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第二章 统 计

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知识梳理

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1.关于抽样方法 (1)用随机数法抽样时,对个体所编号码位数要相同,当问题所给位数 不同时,以位数较多的为准,在位数较少的数前面添“0”,凑齐位数. (2)用系统抽样法时,如果总体容量N能被样本容量n整除,抽样间隔为
N ;如果总体容量N不能被样本容量n整除,先用简单随机抽样剔除 n K 多余个体,抽样间隔为k= (其中K=N-多余个体数). n

k=

(3)三种抽样方法的异同点

类别
简单随机

共同点

各自特点
从总体中逐个抽取

相互联系

适用范围
总体中的个

抽样 系统抽样

抽样过程 中每个个 体被抽到 的可能性 相同

体数较少
总体中的个 体数较多

将总体平均分成几部分, 在起始部分抽

按事先确定的规则分别 样时,采用简
在各部分中抽取 将总体分成几层,按各 层个体数之比抽取 单随机抽样

各层抽样时采 总体由差异
用简单随机抽 明显的几部

分层抽样

样或系统抽样 分组成

2.关于用样本估计总体

(1)用样本频率分布估计总体频率分布时,通常要对给定的一组数据进
行列表、作图处理,作频率分布表与频率分布直方图时要注意其方法

步骤.
(2)茎叶图刻画数据有两个优点:一是所有信息都可以从图中得到;二

是茎叶图中的数据可以随时记录,随时添加,便于记录和表示.
(3)平均数反映了样本数据的平均水平,而标准差反映了样本数据的波

动程度.

3.变量间的相关关系

(1)除了函数关系这种确定性的关系外,还大量存在因变量的取值带有
一定随机性的两个变量之间的关系——相关关系,对于一元线性相关

关系,通过建立回归方程就可以根据其部分观测值,获得对这两个变
量之间的整体关系的了解,主要是作出散点图,写出回归方程.

(2)求回归方程的步骤:
①先把数据制成表,从表中计算出 x , y , ?x2 i , ?xiyi;
i=1 i=1 n n

? n ? ?xiyi-n x y ? ? ^ i=1 ?b= , ^ ^ n ②计算回归系数a,b.公式为? 2 2 ? x - n x ?i ? i=1 ? ^ ?^ ? a= y -b x ;

③写出回归方程y=bx+a.

^

^

^

返回

题型探究

重点突破

题型一 抽样方法的运用 1.抽样方法有:简单随机抽样、系统抽样、分层抽样. 2.三种抽样方法比较

例1

(1)某校选修乒乓球课程的学生中,高一年级有30名,高二年级有

40名,现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本,已知在高一 年级的学生中抽取了6名,则在高二年级的学生中应抽取的人数为( B ) A.6 解析 B.8 C.10 D.12 分层抽样的原理是按照各部分所占的比例抽取样本 .设从高二年

级抽取的学生数为n,
30 6 则 = ,得 n=8. 40 n

解析答案

(2)问题:①某小区有800户家庭,其中高收入家庭200户,中等收入家

庭480户,低收入家庭120户,为了了解有关家用轿车购买力的某个指
标,要从中抽取一个容量为100的样本;②从10名学生中抽取3人参加

座谈会.方法:(1)简单随机抽样;(2)系统抽样;(3)分层抽样.则问题与
方法配对正确的是( D )

A.①(1),②(2) B.①(3),②(2)
C.①(2),②(3) D.①(3),②(1) 解析 问题①中的总体是由差异明显的几部分组成的,故可采用分层 抽样方法; 问题②中总体的个数较少,故可采用简单随机抽样.故匹配正确的是D.
解析答案

跟踪训练1

某单位有840名职工,现采用系统抽样方法抽取42人做问

卷调查,将840人按1,2,…,840随机编号,则抽取的42人中,编号落 入区间[481,720]的人数为( B A.11 解析 B.12 C.13 ) D.14

840 抽样间隔为 =20.设在1,2,…,20中抽取号码x0(x0∈[1,20]).在 42 [481,720]之间抽取的号码记为20k+x0,则481≤20k+x0≤720,k∈N*. 1 x0 所以 24 ≤k+ ≤36. 20 20 ? x0 ? ?1 ? 因为 ∈? ,1 ?,所以 k=24,25,26,…,35, 20 ?20 ?

所以k的值共有35-24+1=12(个),即所求人数为12.
解析答案

题型二 用样本的频率分布估计总体分布 此类问题通常要对样本数据进行列表、作图处理.这类问题采取的图表 主要有:条形图、直方图、茎叶图、频率分布折线图、扇形图等.它们 的主要优点是直观,能够清楚表示总体的分布走势.除茎叶图外,其他 几种图表法的缺点是原始数据信息有丢失.

