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第07讲 一元二次方程与解法(二)


第 07 讲 适用学科 适用区域 知识点
初中数学 全国

一元二次方程与解法(二) 适用年级 课时时长(分钟)
初中三年级 120

1.公式法解一元二次方程 2.因式分解法解一元二次方程 3.一元二次方程根的判别式 4.一元二次方程的根与系数关系

教学目标

1.掌握公式法、因式分解法一元二次方程的方法 2.熟练掌握一元二次方程的根与系数关系 3.体验解决问题方法的多样性,灵活选择解方程的方法

教学重点

1.求根公式的推导,公式的正确使用 2.使学生能够熟练而准确的运用公式法,因式分解法求一元二次方程的解 3.积极探索方程不同解法,通过交流发现最优解法,获得成功体验

教学难点

1.公式法的准确运用 2.将整理成一般形式的方程左边因式分解 3.一元二次方程的根与系数关系

1

教学过程
一、复习预习
上节课我们学习了一元二次方程的定义及解法,接下来请同学们回忆一下: (2)一元二次方程: 只含有_____个未知数,未知数的最高次数是____,且二次项系数____,这样的方程叫一 元二次方程;它的一般形式是_______________。
2 例如, (1 ) 2 x ? 1 ? x 2 (2) x ? 5 x ? 0 2 (3) 3 x ? 12

2.一元二次方程的解法有_________法、_________法, 解方程 2 x 2 ? 8 ? 0 x 2 ? 2 x ? 2 ? 0 .
2 解 : 2x ? 8

x2 ? 2x ? 1 ? 2 ? 1 ,

x 2 ? 4 ( x ? 1)2 ? 3 ,
x1 ? ?2, x2 ? 2 x ? 1 ? ? 3
∴ x1 ? 1 ? 3 , x 2 ? 1 ? 3 . 本节课还要学习的公式法,因式分解法。

2

二、知识讲解
1.公式法解一元二次方程:公式法是用求根公式解一元二次方程的方法,它是解一元二次方程的一般 方法.(推导过程教师板书)

ax ? bx ? c ? 0 ? a ? 0 ?
2

的求根公式为

x?

?b ? b 2 ? 4ac 2 ? b ? 4ac ? 0 ? 2a

2.因式分解法解一元二次方程:

①将方程的右边化为 0;

②将方程的左边化成两个一次因式的乘积;

③令每个因式等于 0,得到一元一次方程,解一元一次方程,它们的解就是一元二次方程的解.

3.一元二次方程根的判别式
2 0 a ? 0) 中 , b 2 ? 4ac 叫 做 一 元 二 次 方 程 根 的 判 别 式 : 一 元 二 次 方 程 ax ? bx ? c ? ( 2 ax 2 ? bx ? c ? ( 0 a ? 0) 的根的判别式,通常用“ ? ”来表示,即 ? ? b ? 4ac 。

2 当 b ? 4ac ? 0 时,方程有两个不相等的实数根;

2 当 b ? 4ac ? 0 时,方程有两个相等的实数根;

2 当 b ? 4ac ? 0 时,方程无实数根。

反之,

3

2 若方程有两个不相等的实数根,则 b ? 4ac ? 0 ;

2 若方程有两个相等的实数根,则 b ? 4ac ? 0 ;

2 若无实数根,则 b ? 4ac ? 0 。

4.一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)
b c x1 x 2 ? a, a。

0 a ? 0) 如果方程 ax ? bx ? c ? ( 的两个实数根是 x1 , x 2 ,那么
2

x1 ? x 2 ? ?

也就是说,对于任何一个有实数根的一元二次方程,两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所 得的商的相反数;两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

5. 根据一元二次方程的根与系数的关系求值常用的转化关系:

(1) x1 ? x 2 ? ? x1 ? x 2 ? ? 2 x1 x 2
2 2 2

x ? x2 1 1 ? ? 1 x1 x 2 (2) x1 x 2

2 (3) ( x1 ? a )( x 2 ? a ) ? x1 ? x 2 ? a? x1 ? x 2 ? ? a ;

