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【高考讲坛】2015届高三数学(文,山东版)一轮限时检测44 圆的方程]


课时限时检测(四十四) 圆的方程
(时间:60 分钟 满分:80 分)命题报告 基础 稍难 1,2 圆的定义与圆的方程 3 11 与圆有关的最值(范围)问题 7 点与圆的位置关系 4,8 与圆有关的轨迹问题 5,10 12 圆的方程综合应用问题 一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1.(2014· 东营模拟)点 P(2,-1)为圆(x-1)2+y2=25 内弦 AB 的中点,则直线 AB 的方 程为( ) A.x+y-1=0 B.2x+y-3=0 C.x-y-3=0 D.2x-y-5=0 【解析】 由题意可知,圆心 Q(1,0),故 kPQ=-1. ∴kAB=1,∴AB 的方程为:y+1=1×(x-2),即 x-y-3=0. 【答案】 C 2.(2014· 湖北荆州中学质检)若当方程 x2+y2+kx+2y+k2=0 所表示的圆取得最大面积 时,则直线 y=(k-1)x+2 的倾斜角 α=( ) 3π π 3π 5π A. B. C. D. 4 4 2 4 1 2 【解析】 圆的半径 r= k +4-4k2≤1,当有最大半径时圆有最大面积,此时 k=0, 2 3 r=1,∴直线方程为 y=-x+2,则 tan α=-1,且 α∈[0,π),∴α= π. 4 【答案】 A 3.已知两点 A(-2,0),B(0,2),点 C 是圆 x2+y2-2x=0 上任意一点,则△ABC 面积的 最小值是( ) A.3- 2 B.3+ 2 3- 2 2 C.3- D. 2 2 【解析】 圆的标准方程为(x-1)2+y2=1, 直线 AB 的方程为 x-y+2=0, |1-0+2| 3 2 圆心(1,0)到直线 AB 的距离 d= = , 2 2 3 2 则点 C 到直线 AB 的最短距离为 -1,又|AB|=2 2, 2 1 3 2 ? S△ABC 的最小值为 ×2 2×? =3- 2. 2 ? 2 -1? 【答案】 A 4.点 P(4,-2)与圆 x2+y2=4 上任一点连线的中点轨迹方程是( A.(x-2)2+(y+1)2=1 B.(x-2)2+(y+1)2=4 C.(x+4)2+(y-2)2=4 D.(x+2)2+(y-1)2=1 【解析】 设圆上任一点坐标为(x0,y0), 2 则 x2 0+y0=4,连线中点坐标为(x,y), ?2x=x0+4, ?x0=2x-4, ? ? 则? ?? ?2y=y0-2, ?y0=2y+2, ? ? 考查知识点及角度 题号及难度 中档 9 6

)

2 2 2 代入 x2 0+y0=4 中得(x-2) +(y+1) =1. 【答案】 A 5.点 M,N 在圆 x2+y2+kx+2y-4=0 上,且点 M,N 关于直线 l:x-y+1=0 对称, 则该圆的半径为( ) A.2 2 B. 2 C.3 D.1 【解析】 M,N 关于直线 l 对称,则直线 l 为 MN 的垂直平分线,故过此圆圆心 k ?- ,-1?,所以 k=4.所以原方程可化为 x2+y2+4x+2y-4=0,即(x+2)2+(y+1)2=9, ? 2 ? 所以其半径为 3.故选 C. 【答案】 C 6.若曲线 C:x2+y2+2ax-4ay+5a2-4=0 上所有的点均在第二象限内,则 a 的取值 范围为( ) A.(-∞,-2) B.(-∞,-1) C.(1,+∞) D.(2,+∞) 【解析】 曲线 C 的方程可化为(x+a)2+(y-2a)2=4, 其为圆心为(-a,2a),半径为 2 的圆, 要使圆 C 的所有的点均在第二象限内, 则圆心(-a,2a)必须在第二象限,从而有 a>0, 并且圆心到两坐标轴的最短距离应该大于圆 C 的半径, 易知圆心到坐标轴的最短距离为|-a|,则有|-a|>2,得 a>2. 【答案】 D 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 7.直线 x-2y-2k=0 与 2x-3y-k=0 的交点在圆 x2+y2=9 的外部,则 k 的范围是 ________. ? ? ?x-2y-2k=0, ?x=-4k, 【解析】 由? 得? ?2x-3y-k=0, ?y=-3k. ? ? 2 2 2 ∴(-4k) +(-3k) >9,即 25k >9, 3 3 解得 k> 或 k<- . 5 5 3? ?3 ? 【答案】 ? ?-∞,-5?∪?5,+∞? 8.已知 A、B 是圆 O:x2+y2=16 上的两点,且|AB|=6,若以 AB 的长为直径的圆 M 恰好经过点 C(1,-1),则圆心 M 的轨迹方程是________. 【解析】 设圆心坐标为 M(x,y), |AB|?2 则(x-1)2+(y+1)2=? ? 2 ?, 即(x-1)2+(y+1)2=9. 【答案】 (x-1)2+(y+1)2=9 9. 已知圆 C 过点 A(1,0)和 B(3,0), 且圆心在直线 y=x 上, 则圆 C 的标准方程为________. 【解析】 由题意可设圆心坐标为(a,a),则圆的标准方程为(x-a)2+(y-a)2=r2, 2 2 2 ? ? ??1-a? +a =r , ?a=2, ? ∴ 解得? 2 2 2 2 ? ? ??3-a? +a =r , ?r =5. 故圆 C 的标准方程为(x-2)2+(y-2)2=5. 【答案】 (x-2)2+(y-2)2=5 三、解答题(本大题共 3 小题,共 35 分) 10.(10 分)已知圆的方程为(x-m)2+(y+m-4)2=2. (1)求圆心 C 的轨迹方程; (2)当|OC|最小时,求圆 C 的一般方程(O 为坐标原点).