例2

如图所示的是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图,已知图

中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3,第2小组的频数为10, 则抽取的学生人数为( )

A.20

B.30

C.40

D.50
解析答案

跟踪训练2

某市民用水拟实行阶梯水价,每人月用水量中不超过w立

方米的部分按 4 元 / 立方米收费,超出 w立方米的部分按 10 元 / 立方米收 费,从该市随机调查了10 000位居民,获得了他们某月的用水量数据, 整理得到如下频率分布直方图:

(1) 如果 w 为整数 , 那么根据此次调查,为使 80% 以上居民在该月的用

水价格为4元/立方米,w至少定为多少?
解 (1)如题图所示,用水量在[0.5,3)

的频率的和为:(0.2+0.3+0.4+0.5
+0.3)×0.5=0.85.

∴用水量小于等于3立方米的频率为
0.85,又w为整数,

∴为使80%以上的居民在该月的用水价格为4元/立方米,w至少定为3.

解析答案

(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替,当w=3时,估 计该市居民该月的人均水费. 解 当w=3时,该市居民该月的人均水费估计为: (0.1×1 + 0.15×1.5 + 0.2×2 + 0.25×2.5 + 0.15×3)×4 + 0.15×3×4 +

[0.05×(3.5-3)+0.05×(4-3)+0.05×(4.5-3)]×10=7.2+1.8+1.5
=10.5(元).

即该市居民该月的人均水费估计为10.5元.

解析答案

题型三 用样本的数字特征估计总体的数字特征 为了从整体上更好地把握总体的规律,我们还可以通过样本数据的众 数、中位数、平均数和标准差等数字特征对总体相应的数字特征作出 估计.众数就是样本数据中出现次数最多的那个值;中位数就是把样 本数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数, 中位数为处于中间位置的数,如果数据的个数是偶数,中位数为中间 两个数据的平均数;平均数就是所有样本数据的平均值,用 x 表示; 标准差是反映样本数据分散程度大小的最常用统计量,其计算公式是 1 s= [?x1- x ?2+?x2- x ?2+…+?xn- x ?2]. n 有时也用标准差的平方(s2-方差)来代替标准差.

例3

(1)若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分茎叶图如图所示,

则这组数据的中位数和平均数分别是(单位:分)( A )

A.91.5和91.5

B.91.5和92

C.91和91.5

D.92和92

解析 将这组数据从小到大排列,得87,89,90,91,92,93,94,96(单位:分). 1 故平均数 x = ×(87+89+90+91+92+93+94+96)=91.5(分), 8
91+92 中位数为 =91.5(分).故选 A. 2
解析答案

(2)从某项综合能力测试中抽取100人的成绩,统计如表,则这100人成 绩的标准差为( B )

分数 人数

5 20

4 10

3 30

2 30

1 10

2 10 8 A.3 B. C.3 D. 5 5 100+40+90+60+10 解析 ∵ x = =3, 100 1 2 ∴s = [(x1- x )2+(x2- x )2+…+(xn- x )2] n 1 160 8 2 10 2 2 2 2 = (20×2 +10×1 +30×1 +10×2 )= = ?s= . 100 100 5 5
解析答案

跟踪训练3

为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况,

用简单随机抽样,从这两校中各抽取30名高三年级学生,以他们的数 学成绩(百分制)作为样本,样本数据的茎叶图如图.

(1) 若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为 0.05,求甲校高三年级学 生总人数,并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率 (60分及60 分以上为及格);

解 设甲校高三年级学生总人数为n.
30 由题意,知 =0.05,解得 n=600. n

样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格的人数为5,
5 5 据此估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率为 1- = . 30 6

解析答案

(2)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为 x 1, x 2,估 计 x 1- x 2 的值.



设甲、乙两校样本平均数分别为 x′1 , x′2 .

根据样本茎叶图知,30( x′1 - x′2 )=30 x′1 -30 x′2

=(7-5)+(55+8-14)+(24-12-65)+(26-24-79)+(22-20)+92
=2+49-53-77+2+92=15.
因此 x′1 - x′2 =0.5,所以 x1 - x2 的估计值为 0.5 分.

解析答案

题型四 变量间的相关关系 1. 分析两个变量间的相关关系时,我们可根据样本数据散点图确定两 个变量之间是否存在相关关系,还可利用最小二乘法求出回归方程.把 样本数据表示的点在直角坐标系中作出,构成的图叫做散点图.从散点 图上,我们可以分析出两个变量是否存在相关关系.如果这些点大致分

布在通过散点图中心的一条直线附近,那么就说这两个变量之间具有
线性相关关系,这条直线叫做回归直线,直线方程叫做回归方程.

2.回归方程的应用
利用回归方程可以对总体进行预测,虽然得到的结果不是准确值,但

我们是根据统计规律得到的,因而所得结果的正确率是最大的,所以
可以大胆地利用回归方程进行预测.