(4)│ x1 ? x 2 │=

?x1 ? x2 ?2

=

?x1 ? x2 ?2 ? 4 x1 x2

考点/易错点 1 使用判别式之前一定要先把一元二次方程化为一般形式,以便正确找出 a、b、c 的值。 考点/易错点 2 根的判别式 b 2 ? 4ac 的使用条件是在一元二次方程中,而非别的方程中。因此,解题过程中要注意隐含条件

a ? 0。

4

考点/易错点 3 对于一元二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 而言,当满足① a ? 0 、② ? ? 0 时,才能用韦达定理。 考点/易错点 4 根据一元二次方程的特点, 如何灵活选用最合适的解方程的方法: 首先考虑是否满足直接开平方法的条 件,其次观察项数,考虑能否用因式分解法,用哪一种因式分解法,最后考虑公式法和配方法。

三、例题精析
【例题 1】 【题干】利用公式法解方程 4 x 2 ? x ? 3 ? 0

【答案】

x1 ?

3 , x 2 ? ?1 4

【解析】解:∵ a ? 4, b ? 1, c ? ?3 ∴ b 2 ? 4ac ? 12 ? 4 ? 4 ? (?3) ? 49>0 ∴x ? ∴x ?
? 1 ? 49 ? 1 ? 7 ? 2? 4 8

3 , x ? ?1 4

【变式练习】 【题干】用公式法解方程 3 x 2 ? 6 x ? 1 ? 0

5

【答案】解:∵ a ? 3, b ? ?6, c ? 1 , ∴ b 2 ? 4ac ? (?6) 2 ? 4 ? 3 ?1 ? 24. 代入求根公式,得 x ?
6 ? 24 6 ? 2 6 ? . 2?3 6

? x1 ? 1 ?

6 6 , x2 ? 1 ? . 3 3

【例题 2】 【题干】因式分解法解方程 3( x ? 1) 2 ? 2( x ? 1)

【答案】 x1 ? 1, x 2 ?

5 3

【解析】解:原方程可化为 3( x ? 1) 2 ? 2( x ? 1) ? 0
( x ? 1)(3 x ? 5) ? 0



x ? 1 ? 0 ,或 3x ? 5 ? 0
5 3

∴ x1 ? 1, x 2 ?

6

【变式练习】 【题干】解方程 ( x ? 5) 2 ? 49

【答案】 x1 ? ?12, x 2 ? 2 【解析】解:原方程可化为 ( x ? 5) 2 ? 7 2 ? 0
( x ? 12)( x ? 2) ? 0

∴ ∴

x ? 12 ? 0 ,或 x ? 2 ? 0
x1 ? ?12, x 2 ? 2

【例题 3】 【题干】解一元二次方程: (1 ? x) 2 ? 2(1 ? x) ? 4 ? 0

7

【答案】解 : 设 1 ? x ? y 原 方 程 化 为 : y2 ? 2 y ? 4 ? 0 , 解 得 : y1 ? ?1 ? 5 , y2 ? ?1 ? 5 即
1 ? x ? ?1 ? 5 ,1 ? x ? ?1 ? 5

所 以 x1 ? ?2 ? 5 , x2 ? ?2 ? 5 【解析】换 元 法 解 一 元 二 次 方 程 的 能 力 。 观 察 方 程 由 方 程 特 点 设 1 ? x ? y , 然 后 整 理 原 方 程 求 解 。 换 元 法 解 方 程 可 将 方 程 化 繁 为 简 ,化 难 为 易 ,是 解 方 程 的 常 用 方 法 之 一 。换 元 法 的 应 用 要 根 据 方 程特点来决定,因此要注意总结能够应用换元法解的方程的特点 .

【例题 4】 【题干】下列四个结论中,正确的是( )

1 x 1 B.方程 x ? ? 1 有两个不相等的实数根 x 1 C.方程 x ? ? 2 有两个不相等的实数根 x 1 D.方程 x ? ? a (其中 a 为常数,且 a ? 2 )有两个不相等的实数根 x

A.方程 x ? ? ?2 有两个不相等的实数根

【答案】D 【解析】此题属于不解一元二次方程,判断(证明)根的情况类型的题目。 把所给方程整理为一元二次方程的一般形式,根据根的判别式判断解的个数即可:

A、整理得: x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 ,△=0,原方程有 2 个相等的实数根,选项错误; B、整理得: x 2 ? x ? 1 ? 0 ,△<0,原方程没有实数根,选项错误; C、整理得: x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 ,△=0,原方程有 2 个相等的实数根,选项错误; D、整理得: x 2 ? ax ? 1 ? 0 ,当 a > 2 时, ? ? a 2 ? 4 ? 0 ,原方程有 2 个不相等的实数根,选项正确.

