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江西省上高二中、新钢中学2010届上学期高三年级联考数学试卷(理科)


江西省上高二中、新钢中学 2010 届上学期高三年级联考数学试卷(理科)
审核 吴付平 一、选择题(本大题共 12 小题 每小题 5 分,共 60 分 只有一项是符合题目要求的 ) 1.设集合 A ? ? x | 在每小题给出的四个选项中,

? ?

x ? ? 0? , B ? {x | x 2 ? x ? 0} ,那么“ m ? A ”是“ m ? B ”的( ) x ?1 ?

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.已知 {an } 为等差数列,且 a1 ? a7 ? a13 ? 4? ,则 tan( a2 ? a12 ) 的值为( ) A. 3 B. ? 3 C. ? 3 D. ?

3 3

3 . 在 △ ABC 中 , a,b,c 分 别 为 三 个 内 角 A,B,C 所 对 的 边 , 设 向 量 ? ?? ?? ? m ? (b ? c, c ? a), n ? (b, c ? a) ,若 m ? n ,则角 A 的大小为( ) A

? 6
-1

B.

? 3

C.

? 2

D.

2? 3
-1

4. f (x)是函数 设

的反函数, f (x)>1 成立的 x 取值范围是 ( ) 使

A.

B.

C.

D.x<0

5.已知函数 y ? 2sin(? x ? ? ) 为偶函数 (0 ? ? ? ? ) ,其图象与直线 y ? 2 的某两个交点横 坐标为 x1 、 x2 ,若 | x2 ? x1 | 的最小值为 ? ,则( A. ? ? 2, ? ? C. ? ? ) A1 B1 A C1 D D1

?

1 ? ,? ? 2 4

2

B. ? ?

1 ? ,? ? 2 2

D. ? ? 2, ? ?

?

4
E

6.如图,在正方体 ABCD ? A B1C1D1 中,若 E 是 AD 的中点, 1 则异面直线 A B 与 C1E 所成角的大小是( ) 1 A.

B C ? ? ? C. D. 4 3 2 x ?x 7、若函数 f ( x) ? (k ? 1)a ? a (a ? 0且a ? 1) 在 R 上既是奇函数,又是减函数,则 g ( x) ? loga ( x ? k ) 的图象是( ).

? 6

B.

8.已知函数 f ( x) ? A. 9

59 3 2
. 如

cos x 0 0 0 ,则 f (1 ) ? f (2 ) ? ? ? f (59 ) =( ) . 0 cos(30 ? x) 59 3 B. ? C. 59 3 D. ? 59 3 2
, 平 面 内
-1-







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a, b的夹角为 ?, a, c的夹角为 ?, 且 | a |? 2, | b |? 1, | c |? 2 3 ,若 c ? ? a ? 2b, 则? 等 120 30
于( ) ( ) A.1 B.-1 C.2 D.-2 10.设 f ( x ) 与 g ( x) 是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若对任意 x∈[a,b],都有 ,区间[a,b]称为“密 | f ( x) ? g ( x) |? 1成立,则称 f ( x) 和 g ( x) 在[a,b]上是“密切函数” 切区间”.若 f ( x) ? x2 ? 3x ? 4 与 g ( x) ? 2 x ? 3 在[a,b]上是“密切函数” ,则其“密切区 间”可以是( ) A. [1,4] B. [2,4] C. [3,4] D. [2,3] 11.已知函数 y ? f ( x) 的定义域为 R ,当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 ,且对任意的 x, y ? R , 等 式

f ( x?)

f ( ?) y

, f ? x都 成 立 , 若 数 列 {an } 满 足 a1 ? f ( 0 ) 且 ( ) y

f ( n?1 ) a ?

1 f (? 2 an ?

)

? (n

?