例4 某地连续十年粮食需求量逐年上升,下表是部分统计数据: 年份 需求量(万吨) 2006 236 2008 246 2010 257 2012 276
^ ^

2014 286
^

(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归方程y=bx+a;

解析答案

(2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2016年的粮食需求量. 解 利用直线方程①,可预测2016年的粮食需求量为

6.5×(2 016-2 010)+260.2=6.5×6+260.2=299.2(万吨)≈299(万吨).

解析答案

跟踪训练4 表所示:

理论预测某城市2020到2024年人口总数与年份的关系如下 年份202x(年) 人口数y(十万) 0 5 1 7 2 8 3 11 4 19

(1)请画出上表数据的散点图;
解 数据的散点图如图:

解析答案

(2)指出x与y是否线性相关; 解 由散点图可知,样本点基本上分布在一条直线附近,故 x与 y呈线

性相关.

解析答案

(3)若 x 与 y 线性相关,请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关 于 x 的回归方程y=bx+a;
1 解 由表知 x = ×(0+1+2+3+4)=2, 5 1 y = ×(5+7+8+11+19)=10. 5
i=1

^

^

^

?xiyi-5 x y ?x2 i -5 x 2
^
解析答案

5

∴b=

^

5

=3.2,a= y -b x =3.6,

^

^

i=1

∴回归方程为y=3.2x+3.6.

(4)据此估计2025年该城市人口总数. (参数数据:0×5+1×7+2×8+3×11+4×19=132,02+12+22+32+ 42=30)
解 当 x=5 时,y=19.6(十万)=196 万.
^

故2025年该城市人口总数约为196万.

解析答案

题型五 名称

数形结合思想 数 形 结合 ①可求众数:最高矩形的中点 所对应的横坐标; ②可求中位数:中位数左边和 右边的直方图面积相等; ③可求平均数:每个矩形的面 积乘以矩形底边中点的横坐标 之和; ④可求落在各个区域内的频率

数据分组及频数:
频率 分布 直方 图 [40,50),2;

[50,60),3;
[60,70),10;

[70,80),15;
[80,90),12;

[90,100],8

名称





结合 可精确地反映一个总体在各

总体密
度曲线

同上

个区域内取值的百分比,如
分数落在(a,b)内的百分比

是左图中阴影部分的面积

名称

数 甲的数据: 95,81,75,89,71,65,7 6,88,94; 乙的数据: 83,86,93,99,88,103, 98,114,98



结合 ①茎是十位和百位数字,叶 是个位数字; ②可以帮助分析样本数据的 大致频率分布; ③可用来求数据的一些数字 特征,如中位数、众数等 可以判断两个变量之间有无

茎叶图

散点图 n个数据点(xi,yi)

相关关系

例5

甲、乙两人在相同的条件下各射靶10次, 每次射靶成绩(单位:

环)如下图所示.

(1)填写下表:

平均数

方差

中位数

命中9环及以上

甲 乙

7

1.2 5.4

1 3
解析答案

(2)请从四个不同的角度对这次测试进行分析: ①从平均数和方差结合分析偏离程度; 解
2 甲、乙的平均数相同,均为7,但 s甲 <
2 s乙,说明甲偏离平均数的程

度小,而乙偏离平均数的程度大. ②从平均数和中位数结合分析谁的成绩好些; 解 甲、乙的平均水平相同,而乙的中位数比甲大,说明乙射靶环数

的优秀次数比甲多.
③从平均数和命中9环以上的次数相结合看谁的成绩好些;



甲、乙的平均水平相同,而乙命中9环以上(包含9环)的次数比甲多
解析答案

2次,可知乙的射靶成绩比甲好.

④从折线图上两人射击命中环数及走势分析谁更有潜力.



从折线图上看,乙的成绩呈上升趋势,而甲的成绩在平均线上波

动不大,说明乙的状态在提升,更有潜力.
解析答案

跟踪训练5 确的是(

甲、乙两名同学在五次数学测试中的成绩统计用茎叶图表

示如下,若甲、乙两人的平均成绩分别用X甲,X乙表示,则下列结论正
)

A.X甲>X乙,甲比乙成绩稳定 C.X甲<X乙,甲比乙成绩稳定

B.X甲>X乙,乙比甲成绩稳定 D.X甲<X乙,乙比甲成绩稳定

解析答案

课堂小结 1.对于频率分布直方图,要记住以下几点:(1) 每个小矩形面积=这组 频率 的频率;(2)所有小矩形面积的和为1;(3)纵轴表示的数为 . 组距 2. 在研究两个变量是否存在某种关系时,必须从散点图入手,通过散 点图,可以做出判断.

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本课结束


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