? y 时积 xy 有最大值 6.三角倒数关系:

1 2 s . 4

1 sin ? 1 sec? ? cos? csc? ?

csc2 ? ?

1 ? 1 ? cot2 ? 2 sin ? 1 sec2 ? ? ? 1 ? tan2 ? 2 cos ?
cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?

7.和角与差角(和差化积)公式: 8.积化和差公式:

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ;

sin ? cos ? ?

1 ?sin?? ? ? ? ? sin?? ? ? ?? cos? cos ? ? 1 ?cos?? ? ? ? ? cos?? ? ? ?? 2 2 1 sin ? sin ? ? ?cos?? ? ? ? ? cos?? ? ? ?? 2
sin(? ? ? )sin(? ? ? ) ? sin 2 ? ? sin 2 ? cos(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? cos 2 ? ? sin 2 ?

9.平方正弦公式、平方余弦公式: 10.二倍角公式 :

sin 2? ? sin ? cos? . cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ? .
2 2

11. a sin ? ? b cos? = a ? b sin(? ? ? ) (辅助角 ? 所在象限由点 (a, b) 的象限决定, tan ? ? 12. 圆的标准方程 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r .
2 2 2

b ). a

2 2 圆的一般方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D ? E ? 4F >0).
2 2

x2 y 2 13.椭圆的标准方程 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b ? x ? a cos ? 椭圆的参数方程是 : ? . ? y ? b sin ? an ? a1 ? (n ? 1)d ? dn ? a1 ? d (n ? N * ) ; 14.等差数列的通项公式: n(a1 ? an ) n(n ? 1) sn ? ? na1 ? d. 其前 n 项和公式: 2 2 a an ? a1q n ?1 ? 1 ? q n (n ? N * ) ; 15.等比数列的通项公式: q

其前 n 项的和公式:

? a1 (1 ? q n ) ? a1 ? an q ,q ?1 ,q ?1 ? ? 或 sn ? ? 1 ? q sn ? ? 1 ? q ?na , q ? 1 ?na , q ? 1 ? 1 ? 1

【课后作业】 1、计算: ( x ? 1)( x ? 1)( x ? x ? 1)( x ? x ? 1) .
2 2
2 2 2 2 解法一:原式= ( x ? 1) ? ( x ? 1) ? x ? ? ?

= ( x ? 1)( x ? x ? 1)
2 4 2

= x ?1 .
6

解法二:原式= ( x ? 1)( x ? x ? 1)( x ? 1)( x ? x ? 1)
2 2

= ( x ? 1)( x ? 1)
3 3

= x ?1 .
6

2、判定下列关于 x 的方程的根的情况(其中 a 为常数) ,如果方程有实数根,写出方程的实 数根. (1) x2-ax-1=0; 解: (1)该方程的根的判别式 Δ=a2-4× (-1)=a2+4>0,所以方程一定有两个不等的 1× 实数根 (2) x2-ax+(a-1)=0;

x1 ?

a ? a2 ? 4 , 2

x2 ?

a ? a2 ? 4 . 2

(2)由于该方程的根的判别式为 Δ=a2-4× (a-1)=a2-4a+4=(a-2)2, 1× 所以, ①当 a=2 时,Δ=0,所以方程有两个相等的实数根 x1=x2=1; ②当 a≠2 时,Δ>0, 所以方程有两个不相等的实数根 x1=1,x2=a-1. 3、在下列图中填写各直角三角形中字母的值.

4、填空 (1)45° = (2) π/6 弧度=

弧度 °

90° = 弧度 2π/3 弧度= °

60° =

弧度

A ? ______; 2 (4)在 Rt⊿ABC 中,∠C=90°,BC=10,AC=4,则 cos B ? _____, tan A ? ______ ; 5 0 (5)已知 Rt△ ABC 中,若 ?C ? 90 , cos A ? , BC ? 24 ,则 AC ? _______. 13
(3)已知∠A 是锐角,且 tan A ?

3, 则 sin

(6)tan675°+tan765°-tan(-330°)+tan(-690°)=

0

25? 25? 25? (7) sin ? cos ? tan(? )= 0 6 3 4 (8)已知直线 l 经过点 P(2,3)与 Q(-3,2),则直线 l 的斜率为
(9)已知点 P(2,3),点 Q 在 y 轴上,若直线 PQ 的斜率为 1,则点 Q 的坐标为 5、 当角度在 0? 到 90? 之间变化时, 函数值随着角度的增大反而减小的三角函数是 A.正弦和正切 B.余弦和余切 6、 (2010 年全国文科) cos300? ? (A) ? C.正弦和余切 D.余弦和正切 ( )

3 2

(B)-

1 2

(C)

1 2

(D)

3 2

本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识

1 . 故选择 C 2 / 7、在平面直角坐标系内 P 点的坐标( cos 30? , tan 45? ) ,则 P 点关于 x 轴对称点 P 的坐
解析 cos300? ? cos ? 360? ? 60? ? ? cos 60? ? 标为 ( A. )

(

3 ,1) 2

B.

(?1,

3 ) 2

C.

(

3 ,?1) 2

D.

(?

3 ,?1) 2

8、一个物体 A 点出发,在坡度为 1 : 7 的斜坡上直线向上运动到 B ,当 AB ? 30 m 时,物体 升高 A ( B ) C

30 m 7

30 m 8

3 2m

D 不同于以上的答案
0

9、一船向东航行,上午 8 时到达 B 处,看到有一灯塔在它的南偏东 60 ,距离为 72 海里的

10、已知 A(3,2), B?? 4,1?, C ?0,?1? ,求直线 AB, BC, CA 的斜率,并判断这些直线的倾斜角 是锐角还是钝角?

A 处,上午 10 时到达 C 处,看到灯塔在它的正南方向,则这艘船航行的速度为( A 18 海里/小时 B 18 3 海里/小时 C 36 海里/小时 D 36 3 海里/小时



A
11、如图,河对岸有铁塔 AB,在 C 处测得塔顶 A 的仰角为 30°, 向塔前进 14 米到达 D,在 D 处测得 A 的仰角为 45°,求铁塔 AB 的高。

C

D

B


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