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湖南省常德市澧县和临澧县2016届中考数学模拟试题四(含解析)


湖南省常德市澧县和临澧县 2016 届中考数学模拟试题四
一、填空題(本大题 8 个小题,每小題 3 分,满分 24 分) 1.﹣8 的立方根是 . 2 3 2.分解因式:x y﹣y = . 3.小军旅行箱的密码是一个六位数,由于他忘记了密码的末位数字,则小军能一次打开该旅行箱的 概率是 . 4. 实数 a, b, c, d 在数轴上的对应点的位置如图所示, 这四个数中, 绝对值最大的是 .

5.要使分式

有意义,则 x 的取值是



6.若点 A(a+1,b﹣2)在第二象限,则点 B(﹣a,b+1)在第 象限. 7.圆锥底面圆的半径为 3m,其侧面展开图是半圆,则圆锥母线长为 m. 2 8.已知抛物线 p:y=ax +bx+c 的顶点为 C,与 x 轴相交于 A、B 两点(点 A 在点 B 左侧),点 C 关于 x 轴的对称点为 C′,我们称以 A 为顶点且过点 C′,对称轴与 y 轴平行的抛物线为抛物线 p 的“梦 之星”抛物线,直线 AC′为抛物线 p 的“梦之星”直线.若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦 2 之星”直线分别是 y=x +2x+1 和 y=2x+2,则这条抛物线的解析式为 . 二、选择题(本大题 8 个小题,每小题 3 分,满分 24 分) 9.化简 得( C. ) D.±10 )

A.100 B.10

10.据统计,2015 年湖南省旅游总收入 3713 亿元,把 3713 亿这个数字用科学记数法表示为( 8 10 11 12 A.3713×l0 B.3.713×10 C.3.713×10 D.3.713×10 11.下列事件中,是必然事件的为( ) A.3 天内会下雨 B.打开电视机,正在播放广告 C.367 人中至少有 2 人公历生日相同 D.某妇产医院里,下一个出生的婴儿是女孩 12.如图,下列几何体的左视图不是矩形的是( )

A.

B.

C.

D. )

13.下列变形不是根据等式性质的是( A. = B.若﹣a=x,则 x+a=0

C.若 x﹣3=2﹣2x,则 x+2x=2+3 14.下列计算结果正确的是(

D.若﹣ x=1,则 x=﹣2 )

1

A.﹣2x y ?2xy=﹣2x y B.28x y ÷7x y=4xy 2 2 2 2 C.3x y﹣5xy =﹣2x y D.(﹣3a﹣2)(3a﹣2)=9a ﹣4 2 2 15.如图,一次函数 y1=x 与二次函数 y2=ax +bx+c 图象相交于 P、Q 两点,则函数 y=ax +(b﹣1)x+c 的图象可能是( )

2 2

3 4

4 2

3

A.

B.

C.

D.

16.古希腊著名的毕达哥拉斯学派把 1,3,6,10?这样的数称为“三角形数”,而把 1,4,9,16? 这样的数称为“正方形数”.从图中可以发现,任何一个大于 1 的“正方形数”都可以看作两个相 邻“三角形数”之和.下列等式中,符合这一规律的是( )

A.13=3+10 B.25=9+16 C.36=15+21 D.49=18+31 三、(本大题 2 个小题,每小题 5 分,满分 10 分) 17.计算:(﹣ 18.解方程: ) ﹣|﹣3|+(﹣1) =5.
0 2015

+( ) .

﹣1

四、(本大题 2 个小题,每小题 6 分,满分 12 分)

19.已知 m=

﹣1,求

的值.

20.解不等式组:

,并把解集在数轴上表示出来.

五、(本大题 2 个小题,每小题 7 分,满分 14 分) 21.有两组卡片,第一组三张卡片上都写着 A、B、B,第二组五张卡片上都写着 A、B、B、D、E.试

2

用列表法求出从每组卡片中各抽取一张,两张都是 B 的概率. 22.如图,一次函数 y=﹣x+5 的图象与反比例函数 y= (k≠0)在第一象限的图象交于 A(1,n)和 B 两点. (1)求反比例函数的解析式; (2)在第一象限内,当一次函数 y=﹣x+5 的值大于反比例函数 y= (k≠0)的值时,写出自变量 x 的取值范围.

