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《函数的单调性》教学设计


《函数的单调性》教学设计

一、教学目标设计: 1.理解函数单调性的概念及其几何特征;会根据定义和图象判断函数的单调性,会根据定义 证明简单函数的单调性; 2.经历函数增减性科学概念的形成过程,体验数学概念形成的基本思想方法,体会数形结合 的数学思想; 二、教学重难点: 1.教学重点:函数单调性的定义和依据图象与定义判断证明函数的单调性。 2.教学难点:函数单调性定义的形成过程以及根据定义证明函数的单调性。 三、教学过程设计: 为达到本节课的教学目标,突出重点,突破难点,教学过程设计为四个阶段:创设情境,引 入课题;探究发现,建构概念;自我尝试,运用概念;归纳小结,提高认识。具体过程如下: (一)创设情境 引入新课 如图为某市一天内的气温变化图:

活动1: 请同学们 思考回答下列问 题 (1)观察这个气温变化图,说出这一天气温随时间变化变化的趋势; (2) 你能用数学语言刻画在这一天内“随着时间的增大, 气温逐渐升高或下降”这一特征吗?

学生: (1) 凌晨 0 点到 4 点, 气温随时间的增大而降低; 4 点到 14 点气温随时间的增大而增大; 14 点到 24 点气温随时间的增大而降低。 (2) 思考后会跃跃欲试或欲言又止。 教师: 这里气温 是时间 的函数,记为 ,当 , 。那么,“凌晨 0 点到 4 点气温随时 时, ,当 随 的增大而减小;“4 点到 14 时, ,当 随 的增大而增大; 时, 随 的

间的增大而降低”,就是函数

点气温随时间的增大而升高”, 就是函数

“14 点到 24 点气温随时间的增大而降低”,就是函数 增大而减小。这里的函数 ,当 ,当 时,

随 的增大而增大其实就是函数 时, 随 的增大而减小其实

在[4,14]上是增函数;函数 就是函数

在[14,24]上是减函数, 那么什么叫增函数, 什么叫减函数呢?又怎样用数

学语言来刻画函数的增减性呢?这也正是我们本节课将要解决的问题---板书课题. [设计意图]: 从学生身边的实例入手, 即可使学生感受数学源于生活,又可增强问题的趣味性, 从而激发学生的学习兴趣。 似曾相识的生活问题用已有的数学知识一时难以得出答案, 必会 引起学生认知上的冲突,从而激发了学生的求知欲,也使引出本节课题顺理成章. (二)探究发现 建构概念 在本阶段的教学中,为使学生充分感受数学概念的形成与发展过程和数形结合的数学思想, 加深对函数单调性的本质的认识,设计以下几个环节,引导学生分别完成对单调性定义的认 识. 1.借助图象 直观感知

问题1:分别做出函数 化趋势?

的图像,指出上面每个函数的变

通过学生熟悉的图像,及时引导学生观察,函数图象上点的情况,引导学生能用自然语言描 述出,随着 增大时图像变化规律。让学生大胆的去说,老师逐步修正、完善学生的说法, 最后给出正确答案。 [设计意图]:一次函数、二次函数和反比例函数的图象是学生知识的最近发展区,以学生熟 悉的这些函数的变化趋势为切入点,尽量从直观入手,符合学生的认知规律,以便学生主动 完成从定性描述到定量描述的正向迁移。

2.步步深化 形成概念 观察函数 问题2:在 随自变量 变化的情况,设置启发式问题: 轴的右侧部分图象具有什么特点?