【例题 5】
8

【题干】 如果关于 x 的一元二次方程 kx 2 ? 2k ? 1x ? 1 ? 0 有两个不相等的实数根, 那么 k 的取值范围是 (



A.k< B.k< 且 k≠0

1 2

1 2

C.﹣ ≤ k < D.﹣ ≤ k < 且 k ≠0

1 2

1 2

1 2

1 2

【答案】D 【解析】解决此题需要从三方面综合考虑,一是由“一元二次方程”知 k≠0,二是由二次根式的意义知 2k +1≥0,三是由原方程有两个不相等的实数根知( 2k ? 1 )2-4k>0,三者缺一不可.同时,本题也是一道易 错题,部分学生会忽视 2k ? 1 这一符号条件下的不等关系而错选为 B.
?( 2k ? 1) 2 ? 4k ? 0, ? 1 1 由题意,得 ?2k ? 1≥0, 解得- ≤ k< 且 k ≠0. 2 2 ?k ? 0. ?

【例题 6】 【题干】已知 m 、n 是方程 x 2 ? 2 2 x ? 1 ? 0 的两根,则代数式 m 2 ? n 2 ? 3mn 的值为 A. 9 B. ? 3 C. 3 D.5

【答案】C 【解析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式、 a 2 的化简.根据一元二次方程根与系 数的关系得: m ? n ? ?2 2 , mn ? 1 .

m 2 ? n 2 ? 3mn =

?m ? n ?2 ? mn =

?? 2 2 ?

2

?1 ? 3

【例题 7】 【题干】如果 x1 , x 2 是方程 x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 的两个根,那么 x1 ? x2 的值为: A.-1 B.2 C. 1 ? 2 D. 1 ? 2

【答案】B 【解析】 本题考查一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 的根与系数关系即韦达定理, 两根之和是 ?

c b ,两根之积是 , a a
9

易求出两根之和是 2.

四、课堂运用
【基础】 1.方程 ? x ? 3?? x ? 1? ? x ? 3 的解是 A. x ? 0 B. x ? 3 ( ) D. x ? 3 或 x ? 0

C. x ? 3 或 x ? ?1

【答案】D 【解析】用因式分解法解一元二次方程的步骤是,把右边的式子移到左边,然后另每一个因式为 0.

2.解方程 3 x 2 ? 2 x ? 1 ? 0

【答案】解:∵ a ? 3, b ? ?2, c ? ?1 ∴ b 2 ? 4ac ? (?2) 2 ? 4 ? 3 ? (?1) ? 16>0 ∴x ?
2 ? 16 2 ? 4 ? 2?3 6

∴ x1 ? 1, x 2 ? ?

1 3

【解析】此题答案用的公式法,也可以用因式分解法,比较简单

3、解方程 x 2 ? 7 x ? 0

10

11

【答案】解: x( x ? 7) ? 0 ∴ x ? 0 ,或 x ? 7 ? 0 ∴ x1 ? 0, x 2 ? ?7 【解析】选择因式分解法较简单

4.解方程 x 2 ? 4 x ? 4 ? 49

【答案】解: ( x ? 2) 2 ? 7 ∴ x ? 5 ? 7 ,或 x ? 5 ? ?7 ∴

x1 ? ?5, x 2 ? 9

【解析】选择直接开平方法较简单

5.若一元二次方程 x 2 ? 2x ? m ? 0 有实数解,则 m 的取值范围是(



A. m ? ?1 B. m ? 1 C.

m ? 4 D. m ?

1 2

【答案】B 【解析】由一元二次方程有实数根,得到根的判别式大于等于 0,列出关于 m 的不等式,求出不等式的解集 即可得到 m 的取值范围: ∵一元二次方程 x 2 ? 2x ? m ? 0 有实数解, ∴△=b2-4ac=22-4m≥0,解得:m≤1。

12

∴m 的取值范围是 m≤1。

2 6.已知一元二次方程: x 2 ? 3 x ? 1 ? 0 的两个根分别是 x1 、 x 2 则 x12 x 2 ? x1 x 2 的值为(



A. ? 3 B. 3 C. ? 6 D. 6

【答案】B

b 【解析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系。ax2+bx+c=0(a≠0), x1+x2= ? , a
2 x1 ? x2 ? 3, x1 x2 ? ?1 , x12 x2 ? x1 x2 ? x1 x2 ( x1 ? x2 ) ? (?1) ? 3 ? ?3

x1x2=

c a

【巩固】 1.一元二次方程 x 2 ? 2 x ? 2 ? 0 的根的情况是( )