六、(本大题 2 个小题,每小题 8 分,满分 16 分) 23.为了节省材料,某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边,用总长为 40m 的围网 在水库中围成了如图所示的①②二块矩形区域.设 BC 的长度为 xm,矩形区域 ABCD 的面积为 2 ym . (1)求 y 与 x 之间的函数关系式; (2)为何值时,y 有最大值?最大值是多少?

24. 博物馆每周都吸引大量中外游客前来参观. 如果游客过多, 对馆中的珍贵文物会产生不利影响. 但 同时考虑到文物的修缮和保存费用问题,还要保证一定的门票收入.因此,博物馆采取了涨浮门票 价格的方法来控制参观人数,在该方法实施过程中发现:每周参观人数与票价之间存在着如图所示 的一次函数关系,在这样的情况下,如果确保每周 4 万元的门票收入,那么每周应限定参观人数是 多少门票价格应是多少元?

3

七、(本大题 2 个小题,每小题 10 分,共 20 分) 25.某商店销售 10 台 A 型和 20 台 B 型电脑的利润为 4000 元,销售 20 台 A 型和 10 台 B 型电脑的利 润为 3500 元. (1)求每台 A 型电脑和 B 型电脑的销售利润; (2) 该商店计划一次购进两种型号的电脑共 100 台, 其中 B 型电脑的进货量不超过 A 型电脑的 2 倍, 设购进 A 型电脑 x 台,这 100 台电脑的销售总利润为 y 元. ①求 y 关于 x 的函数关系式; ②该商店购进 A 型、B 型电脑各多少台,才能使销售总利润最大? (3)实际进货时,厂家对 A 型电脑出厂价下调 m(0<m<100)元,且限定商店最多购进 A 型电脑 70 台,若商店保持同种电脑的售价不变,请你根据以上信息及(2)中条件,设计出使这 100 台电 脑销售总利润最大的进货方案. 26.如图,顶点 M(0,﹣1)在 y 轴上的抛物线与直线 y=x+1 相交于 A,B 两点,且点 A 在 x 轴上, 连结 AM,BM. (1)求点 A 的坐标和这个抛物线所表示的二次函数的表达式; (2)求点 B 的坐标; (3)把抛物线与直线 y=x 的交点称为抛物线的不动点.若将(1)中抛物线平移,使其顶点为(m, 2m),当 m 满足什么条件时,平移后的抛物线总有不动点?

4

2016 年湖南省常德市澧县和临澧县中考数学模拟试卷(四) 参考答案与试题解析 一、填空題(本大题 8 个小题,每小題 3 分,满分 24 分) 1.﹣8 的立方根是 ﹣2 . 【考点】立方根. 【分析】利用立方根的定义即可求解. 3 【解答】解:∵(﹣2) =﹣8, ∴﹣8 的立方根是﹣2. 故答案为:﹣2. 【点评】本题主要考查了平方根和立方根的概念.如果一个数 x 的立方等于 a,即 x 的三次方等于 a 3 (x =a),那么这个数 x 就叫做 a 的立方根,也叫做三次方根.读作“三次根号 a”其中,a 叫做被 开方数,3 叫做根指数. 2.分解因式:x y﹣y = y(x+y)(x﹣y) . 【考点】提公因式法与公式法的综合运用. 【分析】先提取公因式 y,再利用平方差公式进行二次分解. 2 3 【解答】解:x y﹣y 2 2 =y(x ﹣y ) =y(x+y)(x﹣y). 故答案为:y(x+y)(x﹣y). 【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式,提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分 解是解题的关键,分解要彻底. 3.小军旅行箱的密码是一个六位数,由于他忘记了密码的末位数字,则小军能一次打开该旅行箱的 概率是 . 【考点】概率公式. 【分析】由一共有 10 种等可能的结果,小军能一次打开该旅行箱的只有 1 种情况,直接利用概率公 式求解即可求得答案. 【解答】解:∵一共有 10 种等可能的结果,小军能一次打开该旅行箱的只有 1 种情况, ∴小军能一次打开该旅行箱的概率是: .
2 3

故答案为: . 【点评】此题考查概率的求法:如果一个事件有 n 种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件 A 出现 m 种结果,那么事件 A 的概率 P(A)= . 4.实数 a,b,c,d 在数轴上的对应点的位置如图所示,这四个数中,绝对值最大的是 a .