问题3:如果在

轴右侧部分取两个点 A 时,

、B

,当 B 在 A 的右边时,

B 在 A 的上边还是下边?即当 内任取两个值 验证:设任意

的大小关系如何?是不是对于区间

都有这个规律呢? ,且 ,那么 ,

由 即 所以,函数

,易知 。 对任意

从而



,当

时,都有

问题4:如何用数学符号语言来描述这个规律? 函数 函数 在(0,+ 对任意 在 )上随自变量 增大而增大可数学语言描述为: ,当 时,都有

这时我们就说函数 活动2:类似地分析图象在

上是增函数。

轴的左侧部分。

[设计意图]:通过问题的分解,引导学生步步深入,直至找到最准确的数学语言 来描述定义。体现从简单到复杂、具体到抽象的认知过程。在课堂教学中教师引 导学生探索获得知识、技能的途径和方法。通过探索,培养学生的观察能力和运 动变化的观点,同时充分利用图形的直观性,渗透了数形结合的思想,学生在探 索的过程中感受到自我劳作下丰收的喜悦,更激起了学生的探索创新意识。
3.辨析讨论 加深理解 活动3:判断下列说法是否正确 (1)定义在 (2)定义在 上的函数 上的函数 满足 满足 ,则函数是 ,则函数是 上的增函数。 上不是减函数。

(3)已知函数

,因为



所以函数

是增函数。

(4) 定义在 上的增函数。

上的函数



上是增函数, 在

上也是增函数, 则函数是

(5)函数 是减函数。





上都是减函数,所以





通过对上述几题讨论,加深学生对定义的理解。强调以下三点,完成本阶段的教 学: ①单调性是对定义域内某个区间而言的, 离开了定义域和相应区间就谈不上单调 性。 ②有的函数在整个定义域内单调(如一次函数), 有的函数只在定义域内的某些区 间单调(如二次函数),有的函数根本没有单调区间(如常函数)。 ③函数在定义域内的两个区间 A,B 上都是增(或减)函数,一般不能认为函数 在 上是增(或减)函数。

[设计意图]:函数单调性定义产生是本节课的难点,难在:如何使学生从描述性语言过渡到 严谨的数学语言。 而对严谨的数学语言的准确理解及正确应用更是学生薄弱环节, 这里通过 问题研讨体现了以学生为主体,师生互动合作的教学新理念。 (三)自我尝试 运用概念 例 1:如下图给出定义在 上的函数 ,根据图象说出函数的单调区间,以及在

每一单调区间上,它是增函数还是减函数?

学生先思考或讨论后再回答,教师点拨、提示并及时评价学生。图像上升则在此 区间上是增函数,图像下降则在此区间上是减函数。

练习 1:说出函数

的单调区间,并指明在该区间上的单调性.

例 2:画出函数

的图像,判断它的单调性,并加以证明。

学生先思考或讨论,再到黑板上书写。当学生没有证明思路时,教师再提示,及时纠正学生 解答过程出现的问题,并标出关键的地方,以便学生总结定义法的步骤。 [设计意图]:例 1 及练 1 主要是从图形上判断函数的单调性,巩固函数单调性定义;例 2 主 要对数形结合,定义法证明函数的单调性的知识巩固与应用。 (四)归纳小结,提高认识 归纳小结是巩固新知识不可或缺的环节之一, 本节课我采用组织和指导学生自己谈学习收获 的方式对所学知识进行归纳,深化对数学思想方法的认识,为后续学习打好基础. 1.本节小结 函数单调性定义,判断函数单调性的方法(图像、定义) 在方法层面上,引导学生回顾判断,证明函数单调性的方法和步骤;引导学生体会探究过程 中用到的思想方法和思维方法,如数形结合,等价转化,类比等。 2.布置作业 (1).课本 习题 组 1,2

(2).思考交流:如果可以证明对任意的 能断定函数 在 上是增函数吗?

,且

,有



[设计意图]:作业实施分层设置,思考题目的是加深学生对定义的理解,让学生体会这种叙 述与定义的等价性, 而且这种方法进一步发展可以得到导数法, 为今后用导数方法研究函数 单调性埋下伏笔。 四、教学评价设计: 增减函数形式化定义的形成这个困难主要发生在概念形成过程中有特殊到一般的过渡, 也就 是对定义中“任意性”的理解,教学时应多给学生操作思考的空间。利用增减函数定义判断函 数的单调性学生所遇的困难主要是学生比较大小的能力不够, 因此对函数的复杂程度要加以 控制,同时要帮助学生建立判断函数单调性的基本步骤。


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