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18-19学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.7 定积分的简单应用 1.7.2 定积分在物理中的应用 新人教A版选修2_图文

1.7.2 定积分在物理中的应用

类型一 求变速直线运动的路程 【典例1】(1)物体A的运动速度v与时间t之间的关系为 v=2t-1(v的单位是m/s,t的单位是s),物体B的运动速 度v与时间t之间的关系为v=1+8t,两个物体在相距为 405 m的同一直线上同时相向运动,则它们相遇时,A 物体的运动路程为___________.

(2)(2017·漳州高二检测)有一动点P沿x轴运动,在时 间t时的速度为v(t)=8t-2t2(速度的正方向与x轴正方 向一致).求:点P从原点出发,当t=6时,点P离开原点 的路程和位移.

【解题指南】(1)本题是一个相遇问题,两个物体运动 的总路程是知道的,我们只需要对时间t进行积分,相 加列方程求解出时间,即可求出A物体的运动路程.

? ? 【解析】(1)依题意 t (2t-1)dt+ t (1+8t)dt=405,

0

0

即(t2-t) +(t+4t2) =5t2=405,

|0t

|0t

解得t=9,

所以A物体的运动路程为(t2-t) =72(m).

答案:72 m

|90

(2)由v(t)=8t-2t2≥0,得0≤t≤4, 即当0≤t≤4时,P点向x轴正方向运动, 当t>4时,P点向x轴负方向运动. 故t=6时,点P离开原点的路程为

? ? ? ? ? ? s1 ?

4 0

8t ? 2t2

dt ?

6 4

8t ? 2t2

dt

?当(4tt=2 6?时23 t,3) 点04 ?P(的4t2位? 移23 t为3) 64

?

128 3

.

? ? ? 6 0

8t ? 2t2

dt

?

(4t2

?

2 3

t3)

6 0

?

0.

【延伸探究】 1.在本例(2)题设条件不变的情况下,求P从原点出发, 经过时间t后又返回原点时的t值.

? 【解析】依题意 t (8t-2t2)dt=0, 0
即4t2- 2t3=0, 解得t=03或t=6,
t=0对应于P点刚开始从原点出发的情况,t=6是所求的
值.

2.若将本例(2)中条件“v(t)=8t-2t2”改为“v(t)=4t2”其他条件不变,结果如何?

【解析】由v(t)=4-t2≥0,得0≤t≤2, 当0≤t≤2时,P点向x轴正方向运动, 当t≥2时,点P向x轴负方向运动, 当t=6时,点P离开原点的路程为

? ? ? ? ? ? s ? 2 4 ? t2 dt ? 6 4 ? t2 dt

0

2

当? (t4=t6?时13,t3点) P02 的? (位4t移? 13为t3)

6 2

?

176, 3

? ? ? 6 0

4? t2

dt

?

(4t

?

1 3

t3)

6 0

?

?48.

【方法总结】变速直线运动的路程或位移的求法步骤 (1)确定所求时间段上的速度函数. (2)解不等式v(t)>0, v(t)<0确定积分区间. (3)确定所求的是路程还是位移. (4)用定积分表示相应的路程或位移. (5)通过定积分的运算得出结论.

【补偿训练】一辆做变速直线运动的汽车开始以速度 v=t2-4t+3(m/s)运动,求: (1)在t=4 s时的位置. (2)在t=4 s时运动的路程.

【解析】(1)在t=4 s时该点的位移为

? ? ? 4 t2 ? 4t
即0 在t=4

?s3时d该t ?点( 13距t3 ?出2t发2 ?点3t)|04

?4 m.3

?

m

?.

4

3

(2)因为v(t)=t2-4t+3=(t-1)(t-3), 所以在区间[0,1]及[3,4]上,v(t)≥0,在区间 [1,3]上,v(t)≤0, 所以在t=4 s时的路程为

? ? ? ? ? ? ? ? ? s ? 1 t2 ? 4t ? 3 dt? | 3 t2 ? 4t ? 3 dt | ? 4 t2 ? 4t ? 3 dt

0

1

3

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 t2 ? 4t ? 3 dt ? 3 t2 ? 4t ? 3 dt ? 4 t2 ? 4t ? 3 dt ? 4?m?.