N 则)a2009 的值为(
, C.4018

) D.4019

? ? ? ? ? ? 12.平面向量的集合 A 到 A 的映射 f( x )= x -( x · a ) a ,其中 a 为常向量.若映射 f 满 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 足 f( x )·f( y )= x · y 对任意的 x , y ∈A 恒成立,则 a 的坐标可能是( )
A.(

A.4016

B.4017

2 2 , ) 4 4

B.(

1 7 ,- ) 2 2
2 2

C.(

3 1 , ) 4 4

D.(-

1 3 , ) 2 2

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分 13.已知 0?x ?1, a, b 是正常数,则

把答案填在题中横线上)

a b ? 的最小值是 . x 1? x 2? 1 , a] 上的值域为 [? , 2] ,则实数 a 的取值 14.函数 y ? sin 2 x ? 2cos x 在区间 [? 3 4
范围是

m? , m ? Z } ,⑵数列 {an } 前 2009 2 项和为-99。⑶数列 {(an ? 1) 2 }前 2009 项和为 2010。则 {an } 前 2009 项中,取值为-1 的项
? 15、数列{an}满足:⑴对任意 n ? N , a n ? {t | t ? cos

有 项。 16.有 4 个标号为 1,2,3,4 的红球和 4 个标号为 1,2,3,4 的白球,从这 8 个球中任取 4 个球排成一排.若取出的 4 个球的数字之和为 10,则不同的排法种数是 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满 12 分) 在 ?ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,

?

3 2 ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? (1)判断 ?ABC 的形状; (2)若 | BA ? BC |? 2 ,求 BA ? BC 的取值范围。

?C ?

?



b sin 2C ? a ? b sin A ? sin 2C

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18.(本小题满分 12 分)有红蓝两粒质地均匀的正方体形状骰子,红色骰子有两个面是 8, 四个面是 2;蓝色骰子有三个面是 7,三个面是 1,两人各取一只骰子分别随机掷一次,所 得点数较大者获胜. (1)分别求出两只骰子投掷所得点数的分布列及期望; (2)求投掷蓝色骰子者获胜的概率是多少?

19.(本小题满分 12 分)如下图,某小区准备绿化一块直径为 BC 的半圆形空地,Δ ABC 外 的地方种草,Δ ABC 的内接正方形 PQRS 为一水池,其余地方种花.若 BC=a, ?ABC ? ? ,设 Δ ABC 的面积为 S1,正方形 PQRS 的面积为 S2,将比值

(1)试用 a, ? 表示 S1 和 S2; (2)当 为定值, ? 变化时,求“规划合理度”取得最小值时的角 ? 的大小.

S1 称为“规划合理度”. S2

a ( x ? 1) (a ? R) . x 1 1 1 ? ? f ( x) 的单调区间; (Ⅰ)求 (Ⅱ)求证:不等式 ln x x ? 1 2 对一切 x ? (1, 2) 恒成立.
20.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ln x ?

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21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ln(e x ? a) ( a 为常数)是 R 上的奇函数,函数

g(x)= ? f ( x) ? sin x 是区间 ??11? 上的减函数. ,
(Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)若 g ( x) ? t ? ?t ? 1在x ???1,1? 上恒成立,求 t 的取值范围;
2

(Ⅲ)讨论关于 x 的方程

ln x ? x 2 ? 2ex ? m 的根的个数. f ( x)

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22 . 本 小 题 满 分 14 分 ) 设 数 列 {an } 的 首 项 a1 ? 1 , 前 (
?

n 项 和 为 Sn , 且 点

(Sn?1 ,Sn )n ? N n,? 在直线 (2t ? 3) x ? 3ty ? 3t ? 0 ( t 为与 n 无关的正实数)上. ( 2) (Ⅰ) 求证:数列 {an } 是等比数列; 1 (Ⅱ) 记数列 {an } 的公比为 f (t ) ,数列 {bn } 满足 b1 ? 1, bn ? f ( ) (n ? N? , n ? 2).设 bn?1 cn ? b2 n?1b2n ? b2n b2n? 1,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn ; 1 n (Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下,设 d n ? (1 ? ) (n ?N* ) ,证明 dn ? dn?1 . 3bn ? 1

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参考答案 一、选择题 1 A 2 C 3 B 4 B 5 A 14、 [0, 6 D 7 A 8 A 9 C 10 D 16、 432 11 B 12 B

二、填空题 13、 (a ? b) 2

2? ] 3

15、149 个

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 17.

18、解: (1)设红色骰子投掷所得点数为 ? 1 ,其分布如下:

?1
P

8
1 3

2
2 3

??????2 分

设蓝色骰子投掷所得点数 ? 2 ,其分布如下;

1 2 E? 1 ? 8 ? ? 2 ? ? 4 ;??????????????????4 分 3 3

?2
P

7
1 2

1
1 2

E? 2 ? 7 ?

