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广东省汕头市达濠华侨中学东厦中学2019版高三数学上学期第一次联考试题理

2018-2019 学年度第一学期高三级第一次联考试卷 理科数学
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题: (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. 已知全集 U ? R , 集合 A ? x ? N | x 2 ? 2 x ? 0 , B ? ?2,3? , 则 A ? (CU B) ? A. ? 2.复数 z ? A. ?2 B. ?0? C. ?1? ) C. ? 2i D. 2i D. ?0,1?

?

?

2 2 ,则 z ? ( 1? i
B.2

3.在等比数列 ?an ? 中, a1a3 ? a4 ? 4 ,则 a6 ? ( A.6 B. ?8 C. ? 8 D.8

) 第4题

4.函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的部分图象如图所示,则 A. y ? 2 sin( x ? C. y ? 2 sin( x ?
5

? ?
6 3

) )

B. y ? 2 sin( 2 x ? D. y ? 2 sin( 2 x ?

?
6 )

)

?

3

2? ? 5. ? x 2 ? ? 的展开式中 x 4 的系数为( x? ?
A.10 B.20 C.40

) D.80

x2 y2 2 3 ? 1 的渐近线方程为 y ? ? 6.已知双曲线 2 ? x ,则此双曲 a 4 3
线的离心率是( A. 7 2 B. 13 3 ) 5 21 C. D. 3 3

7.执行下面的程序框图,如果输入的 a ? ?1 ,则输出的 S ? A.2 B.3 C.4 D.5

-1-

?x ? y ≤ 2 ? 8.变量 x , y 满足 ? 2 x ? y ≥ ?2 ,则 z ? 3 y ? x 的取值范围为( ?2 y ? x ≥ 1 ?
A. 1,6



? ?

B. ? 2,6?

C. ? 2,5?

D. 1, 2

? ?

9.已知某几何体的外接球的半径为 3 ,其三视图如图所示, 图中均为正方形,则该几何体的体积为( A.16 B. ) D.8 )

16 3

C.

8 3

10.已知 x,y 均为正实数,且 A.24 B.32

1 1 1 + = ,则 x+y 的最小值为( x+2 y+2 6 C.20 D.28

11.过抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0 )的焦点作一条斜率为 1 的直线交抛物线于 A , B 两点向 y 轴引垂线交 y 轴于 D , C ,若梯形 ABCD 的面积为 3 2 ,则 p ? ( A.1 B.2 C.3 D.4 )

12. 若不等式 4 x 2 ? loga x ? 0 对任意 x ? (0, ) 恒成立,则实数 a 的取值范围为( A. ?

1 4



? 1 ? , 1? ? 256 ?

B. ?

? 1 ? , 1? ? 256 ?

C. ? 0,

? ?

1 ? ? 256 ?

D. ? 0,

? ?

1 ? 256? ?

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题纸上)

? log 2 x , x ? 0 f ( x) ? ? x x ? 0 ,则 f [ f ( ?1)] ? ?4 , 13. 设函数
14.曲线 y ? 2 ln(x ? 1) 在点 ?0,0? 处的切线方程为

? ? ? ? ? ? ? ? ? 15.不共线向量 a , b 满足 a ? b ,且 a ? a ? 2b ,则 a 与 b 的夹角为

?

?

16.已知函数 f ( x) ? (m ? 3)(x ? m ? 1)(x ? m), g ( x) ? 2x ? 2 ,若对任意 x ? R ,有 f ( x) >0 或 g ( x) >0 成立,则实数 m 的取值范围是

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分)

-2-

17. (本小题满分 10 分)已知函数 f ( x) ? x ? a 2 ? 2 x ? (1)当 a ? 1 时,解不等式 f ( x) ? 2

2 ?2 a2

2 (2)若对于任意非零实数 a 以及任意实数 x ,不等式 f ( x ) ? b ? x ? a 恒成立,求实数 b 的

取值范围。 18. (本小题满分 12 分)已知等差数列 ?an ?的前 n 项和 Sn 满足 S3 ? 6, S5 ? 15 . (1)求 ?an ?的通项公式;(2)设 bn ?

an ,求数列 ?bn ?的前 n 项和 Tn . 2 an
3 , 5

19.(本小题满分 12 分)在 ?ABC 中, a, b, c 分别是内角 A, B, C 的对边,且 cosB ?

sinAcosB ? ? c ? cosA ? ? sinB ? 0 .
(1)求边 b 的值; (2)求 ?ABC 的周长的最大值. 20. (本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ⊥底面 ABCD , AD ⊥ AB ,

AB ∥ DC , AD ? DC ? AP ? 2, AB ? 1 ,点 E 为棱 PC 的中点.
(1)证明: BE ? DC ; (2)若 F 为棱 PC 上一点,满足 BF ? AC , 求二面角 F ? AB ? P 的余弦值.