【考点】实数大小比较;实数与数轴.

5

【分析】根据数轴分别求出 a、b、c、d 的绝对值,根据实数的大小比较方法比较即可. 【解答】解:由数轴可知,3<|a|<4,1<|b|<2,0<|c|<1,2<|d|<3, ∴这四个数中,绝对值最大的是 a, 故答案为:a. 【点评】本题考查的是数轴的数轴、实数的大小比较,掌握绝对值的概念和性质是解题的关键.

5.要使分式

有意义,则 x 的取值是 x≠2 .

【考点】分式有意义的条件. 【分析】根据分母为零,分式无意义;分母不为零,分式有意义,可得 x﹣2≠0,解可得答案. 【解答】解:由题意得:x﹣2≠0, 解得:x≠2. 故答案为:x≠2. 【点评】此题主要考查了分式有意义的条件,从以下三个方面透彻理解分式的概念: (1)分式无意义?分母为零; (2)分式有意义?分母不为零; (3)分式值为零?分子为零且分母不为零. 6.若点 A(a+1,b﹣2)在第二象限,则点 B(﹣a,b+1)在第 一 象限. 【考点】点的坐标. 【分析】根据第二象限的点的横坐标是负数,纵坐标是正数列不等式求出 a、b 的取值范围,再求出 点 B 的横坐标与纵坐标的取值范围,然后根据各象限内点的坐标特征解答即可. 【解答】解:∵点 A(a+1,b﹣2)在第二象限, ∴a+1<0,b﹣2>0, 解得 a<﹣1,b>2, ∴﹣a>1,b+1>3, ∴点 B(﹣a,b+1)在第一象限. 故答案为:一. 【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征,记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键, 四个象限的符号特点分别是:第一象限(+,+);第二象限(﹣,+);第三象限(﹣,﹣);第四 象限(+,﹣). 7.圆锥底面圆的半径为 3m,其侧面展开图是半圆,则圆锥母线长为 6 m. 【考点】圆锥的计算. 【分析】侧面展开后得到一个半圆就是底面圆的周长.依此列出方程即可. 【解答】解:设母线长为 x,根据题意得 2π x÷2=2π ×3, 解得 x=6. 故答案为:6. 【点评】本题考查圆锥的母线长的求法,注意利用圆锥的弧长等于底面周长这个知识点. 8.已知抛物线 p:y=ax +bx+c 的顶点为 C,与 x 轴相交于 A、B 两点(点 A 在点 B 左侧),点 C 关于 x 轴的对称点为 C′,我们称以 A 为顶点且过点 C′,对称轴与 y 轴平行的抛物线为抛物线 p 的“梦
2

6

之星”抛物线,直线 AC′为抛物线 p 的“梦之星”直线.若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦 2 2 之星”直线分别是 y=x +2x+1 和 y=2x+2,则这条抛物线的解析式为 y=x ﹣2x﹣3 . 【考点】抛物线与 x 轴的交点;二次函数的性质. 【专题】压轴题;新定义. 2 2 【分析】 先求出 y=x +2x+1 和 y=2x+2 的交点 C′的坐标为 (1, 4) , 再求出“梦之星”抛物线 y=x +2x+1 的顶点 A 坐标(﹣1,0),接着利用点 C 和点 C′关于 x 轴对称得到 C(1,﹣4),则可设顶点式 2 y=a(x﹣1) ﹣4, 然后把 A 点坐标代入求出 a 的值即可得到原抛物线解析式. 2 2 【解答】解:∵y=x +2x+1=(x+1) , ∴A 点坐标为(﹣1,0),