1 1 ? 1 ? ? 4. ????????????8 分 2 2 3 4 1 2 1 ? ? ? ? ????12 分 6 6 2 3 3

(2)∵投掷骰子点数较大者获胜,∴投掷蓝色骰子者若获胜,则投掷后蓝色骰子点数为 7, 红色骰子点数为 2.∴投掷蓝色骰子者获胜概率是 19、解:(1)、 如图,在 , 设正方形的边长为 则 ABC中 =


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???6 分

(2)、





∵0 <

<

,又 0 <2

<

,

0< ?1

为减函数,当



取得最小值为

此时

??????????12 分

20.(本小题满分 12 分) 解(Ⅰ) f ( x ) 的定义域为 (0, ??) , f ?( x) ?

1 a x?a ? ? 2 ( x ? 0) ????2 分 x x2 x ① 若 a ? 0 , f ?( x) ? 0 , f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增.???????????4 分 ② 若 a ? 0 ,当 x ? (0, a) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 在 (0, a ) 上单调递减;当 x ? (a, ??) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 在 (a, ??) 上单调递增. ????????????6 分 1 1 1 ? ? 等价于 ( x ? 1) ln x ? 2( x ?1) ? 0 .???7 分 (Ⅱ)∵ 1 ? x ? 2 ,∴ ln x x ? 1 2 x ?1 1 ? 2 ? ln x ? ? 1 ????8 分 令 F ( x) ? ( x ? 1) ln x ? 2( x ? 1) ,则 F ?( x) ? ln x ? x x 由(Ⅰ)知,当 a ? 1 时, f min ( x) ? f (1) ? 0 , 1 ∴ f ( x) ? f (1) ? 0 ,∴ ln x ? ? 1 ? 0 ,即 F ?( x) ? 0 ,???????10 分 x 1 1 1 ? ? .????12 分 则 F ( x) 在 (1, 2) 上单调递增,∴ F ( x) ? F (1) ? 0 ,即 ln x x ?1 2
?x

21.(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ) ? f ( x) ? ln(e ? a) 是奇函数,? ln(e
x

? a) = ? ln(e x ? a) ??1 分

? (e ? x ? a)(e x ? a) ? 1 , ?1 ? ae? x ? aex ? a 2 ? 1,? a(e x ? e ? x ? a) ? 0故a ? 0 . 3 分 , (Ⅱ)由(1)知: f ( x) ? x , ? g ( x) ? ?x ? sin x , ? g ( x)在?? 1 1? 上单调递减, 1? ?????4 分 ? g ?( x) ? ? ? cos x ? 0 ? ? ? ? cos x 在?? 1, 上恒成立,? ? ? ?1, 2 ?g ( x)?max ? g (?1) ? ?? ? sin1,? 只需 ?? ? sin1 ? t ? ?t ? 1 , ?(t ? 1)? ? t 2 ? sin1 ? 1 ? 0(其中? ? ?1 恒成立, ),
令 h(? ) = (t ? 1)? ? t ? sin1 ? 1 ? 0(? ? ?1 , 则 ? )
2

t ? 1<0 , 2 ??t ? 1 ? t ? sin1 ? 1 ? 0 ?

t ? ?1 ? 2 ,而 t ? t ? sin1 ? 0 恒成立,? t ? ?1 ?????8 分 ?? 2 ?t ? t ? sin1 ? 0 ln x ln x ? ? x 2 ? 2ex ? m. , (Ⅲ) 由 ??????????9 分 f ( x) x ln x 1 ? ln x , f 2 ( x) ? x 2 ? 2ex ? m,? f1?( x) ? , 令 f1 ( x) ? x x2
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当 x ? (0, e)时, 1?( x) ? 0,? f1 ( x)在?0, e?上为增函数; f

当 x ? ?e,???时,f1?( x) ? 0,? f1 ( x)在?e,??? 为减函数;

1 . 而 f 2 ( x) ? ( x ? e) 2 ? m ? e 2 ,?????10 分 e 1 1 1 1 2 2 ?当m ? e 2 ? ,即m ? e 2 ? 时, 方程无解; 当m ? e ? , 即m ? e ? 时, 方程有 e e e e 1 1 2 2 一个根; 当m ? e ? , 即m ? e ? 时, 方程有两个根。 ???12 分 e e (22) 解:(Ⅰ)因为点 ( Sn ?1 , Sn ) (n ? N? , n ? 2) 在直线 (2t ? 3) x ? 3ty ? 3t ? 0 ( t 为与 n 无
关 的 正 实 数 ) 上
?