21. (本小题满分 10 分) 以直角坐标系的原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知点 M 的直角 坐标为 (1, 0) ,若直线 l 的极坐标方程为 2 ? cos(? ?

?
4

) ? 1 ? 0 ,曲线 C 的参数方程是

? x ? 4t 2 ( t 为参数) . ? y ? 4 t ?
(1)求直线 l 和曲线 C 的普通方程; (2)设直线 l 和曲线 C 交于 A, B 两点,求

1 1 ? . MA MB
-3-

22. (本小题满分 14 分) 红星海水养殖场进行某水产品的新旧养殖方法的产量对比, 收货时在旧养殖的大量网箱中 随机抽取 100 个网箱,在新养殖法养殖的大量网箱中也随机抽取 100 个网箱,测量各箱水产 品的产量,得样本频率分布直方图如下:

(1)填写下列列联表,并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关. 养殖法 旧养殖法 新养殖法 总计 箱产量 箱产量 ? 50kg 箱产量 ? 50kg 总计

(2)设两种养殖方法的产量互相独立,记 A 表示事件: “旧养殖法的箱产量低于 50kg ,新养 殖法的箱产量不低于 50kg ” ,估计 A 的概率; (3)某水产批发户从红星海水养殖场用新养殖法养殖的大量网箱水产品中购买了 50 个网箱 的水产品,记 X 表示箱产量位于区间 ?50,60? 的网箱个数,以上样本在相应区间的频率代替概 率,求 E ( X ) . 附:

-4-

P(k 2 ? k0 )

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

k0

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

(k ?
2

n(ad ? bc) 2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

-5-

2018-2019 学年度第一学期高三级第一次联考(理数)答案 一、选择题 题号 答案 1 D 2 C 3 D 4 B 5 C 6 D 7 B 8 A 9 C 10 C 11 A 12 A

二、填空题 14. 13.-2 三、解答题 14. 2 x ? y ? 0

? 15. 3

16.-3<m<-2

?? 3x ? x, x ? ?1 ? 17. 解: (1)当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? 1 ? 2 x ? 2 ? 2 ? ? x ? 1,?1 ? x ? 1 ?3 x ? 1, x ? 1 ?
所以 f ( x) ? 2 的解集为 ? ? , 1? ????5 分
2 (2) 由 f ( x ) ? b ? x ? a ,得 x ? a 2 ? 2 x ?

? 5 ? ? 3 ?

2 ? 2 ? b ? x ? a2 2 a

即 2( x ? a 2 ? x ?

1 1 1 ) ? b ? 2 ,又 2( x ? a 2 ? x ? 2 ) ? 2 a 2 ? 2 ? 4 2 a a a

所以 b ? 2 ? 4 ,即 b ? 2

2? ????10 分 所以实数 b 的取值范围为 ?? ?,
18.[解析] (1)设等差数列{an}的公差为 d,首项为 a1. ∵S3=6,S5=15, 1 3a1+ ×3×?3-1?d=6, ? ? 2 ∴? 1 5a1+ ×5×?5-1?d=15, ? ? 2

?a1+d=2, ? 即? ?a1+2d=3, ?

?a1=1, ? 解得? ?d=1. ?

????5 分

∴{an}的通项公式为 an =a1+(n-1)d=1+(n-1)×1=n.????6 分

an an n (2)由(1)得 bn= 2 = ,
2n

?Tn ?

1 2 3 n ?1 n ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n ?1 ? n ① 2 2 2 2 2

1 ①式两边同乘 , 得 2

1 1 2 3 n ?1 n Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? n ? n ?1 ,② 2 2 2 2 2 2
-6-

1 1 (1 ? n ) 1 1 1 1 1 n 2 ? n ? 1? 1 ? n , ①-②得 Tn ? ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n ? n ?1 ? 2 1 2 2 2 2 2 2 2n ?1 2n 2n ?1 1? 2
?Tn ? 2 ? (n ? 2)
19.