A.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根

B.有两个不相等的实数根 D.无实数根

【答案】D 【解析】 x 2 ? 2 x ? 2 ? 0 中,a=1,b=2,c=2, △ ? b 2 ? 4ac ? 22 ? 4 ? 1 ? 2 ? ?4 ? 0 。
x 2 ? 2 x ? 2 ? 0 无实数根。

2.用适当的方法解下列方程 (1) x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 ;

13

解: ( x ? 1)( x ? 3) ? 0 ∴ ∴

x ? 1 ? 0 ,或 x ? 3 ? 0
x1 ? 1, x 2 ? 3

(2) ? x ? 5?? x ? 6 ? ? ?24 ;

解:原方程可化简为
x2 ? x ? 6 ? 0

∴ ∴

x ? 3 ? 0 ,或 x ? 2 ? 0
x1 ? 3, x 2 ? ?2

(3) ? x ? 3? ? 2 x? x ? 3? ? 0
2

14

解: ( x ? 1)( x ? 3) ? 0 ∴ ∴

x ? 1 ? 0 ,或 x ? 3 ? 0
x1 ? 1, x 2 ? 3

2 (4) 6 x ? x ? 2 6 ? 0

解:∵ a ? 6 , b ? ?1, c ? ?2 6 ∴ b 2 ? 4ac ? (?1) 2 ? 4 ? 6 ? (?2 6 ) ? 49>0 ∴x ?

1 ? 49 2? 6

?

1? 7 2 6

∴ x1 ?

2 1 6 , x2 ? ? 6 3 2

【拔高】 1. 若 x 2 ? xy ? y ? 14 , y 2 ? xy ? x ? 28 ,则 x ? y 的值为。

【答案】 x ? y ? ?7, 或x ? y ? 6 【解析】将 两 个 式 子 相 加 得 , x 2 ? 2 xy ? y 2 ? x ? y ? 42

?x ? y ?2 ? ?x ? y ? ? 42 ?x ? y ?2 ? ?x ? y ? ? 42 ? 0
15

设 x ? y ? m , 则 有 m 2 ? m ? 42 ? 0 解 一 元 二 次 方 程 , (m ? 7)(m ? 6) ? 0

m1 ? ?7, m2 ? 6
即 : x ? y ? ?7, 或x ? y ? 6

2. 如果 x 2 ? x ? 1 ? 0 ,那么代数式 x 3 ? 2 x 2 ?7 的值。

【答案】-6 【解析】由 x 2 ? x ? 1 ? 0 可得, x 2 ? 1 ? x

x3 ? 2 x 2 ? 7 ? x ? x2 ? 2x2 ? 7 ? x?1 ? x ? ? 2?1 ? x ? ? 7 ? x ? x2 ? 2 ? 2x ? 7 ? ?x ? 5 ? x2 ? ? x ? 5 ? ?1 ? x ? ? ?x ? 5 ?1? x ? ?6

3.已知关于 x 的一元二次方程 x2+(m+3)x+m+1=0. (1)求证:无论 m 取何值,原方程总有两个不相等的实数根; (2)若 x1、x2 是原方程的两根,且|x1-x2|=2 2 ,求 m 的值和此时方程的两根。

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【答案】 解: (1)证明:由关于 x 的一元二次方程 x2+(m+3)x+m+1=0 得 △=(m+3)2-4(m+1)=(m+1)2+4, ∵无论 m 取何值, (m+1)2+4 恒大于 0, ∴原方程总有两个不相等的实数根。 (2)∵x1,x2 是原方程的两根,∴x1+x2= -(m+3) ,x1?x2=m+1。 ∵|x1-x2|=2 2 , ∴(x1-x2)2=8,即(x1+x2)2-4x1x2=8。 ∴[-(m+3)]2-4(m+1)=8,即 m2+2m-3=0。 解得:m1=-3,m2=1。 当 m=-3 时,原方程化为:x2-2=0,解得:x1= 2 ,x2=- 2 。 当 m=1 时,原方程化为:x2+4x+2=0,解得:x1=-2+ 2 ,x2=-2- 2 。 【解析】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。 (1)根据关于 x 的一元二次方程 x2+(m+3)x+m+1=0 的根的判别式△=b2-4ac 的符号来判定该 方程的根的情况。 (2) 根据根与系数的关系求得 x1+x2 和 x1?x2, 由已知条件|x1-x2|=2 2 平方后可以得到关于 x1+x2 和 x1?x2 的等式,从而列出关于 m 的方程,通过解该方程即可求得 m 的值,最后将 m 值代入原方程并解方程。
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课程小结
1.公式法解一元二次方程 2.因式分解法解一元二次方程 3.一元二次方程根的判别式 4.一元二次方程根与系数的关系 5.根据一元二次方程的根与系数的关系求值常用的转化关系