解方程组







∴点 C′的坐标为(1,4), ∵点 C 和点 C′关于 x 轴对称, ∴C(1,﹣4), 2 设原抛物线解析式为 y=a(x﹣1) ﹣4, 把 A(﹣1,0)代入得 4a﹣4=0,解得 a=1, 2 2 ∴原抛物线解析式为 y=(x﹣1) ﹣4=x ﹣2x﹣3. 2 故答案为 y=x ﹣2x﹣3. 2 【点评】本题考查了二次函数与 x 轴的交点:求二次函数 y=ax +bx+c(a,b,c 是常数,a≠0)与 x 2 2 轴的交点坐标,令 y=0,即 ax +bx+c=0,解关于 x 的一元二次方程即可求得交点横坐标.△=b ﹣4ac 2 2 决定抛物线与 x 轴的交点个数,△=b ﹣4ac>0 时,抛物线与 x 轴有 2 个交点;△=b ﹣4ac=0 时,抛 2 物线与 x 轴有 1 个交点;△=b ﹣4ac<0 时,抛物线与 x 轴没有交点. 二、选择题(本大题 8 个小题,每小题 3 分,满分 24 分) 9.化简 得( C. ) D.±10

A.100 B.10

【考点】算术平方根. 【分析】运用算术平方根的求法化简. 【解答】解: =10,

故答案为:B. 【点评】本题主要考查算术平方根用二次根式的性质和化简的知识点,本题是基础题,比较简单. 10.据统计,2015 年湖南省旅游总收入 3713 亿元,把 3713 亿这个数字用科学记数法表示为( ) 8 10 11 12 A.3713×l0 B.3.713×10 C.3.713×10 D.3.713×10 【考点】科学记数法—表示较大的数. n 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数.确定 n 的值时,要 看把原数变成 a 时,小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1 时,n 是正数;当原数的绝对值<1 时,n 是负数. 11 【解答】解:将 3713 亿用科学记数法表示为 3.713×10 .

7

故选 C. n 【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为 a×10 的形式,其中 1≤|a|< 10,n 为整数,表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值. 11.下列事件中,是必然事件的为( ) A.3 天内会下雨 B.打开电视机,正在播放广告 C.367 人中至少有 2 人公历生日相同 D.某妇产医院里,下一个出生的婴儿是女孩 【考点】随机事件. 【分析】根据随机事件和必然事件的定义分别进行判断. 【解答】解:A、3 天内会下雨为随机事件,所以 A 选项错误; B、打开电视机,正在播放广告,所以 B 选项错误; C、367 人中至少有 2 人公历生日相同是必然事件,所以 C 选项正确; D、某妇产医院里,下一个出生的婴儿是女孩是随机事件,所以 D 选项错误. 故选 C. 【点评】本题考查了随机事件:在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件,称为随机事件.事 件分为确定事件和不确定事件(随机事件),确定事件又分为必然事件和不可能事件, 12.如图,下列几何体的左视图不是矩形的是( )

A.

B.

C.

D.

【考点】简单几何体的三视图. 【分析】根据左视图是从物体左面看所得到的图形,分别得出四个几何体的左视图,即可解答. 【解答】解:A、圆柱的左视图是矩形,不符合题意; B、圆锥的左视图是等腰三角形,符合题意; C、三棱柱的左视图是矩形,不符合题意; D、长方体的左视图是矩形,不符合题意. 故选:B. 【点评】本题主要考查简单几何体的三视图;考查了学生的空间想象能力,属于基础题. 13.下列变形不是根据等式性质的是( A. = B.若﹣a=x,则 x+a=0 )

C.若 x﹣3=2﹣2x,则 x+2x=2+3 D.若﹣ x=1,则 x=﹣2 【考点】等式的性质;分式的基本性质. 【分析】根据等式的性质进行分析、判断. 【解答】解:A、该等式的变形是根据分式的基本性质得到的,故本选项符合题意; B、在等式﹣a=x 的两边同时加上 a 得到 0=x+a,即 x+a=0,故本选项不符合题意; C、在等式 x﹣3=2﹣2x 的两边同时加上(2x+3)得到 x+2x=2+3,故本选项不符合题意;