? ?x=m, 【解】 (1)设 C(x,y),则? ?y=4-m. ? 消去 m,得 y=4-x. ∴圆心 C 的轨迹方程为 x+y-4=0. (2)当|OC|最小时,OC 与直线 x+y-4=0 垂直, ∴直线 OC 的方程为 x-y=0. ?x+y-4=0, ? 由? 得 x=y=2. ?x-y=0, ? 即|OC|最小时,圆心的坐标为(2,2),∴m=2. 圆 C 的方程为(x-2)2+(y-2)2=2. 其一般方程为 x2+y2-4x-4y+6=0. 11.(12 分)已知点 P(x,y)是圆(x+2)2+y2=1 上任意一点. (1)求 P 点到直线 3x+4y+12=0 的距离的最大值和最小值; (2)求 x-2y 的最大值和最小值; y-2 (3)求 的最大值和最小值. x-1 【解】 (1)圆心 C(-2,0)到直线 3x+4y+12=0 的距离为 |3×?-2?+4×0+12| 6 d= = . 5 32+42 ∴P 点到直线 3x+4y+12=0 的距离的最大值为 6 11 d+r= +1= , 5 5 6 1 最小值为 d-r= -1= . 5 5 (2)设 t=x-2y, 则直线 x-2y-t=0 与圆(x+2)2+y2=1 有公共点. |-2-t| ∴ 2 ≤1. 1 +?-2?2 ∴- 5-2≤t≤ 5-2. ∴tmax= 5-2,tmin=-2- 5. 即 x-2y 的最大值为 5-2. 最小值为-2- 5. y-2 (3)设 k= , x-1 则直线 kx-y-k+2=0 与圆(x+2)2+y2=1 有公共点, |-3k+2| ∴ ≤1. k2+1 3- 3 3+ 3 ∴ ≤k≤ . 4 4 3+ 3 3- 3 ∴kmax= ,kmin= . 4 4 y-2 3+ 3 3- 3 即 的最大值为 ,最小值为 . 4 4 x-1

12.(13 分)已知圆 C 经过 P(4,-2),Q(-1,3)两点,且在 y 轴上截得的线段长为 4 3, 半径小于 5. (1)求直线 PQ 与圆 C 的方程; (2)若直线 l∥PQ,且 l 与圆 C 交于点 A,B,且以线段 AB 为直径的圆经过坐标原点, 求直线 l 的方程. 【解】 (1)直线 PQ 的方程为:x+y-2=0,设圆心 O(a,b),半径为 r,

由于线段 PQ 的垂直平分线的方程是 1 3 y- =x- , 2 2 即 y=x-1,所以 b=a-1.① 又由在 y 轴上截得的线段长为 4 3, 知(a+1)2+(b-3)2=12+a2.② 由①②得:a=1.b=0 或 a=5,b=4. 当 a=1,b=0 时,r2=13 满足题意 当 a=5,b=4 时,r2=37 不满足题意, 故圆 C 的方程为(x-1)2+y2=13. (2)设直线 l 的方程为 y=-x+m, A(x1,m-x1),B(x2,m-x2), 由题意可知 OA⊥OB,即 kOA· kOB=-1, m-x1 m-x2 ∴ · =-1. x1 x2 整理得 m2-m(x1+x2)+2x1x2=0 将 y=-x+m 代入(x-1)2+y2=13 可得 2x2-2(m+1)x+m2-12=0. m2-12 ∴x1+x2=1+m,x1x2= , 2 2 2 即 m -m· (1+m)+m -12=0. ∴m=4 或 m=-3,∴y=-x+4 或 y=-x-3.


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