?f 当 x ? e时, 1 ( x)?max ? f 1 (e) ?







( t ? Sn?3? )tSn ? t ?3 2 1

, 3即

有 0

3tSn ? (2t ? 3)Sn?1 ? 3t (n ? N , n ? 2) .当 n ? 2 时, 3t (a1 ? a2 ) ? (2t ? 3)a1 ? 3t . a 2t ? 3 2t ? 3 由 a1 ? 1 ,解得 a 2 ? ,所以 2 ? . 3t a1 3t 当 n ? 2时,有 3tS n+1 ? (2t ? 3)S n ? 3t ① 3tS n ? (2t ? 3)S n?1 ? 3t ② 3tan+1 ? (2t ? 3)an ? 0 ,整理得 an?1 ? 2t ? 3 . ① ②,得 an 3t a 2t ? 3 综上所述,知 n?1 ? (n ? N*) ,因此 {an } 是等比数列. ???????4 分 an 3t 1 2? ?3 bn ?1 1 2 2t ? 3 )? ? ? bn ?1 , (Ⅱ) 由(Ⅰ) 知 f (t ) ? ,从而 bn ? f ( 1 3t bn ?1 3 3? bn ?1 2 所以 bn ? bn?1 ? (n ? N? , n ? 2) . 3 2 1 因此, {bn } 是等差数列,并且 bn ? b1 ? (n ? 1)d ? n ? . 3 3 所以, Tn ? c1 ? c2 ? c3 ? ? ? cn ? b1b2 ? b2b3 ? b3b4 ? b4b5 ? ? ? b2n?1b2n ? b2nb2n?1 ? b2 (b1 ? b3 ) ? b4 (b3 ? b5 ) ? ?? b2n (b2n?1 ? b2n?1 ) 5 4n ? 1 n( ? ) 4 n(b2 ? b2 n ) 4 3 ? ?2d (b2 ? b4 ? ? ? b2 n ) ? ? ? ?? ? 3 3 2 3 2 8 2 4 ?? n ? n. ?????????9 分 9 3
? 1 ? 1 n ) ,则 d n ?1 ? ?1 ? (Ⅲ) 由(Ⅱ)知 d n ? (1 ? ? 2n ? 2 ? n ? 1? ?
将 d n ? ?1 ?
n ?1



? ?

1 1 n ? n ? 1??? n ? k ? 1? k ? 1 ? Tk ?1 ? Cn ? ? ? k ? ? nk ? 2n ? 2 k ! 1 1 ? 1 ?? 2 ? ? k ? 1 ? ? k ? ? ?1 ? ??1 ? ???1 ? ?, 2 k ! ? n ?? n ? ? n ?
k

1 ? ? 用二项式定理展开,共有 n ? 1 项,其第 k ? 1 项 ? 0 ? k ? n? 为 2n ?

n

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? 1 ? 同理,d n?1 ? ?1 ? ? ? 2 ? n ? 1? ?
n ?1 n ?1 n ?1

n?1

用二项式定理展开, 共有 n ? 2 项, n ? 2 项 第

? 1 ? 为 U n?2 ? C ? ? ? 0 ,其前 n ? 1 项中的第 k ? 1 项 ? 0 ? k ? n? 为 ? 2 ? n ? 1? ? 1 1 ? 1 ?? 2 ? ? k ?1 ? U k ?1 ? k ? ? ?1 ? ??1 ? ?? ? 1 ? ?, 2 k ! ? n ? 1 ?? n ? 1 ? ? n ? 1 ? 1 1 2 2 k k ,1 ? ? 1 ? ,? ,1 ? ? 1 ? , k ? 2,3,?, n 由1 ? ? 1 ? n n ?1 n n ?1 n n ?1 得 Tk ?1 ? U k ?1 , k ? 2,3,?, n, 又 T1 ? U1 , T2 ? U 2 ,U n?2 ? 0 ,∴ dn ? dn?1 . ?14 分

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