8

D、在等式﹣ x=1 的两边同时乘以﹣2 得到 x=﹣2,故本选项不符合题意; 故选:A. 【点评】本题考查了分式的基本性质和等式的基本性质. 等式的基本性质 1:等式两边加同一个数(或式子)结果仍得等式; 性质 2:等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数,结果仍得等式. 14.下列计算结果正确的是( ) 2 2 3 4 4 2 3 A.﹣2x y ?2xy=﹣2x y B.28x y ÷7x y=4xy 2 2 2 2 C.3x y﹣5xy =﹣2x y D.(﹣3a﹣2)(3a﹣2)=9a ﹣4 【考点】整式的混合运算. 【分析】根据单项式乘单项式的法则,单项式乘单项式的法则,平方差公式对各选项分析判断后利 用排除法求解. 2 2 3 3 【解答】解:A、应为﹣2x y ?2xy=﹣2x y ,故本选项错误; 4 2 3 B、28x y ÷7x y=4xy,正确; 2 2 C、3x y 和 5xy 不是同类项,不能合并,故本选项错误; 2 D、应为(﹣3a﹣2)(3a﹣2)=﹣9a +4,故本选项错误. 故选 B. 【点评】主要考查单项式的乘法法则,单项式的除法法则,平方差公式以及合并同类项的法则,不 是同类项的一定不能合并. 15.如图,一次函数 y1=x 与二次函数 y2=ax +bx+c 图象相交于 P、Q 两点,则函数 y=ax +(b﹣1)x+c 的图象可能是( )
2 2

A.

B.

C.

D.

【考点】二次函数的图象;正比例函数的图象. 2 2 【分析】 由一次函数 y1=x 与二次函数 y2=ax +bx+c 图象相交于 P、 Q 两点, 得出方程 ax + (b﹣1) x+c=0 2 有两个不相等的根,进而得出函数 y=ax +(b﹣1)x+c 与 x 轴有两个交点,根据方程根与系数的关

系得出函数 y=ax +(b﹣1)x+c 的对称轴 x=﹣
2

2

>0,即可进行判断.

【解答】解:∵一次函数 y1=x 与二次函数 y2=ax +bx+c 图象相交于 P、Q 两点, 2 ∴方程 ax +(b﹣1)x+c=0 有两个不相等的根, 2 ∴函数 y=ax +(b﹣1)x+c 与 x 轴有两个交点,

9

又∵﹣

>0,a>0

∴﹣

=﹣

+

>0

∴函数 y=ax +(b﹣1)x+c 的对称轴 x=﹣

2

>0,

∴A 符合条件, 故选 A. 【点评】本题考查了二次函数的图象,直线和抛物线的交点,交点坐标和方程的关系以及方程和二 次函数的关系等,熟练掌握二次函数的性质是解题的关键. 16.古希腊著名的毕达哥拉斯学派把 1,3,6,10?这样的数称为“三角形数”,而把 1,4,9,16? 这样的数称为“正方形数”.从图中可以发现,任何一个大于 1 的“正方形数”都可以看作两个相 邻“三角形数”之和.下列等式中,符合这一规律的是( )

A.13=3+10 B.25=9+16 C.36=15+21 D.49=18+31 【考点】规律型:图形的变化类. 【专题】压轴题. 【分析】本题考查探究、归纳的数学思想方法.题中明确指出:任何一个大于 1 的“正方形数”都 可以看作两个相邻“三角形数”之和.由于“正方形数”为两个“三角形数”之和,正方形数可以 用代数式表示为:(n+1) ,两个三角形数分别表示为 n(n+1)和 (n+1)(n+2),所以由正方 形数可以推得 n 的值,然后求得三角形数的值. 【解答】解:显然选项 A 中 13 不是“正方形数”;选项 B、D 中等式右侧并不是两个相邻“三角形 数”之和. 故选:C. 【点评】本题是一道找规律的题目,这类题型在中考中经常出现.对于找规律的题目首先应找出哪 些部分发生了变化,是按照什么规律变化的. 三、(本大题 2 个小题,每小题 5 分,满分 10 分) 17.计算:(﹣ ) ﹣|﹣3|+(﹣1) +( ) . 【考点】实数的运算;零指数幂;负整数指数幂. 【专题】计算题. 【分析】根据实数的运算顺序,首先计算乘方、开方,然后从左向右依次计算,求出算式的值是多 少即可. 【解答】解:(﹣ =1﹣3+(﹣1)+2 ) ﹣|﹣3|+(﹣1)
0 2015 0 2015 ﹣1 2

+( )

﹣1

10

=﹣1. 【点评】(1)此题主要考查了实数的运算,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:在进行实数运 算时,和有理数运算一样,要从高级到低级,即先算乘方、开方,再算乘除,最后算加减,有括号 的要先算括号里面的,同级运算要按照从左到有的顺序进行.另外,有理数的运算律在实数范围内 仍然适用.