课后作业
【基础】 1. 如果关于 x 的一元二次方程 x2﹣6x+c=0(c 是常数)没有实根,那么 c 的取值范围是。

【答案】c>9。 【解析】∵关于 x 的一元二次方程 x2﹣6x+c=0(c 是常数)没有实根, ∴△=(﹣6)2﹣4c<0,即 36﹣4c<0,c>9。

2. 方程 (k ? 1) x 2 ? A. k≥1 C. k>1

1? k x ?

1 ? 0 有两个实数根,则 4

k 的取值范围是(

) .

B. k≤1 D. k<1

【答案】D 【解析】主要考查一元二次方程根与系数的关系(根的判别式) ,当 b2-4ac≥时,一元二次方程有两个相等 的实数根,同时不要忽略二次项系数不等于零及二次根式有意义的条件(被开方数为非负数) 。方程
(k ? 1) x 2 ? 1 ? k x ? 1 所以 ? 0 有两个实数根, 4

1 k-1≠0 且, 1-k≥0, (? 1 ? k ) 2 ? 4(k ? 1) ? 0 , k≠1 且 k≤1,所以 k <1. 4
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3. 已知:x1、x2 是一元二次方程 x2+2ax+b=0 的两根,且 x1+x2=3,x1x2=1,则 a、b 的值分别是

A. a =–3,b =1
3 C. a = – ,b =–1 2

B. a =3,b =1
3 D. a = – ,b =1 2

【答案】D 【解析】本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系。

3 x1+x2= –2a=3,a= – ; x1x2=b=1 2

4.已知 m和n是方程2 x 2 ? 5 x ? 3 ? 0 的两根,则

1 1 ? ?. m n

5 【答案】 3 【解析】本题综合考查了一元二次方程根与系数的关系及代数式求值,解题的关键是利用根与系数的关系整 体 代 入 化 简 后 的 待 求 式 . 因 为 m 和 n 是 方 程 2x2-5x-3=0 得 , m+n=
5 3 , mn=- , 所 以 2 2

5 5 1 1 m?n = 2 ?- . ? = 3 3 m n mn 2

【巩固】 1. 在同一坐标系中,直线 y=x+1 与双曲线 y= 1 x 的交点个数为( )

A.0 个

B.1 个

C. 2 个

D.不能确定

【答案】A 【解析】本题考查直线与双曲线的交点问题,曲线上点的坐标与方程的关系,一元二次方程根的判别式。根
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据点在曲线上,点的坐标满足方程的关系,联立 y=x+1 和 y=

1 x

得,x+1=

1 x

,整理,得

x2+x-1=0。
∵△=1+4=5>0,∴x2+x-1=0 有两不相等的实数根。 ∴直线 y=x+1 与双曲线 y= 1 x 有两个交点。故选 A。

2.关于 x 的一元二次方程 x 2 ? 3x ? m ? 1 ? 0 的两个实数根分别为 x1 , x2 . (1)求 m 的取值范围; (2)若 2( x1 ? x2 ) ? x1 x2 ? 10 ? 0 ,求 m 的值.

【答案】解: (1)∵原方程有两个实数根, ∴ ? =9-4(m-1) ? 0 , 解之,得: m ?
13 . 4

(2)由韦达定理,得: x1 +x2 =-3,x1 ? x2 =m-1 , ∴ 2 ? (-3)+(m-1)+10=0 , 解之,得: m=-3 .
20

【解析】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数关系的应用.需要注意的是当题中没有明确两根是 否相等时,应两种可能都要考虑,即△≥0。 (1)因为一元二次方程有两个实数根,所以△≥0,从而解出 m 的取值范围; (2)根据根与系数的关系, 可以用含有 m 的代数式所表示出 ( x1 ? x2 ) 及 x1 x2 ,代入 2( x1 ? x2 ) ? x1 x2 ? 10 ? 0 即可求出 m 的值。

3.设 a , b 是方程 x 2 ? x ? 2013 ? 0 的两个不相等的实数根, a 2 ? 2a ? b 的值.

