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专题3.3 以解析几何中与抛物线相关的综合问题-2018年高考数学备考优生百日闯关系列(解析版)

专题三 第三关 压轴解答题 以解析几何中与抛物线相关的综合问题 【名师综述】纵观近三年的高考题,解析几何题目是每年必考题型,主要体现在解析几何知识内的综合及 与其它知识之间的综合,且椭圆考查的最多,其次便是抛物线,如在 14 年中的 14 年江西卷理 20 题,文 20 题是中档题偏上,考查与直线的交汇、14 年福建卷文 21 题,考查与抛物线有关的轨迹问题,14 年浙江卷 21 题(14 分)压轴题, 难度中档偏上, 考查与抛物线有关的最值问题的综合、 14 年全国大纲卷 22 题压轴题(14 分)难度偏大,考查直线与抛物线、圆与抛物线有关的综合问题等等.预计在 16 年高考中解答题仍会重点考 查直线与抛物线的位置关系,同时可能与平面向量、导数相交汇,每个题一般设置了两个问,第(1)问一 般考查曲线方程的求法,主要利用定义法与待定系数法求解,而第(2)问主要涉及最值问题、定值问题、 对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大,解题时需根据具体问题,灵活运 用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识,正确构造不等式,体现了解析几何与其他数学知识的 密切联系.这体现了考试中心提出的“应更多地从知识网络的交汇点上设计题目,从学科的整体意义、思想含 义上考虑问题”的思想.且同学需对抛物线的两个基本问题弄扎实,1.抛物线的基本概念、标准方程、几何性 质;2.直线与抛物线的位置关系所引申出来的定点、定值、最值、取值范围等问题.3.抛物线与圆锥曲线的交 汇问题 类型一 中点问题 典例 1 已知抛物线 C: y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F,直线 y=4 与 y 轴的交点为 P,与 C 的交点为 Q,且 2 QF ? 5 PQ . 4 (1)求抛物线 C 的方程; (2)过 F 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点, 若 AB 的垂直平分线 l ? 与 C 相交于 M,N 两点, 且 A,M,B,N 四点在同 一个圆上,求直线 l 的方程. 【答案】 (1) y ? 4 x ; (2)x-y-1=0 或 x+y-1=0. 2 【解析】 (1)设 Q(x0,4) ,代入由 y ? 2 px( p ? 0) 中得 x0= 2 8 , p 所以 PQ ? 8 p p 8 p 8 5 8 , QF ? ? x0 ? ? ,由题设得 ? ? ? ,解得 p=-2(舍去)或 p=2. p 2 2 p 2 p 4 p 2 所以 C 的方程为 y ? 4 x . 【名师指点】本题考查直线和椭圆、圆的综合运用,考查数形结合思想、转化与化归等思想的运用,中点 问题往往的处理办法有两种:一是点差法,设端点坐标带入曲线方程,作差结果涉及中点坐标和直线的斜 率;二是利用韦达定理,舍尔不求. 【举一反三】已知抛物线 y ? 2 px ,过焦点且垂直 x 轴的弦长为 6 ,抛物线上的两个动点 A( x1 , y1 ) 和 2 B( x2 , y2 ) ,其中 x1 ? x2 且 x1 ? x2 ? 4 ,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 C . (1)求抛物线方程; (2)试证线段 AB 的垂直平分线经过定点,并求此定点; (3)求 ?ABC 面积的最大值. 【答案】 (1) y ? 6 x ; (2)详见解析; (3) 2 14 7. 3 2 【解析】 (1)抛物线通经长为 2 p ,∴抛物线方 程为 y ? 6 x ; (2)设线段 AB 的中点为 M ( x0 , y0 ) ,则 x0 ? y ? y1 y ? y1 6 3 x1 ? x2 y ? y2 ? 22 ? ? ? 2 , y0 ? 1 , k AB ? 2 ,线段 AB 的垂直平分线的 2 2 2 x 2 ? x1 y 2 ? y1 y 0 y 2 y1 ? 6 6 y0 ( x ? 2) ①,易知 x ? 5 , y ? 0 是①的一个解,∴定点为交点 C ,且点 C 坐标 为 (5,0) ; 3 方程是 y ? y 0 ? ? (3)由(1)知直线 AB 的方程为 y ? y 0 ? y 3 ( x ? 2) ,即 x ? 0 ( y ? y0 ) ? 2 ②,将②代入 y 2 ? 6 x 得 3 y0 2 即 y 2 ? 2 y0 y ? 2 y 0 依题意,y1 , y2 是方程③的两个实根, 且 y1 ? y 2 , y 2 ? 2 y0 ( y ? y0 ) ? 12 , ? 12 ? 0 ③, 2 2 2 ∴ ? ? 4 y0 ? 4(2 y0 ?12) ? ?4 y0 ? 48 ? 0 ? ? 2 3 ? y0 ? 2 3 ,∴ AB ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? (1 ? ( ? y0 2 y2 y2 2 2 ) )( y1 ? y2 )2 ? (1 ? 0 )[( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 ] ? (1 ? 0 )(4 y0 ? 4(2 y0 ?12)) 3 9 9 2 2 2 2 (9 ? y0 )(12 ? y0 ) ,定点 C (5, 0) 到线段 AB 的距离, h ? CM ? (5 ? 2)2 ? (0 ? y0 ) 2 ? 9 ? y0 , 3 S?ABC ? 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 AB ? h ? (9 ? y0 )(12 ? y0 ) ? 9 ? y0 ? (9 ? y0 )(24 ? 2 y0 )(9 ? y0 ) 2 3 3 2 [来源:学&科&网] ? 2 2 2 ? 24 ? 2 y0 ? 9 ? y0 14 1 1 9 ? y0 2 2 7 ,当且仅当 9 ? y0 ,即 y0 ? ? 5 , ( )3 ? ? 24 ? 2 y0 3 3 2 3 A( 6 ? 35 6 ? 35 6 ? 35 6 ? 35 , 5 ? 7) ,B( , 5 ?