(2)此题还考查了负整数指数幂的运算,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:①a =

﹣p

(a≠0,

p 为正整数);②计算负整数指数幂时,一定要根据负整数指数幂的意义计算;③当底数是分数时, 只要把分子、分母颠倒,负指数就可变为正指数. 0 0 (3) 此题还考查了零指数幂的运算, 要熟练掌握, 解答此题的关键是要明确: ①a =1 (a≠0) ; ②0 ≠1.

18.解方程: =5. 【考点】解分式方程. 【分析】观察可得最简公分母是 x(x+3),方程两边乘最简公分母,可以把分式方程转化为整式方 程求解. 【解答】解:方程的两边同乘 x(x+3),得 2 x+3+5x =5x(x+3), 解得 x= . 代入 x(x+3)= ≠0.

检验:把 x=

∴原方程的解为:x= . 【点评】考查了解分式方程,注意: (1)解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解. (2)解分式方程一定注意要验根. 四、(本大题 2 个小题,每小题 6 分,满分 12 分)

19.已知 m=

﹣1,求

的值.

【考点】分式的化简求值. 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简,再把 m 的值再代入进行计算即可.

【解答】解:原式=

+

÷

=

+

=



11

当 m=

﹣1 时,原式=

=

=1﹣



【点评】本题考查的是分式的化简求值,熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键.

20.解不等式组:

,并把解集在数轴上表示出来.

【考点】解一元一次不等式组;在数轴上表示不等式的解集. 【分析】先求出每个不等式的解集,再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可.

【解答】解: ∵解不等式①得:x>﹣3, 解不等式②得:x≤2, ∴不等式组的解集为﹣3<x≤2,

在数轴上表示不等式组的解集为:



【点评】本题考查了解一元一次不等式组,在数轴上表示不等式组的解集的应用,解此题的关键是 能根据不等式的解集求出不等式组的解集,难度适中. 五、(本大题 2 个小题,每小题 7 分,满分 14 分) 21.有两组卡片,第一组三张卡片上都写着 A、B、B,第二组五张卡片上都写着 A、B、B、D、E.试 用列表法求出从每组卡片中各抽取一张,两张都是 B 的概率. 【考点】列表法与树状图法. 【分析】首先根据题意列出表格,然后由表格即可求得所有等可能的结果与从每组卡片中各抽取一 张,两张都是 B 的情况,再利用概率公式即可求得答案. 【解答】解:列表得: E AE BE BE D AD BD BD B AB BB BB B AB BB BB A AA BA BA A B B ∵共有 15 种等可能的结果,从每组卡片中各抽取一张,两张都是 B 的有 4 种情况, ∴从每组卡片中各抽取一张,两张都是 B 的概率为: . 【点评】此题考查了列表法求概率.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.

12

22.如图,一次函数 y=﹣x+5 的图象与反比例函数 y= (k≠0)在第一象限的图象交于 A(1,n)和 B 两点. (1)求反比例函数的解析式; (2)在第一象限内,当一次函数 y=﹣x+5 的值大于反比例函数 y= (k≠0)的值时,写出自变量 x 的取值范围.

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题. 【分析】(1)首先求出点 A 的坐标,进而即可求出反比例函数系数 k 的值; (2)联立反比例函数和一次函数解析式,求出交点 B 的坐标,结合图形即可求出 x 的取值范围. 【解答】解:(1)∵一次函数 y=﹣x+5 的图象过点 A(1,n), ∴n=﹣1+5, ∴n=4, ∴点 A 坐标为(1,4), ∵反比例函数 y= (k≠0)过点 A(1,4), ∴k=4, ∴反比例函数的解析式为 y= ;

(2)联立



解得





即点 B 的坐标(4,1), 若一次函数 y=﹣x+5 的值大于反比例函数 y= (k≠0)的值, 则 1<x<4. 【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题,解答本题的关键是求出 A 点和 B 点的 坐标,此题难度不大. 六、(本大题 2 个小题,每小题 8 分,满分 16 分) 23.为了节省材料,某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边,用总长为 40m 的围网 在水库中围成了如图所示的①②二块矩形区域.设 BC 的长度为 xm,矩形区域 ABCD 的面积为 2 ym . (1)求 y 与 x 之间的函数关系式;

13

(2)为何值时,y 有最大值?最大值是多少?