1 .????12 分 2n

?? ??6 分 (2)由余弦定理得, a 2 ? c 2 ? b 2 ? 2accosB ? 1 ? ∴ ?a ? c? ? 1?
2 2

6 ac . 5

16 16 ? a ? c ? ac ? 1 ? ? ? ,∴ a ? c ? 5 . 5 5? 2 ?

所以当 a ? c 时, ?ABC 的周长的最大值为 5 ? 1 .????12 分 20.解: (1)以点 A 为原点建立空间直角坐标系如图, 可得 B(1, 0, 0) ,C (2, 2,0) ,D(0, 2,0) ,

??? ? ???? P(0, 0, 2) 由 E 为棱 PC 的中点,得 E (1,1,1) ,故 BE ? (0,1,1) , DC ? (2,0,0)
→ → 所以BE·DC=0,所以 BE⊥DC. ?????4 分

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (2) BC ? (1, 2,0) , CP ? (?2, ?2, 2) , AC ? (2, 2,0) , AB ? (1,0,0)
→ → 由点 F 在棱 PC 上,设CF=λ CP, 0 ? ? ? 1 , → → → → → 故BF=BC+CF=BC+λ CP=(1-2λ ,2-2λ ,2λ ). 3 → → → 由 BF ⊥ AC ,得 BF · AC = 0 ,因此 2(1 - 2 λ ) + 2(2 - 2 λ ) = 0 ,解得 λ = ,即 BF = 4

?-1,1,3? ??????????8 分 ? 2 2 2? ? ?
?? ??? ? ?x ? 0 ?? ? ?n1 ? AB ? 0 ? FAB 设 n1 ? ( x, y, z) 为平面 的法向量,则 ? ?? ??? ,即 ? 1 ? 1 3 ? x? y? z ?0 ? ? ?n1 ? BF ? 0 ? 2 2 2 ?? 不妨令 z = 1 ,可得 n1 ? (0, ?3,1) 为平面 FAB 的一个法向量.取平面 ABP 的法向量

?? ? n2 ? (0,1,0) ,
-7-

则 cos〈n1,n2〉=

n1·n2 -3 3 10 = =- . |n1|·|n2| 10 10×1

易知,二面角 F ? AB ? P 是锐角,所以余弦值为 21.解: (1)因为 2 ? cos(? ?

3 10 ?????????12 分 10

?
4

) ? 1 ? 0 ,所以 ? cos ? ? ? sin ? ? 1 ? 0

? x ? 4t 2, 由 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? ,得 x ? y ? 1 ? 0 ,因为 ? 消去 t 得 y 2 ? 4 x ? y ? 4t,
所以直线 l 和曲线 C 的普通方程分别为 x ? y ? 1 ? 0 和 y 2 ? 4 x . ???5 分

? 2 t, ?x ? 1? ? 2 (2) 点 M 的直角坐标为 (1, 0) , 点 M 在直线 l 上, 设直线 l 的参数方程:? ? y ? 2 t, ? ? 2
( t 为参数) ,

A, B 对应的参数为 t1 , t2 . t 2 ? 4 2t ? 8 ? 0 t1 ? t2 ? 4 2, t1t2 ? ?8

t ?t (t1 ? t2 ) 2 ? 4t1t2 1 1 32 ? 32 ? ? 1 2 ? ? ?1 MA MB t1t2 t1t2 8
分 22.解: (1)旧养殖法的箱产量低于 的频率为: , 箱产量不低于 的频率为 的频率为 . ; ,

??????? 10

新养殖法的箱产量低于 箱产量不低于 由此得列联表: 养殖法箱产量 旧养殖法 新养殖法 总计

的频率为

箱产量

箱产量

总计

-8-

则 ∴有

= 的把握认为箱产量与养殖法有关.??????6 分



(2) 记 表示事件 “旧养殖法的箱产量低于 由题意知 旧养殖法的箱产量低于 新养殖法的箱产量不低于 ∴事件 的概率估计值为 ,

” , 表示事件 “新养殖法的箱产量不低于

” ,

的频率为 0.62,故 P(B)的估计值为 的频率为 0.72,故 的估计值为

, ,

.??????10 分

(3)新养殖法的样品中,箱产量位于区间 ?50,60? 的频率为 (0.06 ? 0.048) ? 5 ? 0.54 故养殖场用新养殖法养殖的大量网箱水产品, 箱产量位于区间 ?50,60? 的概率估计值为 0.54. 依题意知 X ~ B(50,0.54) , ∴ E ( X ) ? 50? 0.54 ? 27 .??????14 分

-9-


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