0

1

3

类型二 求变力做功 【典例2】(1)在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量 的气体,在等温条件下,由于气体的膨胀,把容器中 的一个活塞(面积为S)从点a处推到点b处,计算在移动 过程中,气体压力所做的功.

(2)一物体以速度v(t)=2t2(m/s)做直线运动,媒质的阻 力F(N)与速度v(m/s)的关系为F=0.7v2,试求在时刻 t=0(s)到t=2(s)这段时间内阻力做的功.

【解题指南】(1)力F对物体所做的功W=F·s,求出变 力表达式,再进行计算. (2)先计算媒质的阻力,再利用积分的物理意义求出在 时刻t=0(s)到t=2(s)这段时间内阻力做的功.

【解析】(1)由物理学知识易得,压强p与体积V的乘积

是常数k,即pV=k.

因为V=xS(x指活塞与底的距离),

所以

所以作p ?用Vk在?活xkS塞. 上的力

所以所做的功

F?p S? k S? k.

xS x

? W ?

b k dx ? k ax

ln x |ab ? kln

b ?J?.
a

(2)媒质的阻力为F=0.7v2=2.8t4, 取一小段时间[t,t+Δt], 这一小段时间内阻力做的功为ΔW=FvΔt, 所以在时刻t=0(s)到t=2(s)这段时间内阻力做的功为

? ? W ?

2
Fvdt ?

25.6t6dt ? 102.4 J

0

0

答 : 在 时 刻 t=0(s) 到 t=2(s) 这 段 时 间 内 阻 力 做 的 功 为 102.4 J.

【方法总结】求变力做功的方法 (1)求变力做功,要根据物理学的实际意义,求出变力 F的表达式. (2)由功的物理意义知,物体在变力F(x)的作用下,沿 力 F(x) 的 方 向 做 直 线 运 动 , 使 物 体 从 x=a 移 动 到 x=b(a<b).因此求功之前还应求出位移的起始位置与终 止位置.

【巩固训练】一物体按规律x=bt2做直线运动,式中x为 时间t内通过的距离,媒质的阻力与速度成正比.试求 物体由x=0运动到x=a时,阻力所做的功的大小.

【解析】物体的速度v=(bt2)′=2bt.

媒质阻力Fzu=kv=2kbt,其中k为比例常数,k>0.

当x=0时,t=0;当x=a时,t=t1= 又dx=vdt,故阻力所做的功为

(

a

1
) 2,

b

? ? ? ? ? Wzu ?

t1 kv vdt ? k
0

t1 v2dt ? k
0

t1 0

2bt

2 dt

?

4 kb2t3 3

t1 0

?

4 3

kb2

t 13

? 4k 3

a 3b (J).

【补偿训练】在原点O有一个带电量为+q的电荷,它所 产生的电场对周围的电荷有作用力,现有一个单位正 电荷从距O点a处沿着射线方向移至距O点为b(a<b)的 位置,求电场力做的功.

【解析】取电荷移动的射线方向为x轴的正方向,那么

电场力为F=k· q (k为常数)这是一个变力,在[x,

x+Δx]上,显然x2 ,W= ·Δx, kq

所以

x2

? W ?

b a

kq x2

dx

?

kq(

?

1 x

)|ab

?

kq(

1 a

?

1 b

)?

J

?.

【课堂小结】 1.知识总结

2.方法总结 (1)做变速直线运动的物体所经过的路程s,等于其速度 函数v=v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a,b]上的定积 分,即
? (2)一物S体? 在ab v恒?t?力dt.F的作用下做直线运动.如果物体沿着
与F相同的方向移动s m,则力F所做的功为:W=F·s.


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