【考点】二次函数的应用. 【专题】几何图形问题. 【分析】(1)由 BC 的长度为 xm,可表示出 AB 的长,再由矩形的面积公式即可表示出 y 与 x 的关 系式,并求出 x 的范围即可; (2)利用二次函数的性质求出 y 的最大值,以及此时 x 的值即可. 【解答】解:(1)设 BC 的长度为 xm,则 AB= (40﹣x), 则矩形区域 ABCD 的面积 y= (40﹣x)=﹣ x + (2)∵y=﹣ x +
2 2

x;

x= (x﹣20) +

2


2

∴当 x=20 时,y 有最大值,最大值是 m. 【点评】此题考查了二次函数的应用,以及列代数式,熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键. 24. 博物馆每周都吸引大量中外游客前来参观. 如果游客过多, 对馆中的珍贵文物会产生不利影响. 但 同时考虑到文物的修缮和保存费用问题,还要保证一定的门票收入.因此,博物馆采取了涨浮门票 价格的方法来控制参观人数,在该方法实施过程中发现:每周参观人数与票价之间存在着如图所示 的一次函数关系,在这样的情况下,如果确保每周 4 万元的门票收入,那么每周应限定参观人数是 多少门票价格应是多少元?

【考点】一次函数的应用. 【分析】 本题可先用待定系数法求出参观人数和票价的函数关系式, 然后根据参观人数×票价=40000 元,来求出自变量的值. 【解答】解:设每周参观人数与票价之间的一次函数关系式为 y=kx+b

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把(10,7000)(15,4500)代入 y=kx+b 中得



解得 ∴y=﹣500x+12000 根据确保每周 4 万元的门票收入,得 xy=40000 即 x(﹣500x+12000)=40000 2 x ﹣24x+80=0 解得 x1=20 x2=4 把 x1=20,x2=4 分别代入 y=﹣500x+12000 中 得 y1=2000,y2=10000 因为控制参观人数,所以取 x=20,y=2000 答:每周应限定参观人数是 2000 人,门票价格应是 20 元/人. 【点评】解答一次函数的应用问题中,要注意自变量的取值还必须使实际问题有意义. 七、(本大题 2 个小题,每小题 10 分,共 20 分) 25.某商店销售 10 台 A 型和 20 台 B 型电脑的利润为 4000 元,销售 20 台 A 型和 10 台 B 型电脑的利 润为 3500 元. (1)求每台 A 型电脑和 B 型电脑的销售利润; (2) 该商店计划一次购进两种型号的电脑共 100 台, 其中 B 型电脑的进货量不超过 A 型电脑的 2 倍, 设购进 A 型电脑 x 台,这 100 台电脑的销售总利润为 y 元. ①求 y 关于 x 的函数关系式; ②该商店购进 A 型、B 型电脑各多少台,才能使销售总利润最大? (3)实际进货时,厂家对 A 型电脑出厂价下调 m(0<m<100)元,且限定商店最多购进 A 型电脑 70 台,若商店保持同种电脑的售价不变,请你根据以上信息及(2)中条件,设计出使这 100 台电 脑销售总利润最大的进货方案. 【考点】一次函数的应用;二元一次方程组的应用;一元一次不等式组的应用. 【专题】销售问题. 【分析】(1)设每台 A 型电脑销售利润为 a 元,每台 B 型电脑的销售利润为 b 元;根据题意列出方 程组求解, (2)①据题意得,y=﹣50x+15000, ②利用不等式求出 x 的范围,又因为 y=﹣50x+15000 是减函数,所以 x 取 34,y 取最大值, (3)据题意得,y=(100+m)x﹣150(100﹣x),即 y=(m﹣50)x+15000,分三种情况讨论,①当 0<m<50 时,y 随 x 的增大而减小,②m=50 时,m﹣50=0,y=15000,③当 50<m<100 时,m﹣50> 0,y 随 x 的增大而增大,分别进行求解. 【解答】解:(1)设每台 A 型电脑销售利润为 a 元,每台 B 型电脑的销售利润为 b 元;根据题意得

解得 答:每台 A 型电脑销售利润为 100 元,每台 B 型电脑的销售利润为 150 元.

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(2)①据题意得,y=100x+150(100﹣x),即 y=﹣50x+15000, ②据题意得,100﹣x≤2x,解得 x≥33 , ∵y=﹣50x+15000,﹣50<0, ∴y 随 x 的增大而减小, ∵x 为正整数, ∴当 x=34 时,y 取最大值,则 100﹣x=66, 即商店购进 34 台 A 型电脑和 66 台 B 型电脑的销售利润最大. (3)据题意得,y=(100+m)x+150(100﹣x),即 y=(m﹣50)x+15000, 33 ≤x≤70 ①当 0<m<50 时,y 随 x 的增大而减小, ∴当 x=34 时,y 取最大值, 即商店购进 34 台 A 型电脑和 66 台 B 型电脑的销售利润最大. ②m=50 时,m﹣50=0,y=15000, 即商店购进 A 型电脑数量满足 33 ≤x≤70 的整数时,均获得最大利润; ③当 50<m<100 时,m﹣50>0,y 随 x 的增大而增大, ∴当 x=70 时,y 取得最大值. 即商店购进 70 台 A 型电脑和 30 台 B 型电脑的销售利润最大. 【点评】本题主要考查了一次函数的应用,二元一次方程组及一元一次不等式的应用,解题的关键 是根据一次函数 x 值的增大而确定 y 值的增减情况. 26.如图,顶点 M(0,﹣1)在 y 轴上的抛物线与直线 y=x+1 相交于 A,B 两点,且点 A 在 x 轴上, 连结 AM,BM. (1)求点 A 的坐标和这个抛物线所表示的二次函数的表达式; (2)求点 B 的坐标; (3)把抛物线与直线 y=x 的交点称为抛物线的不动点.若将(1)中抛物线平移,使其顶点为(m, 2m),当 m 满足什么条件时,平移后的抛物线总有不动点?

【考点】二次函数综合题;根的判别式. 【专题】综合题. 【分析】 (1) 由点 A 是直线 y=x+1 与 x 轴的交点可求出点 A 的坐标, 将抛物线的解析式设成顶点式, 然后把点 A 的坐标代入该解析式,就可解决问题; (2)只需解直线与抛物线的解析式组成的方程组,然后解这个方程组就可解决问题;

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(3)将平移后的抛物线的解析式设成顶点式,然后把 y=x 代入该解析式,得到关于 x 的一元二次方 程,要使平移后的抛物线总有不动点,只需该一元二次方程的根的判别式大于等于 0 即可. 【解答】解:∵点 A 是直线 y=x+1 与 x 轴的交点, ∴A(﹣1,0). 2 设顶点为(0,﹣1)的抛物线的解析式为 y=ax ﹣1, 2 ∵点 A(﹣1,0)在抛物线 y=ax ﹣1 上, ∴0=a﹣1, ∴a=1, 2 ∴抛物线的解析式为 y=x ﹣1;

(2)解方程组

,得





故点 B 的坐标为(2,3); (3)设平移后的抛物线的解析式为 y=(x﹣m) +2m, 2 把 y=x 代入 y=(x﹣m) +2m,得 2 x=(x﹣m) +2m, 2 2 整理得,x ﹣(2m+1)x+m +2m=0, 2 2 由题可得△=(2m+1) ﹣4×1×(m +2m)=1﹣4m≥0, 解得 m≤ . 故当 m≤ 时,平移后的抛物线总有不动点. 【点评】本题主要考查了直线上点的坐标特征、运用待定系数法求抛物线的解析式、求直线与抛物 线的解析式的交点、根的判别式等知识,通常可将直线与抛物线的交点问题转化为一元二次方程解 的问题.
2

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