【答案】2012 【解析】本题主要考查了一元二次方程的韦达定理、根的定义以及初数中整体思想,解决此类题型的关键是 熟悉相关的知识点及初数中常见思想方法. 解:因为 a , b 是方程 x 2 ? x ? 2013 ? 0 的两个不相等的实数根,故由韦达定理得 a + b =-1①,由根的定义 得 a 2 ? a ? 2013 ? 0 ,即 a 2 ? a ? 2013 ②.再由①+②得 a 2 ? 2a ? b ? 2012 .

【拔高】 1. 如果方程 x2+px+q=0 的两个根是 x1,x2,那么 x1+x2=-p,x1·x2=q.请根据以上结论,解决下列 问题: (1)已知关于 x 的方程 x2+mx+n=0 (n≠0),求出一个一元二次方程,使它的两根别是已知方程两根 的倒数; (2)已知 a、b 满足 a2-15a-5=0,b2-15b-5=0,求 + 的值; (3)已知 a、b、c 均为实数,且 a+b+c=0,abc=16,求正数 c 的最小值.
a b b a

21

【答案】 解: (1)设 x2+mx+n=0 (n≠0)的两根为 x1,x2. ∴ x1+x2=-m,x1·x2=n.∴ ∴ 所求一元二次方程为 x2+
x ?x 1 1 1 1 m 1 + = 1 2 =- , · = . x1 x2 x1 x2 x1 x2 n n

mx 1 + =0,即 nx2+mx+1=0. n n

(2)当 a≠b 时,由题意知 a,b 是一元二次方程 x2-15x-5=0 的两根, ∴a+b=15,ab=-5.
a 2 ? b2 (a ? b) 2 ? 2ab 15 ? 2 ? (?5) = = =-47. ab ab ?5 a b ② 当 a=b 时, + =1+1=2. b a

∴ + =

a b

b a

∴ + =-47 或 2. (3)∵a+b+c=0,abc=16,∴a+b=-c,ab= ∴a,b 是方程 x2+cx+
16 . c

a b

b a

16 4 ? 16 =0 的两根.∴△=c2- ≥0. c c

∵c>0,∴c3≥64.∴c≥4.∴c 的最小值为 4. 【解析】此题考查了一元二次方程的根与系数的关系,根的判别式,难度较大.数学新课程标准对一元二次 方程的根与系数的关系并不作高的要求,此题在这种情况下以阅读题的形式命制,为学生铺设好解决问题 所需要的知识和方法,可以有效考查学生的学习能力,灵活应用能力,具有一定的区分度。 (1)首先由材料知道如果一个一元二次方程的两根是 x1, x2, 那么这个方程可以表达为 x2-(x1+x2)x+x1x2 =0,然后根据条件用含 m,n 的式子表示出 x1+x2,x1x2 代入即可.
22

(2)观察发现 a,b 可能相等,也可能不相等.当它们相等时, , 的值都等于 1;当它们不相等时,a, b 可以理解为是关于 x 的方程 x2-15x-5=0 的两个根,然后对 + 通分,利用完全平方公式变形,再整 体代入求解. (3)由 a+b+c=0,abc=16,得 a+b=-c,ab= 的判别式△≥0 构造不等关系求解。
16 ,构造以 a,b 为根的一元二次方程,然后利用根 c a b b a

a b

b a

? ab 2 ? b 2 ? 3a ? 1 ? 2. 设 a ? 2a ? 1 ? 0, b ? 2b ? 1 ? 0 ,且 1 ? ab ? 0 ,则 ? ? =________。 a ? ?
2 4 2
2

5

【答案】 -32 【解析】本题考查了因式分解、根与系数的关系及根的判别式。解题关键是注意 1-ab2≠0 的运用。 因为 a 2 ? 2a ? 1 ? 0, b 4 ? 2b 2 ? 1 ? 0 ,∴ (a 2 ? 2a ? 1) ? (b 4 ? 2b 2 ? 1) ? 0 , 化简得 (a ? b 2 )(a ? b 2 ? 2) =0。若 a ? b 2 ? 2 ? 0 ,即 b 2 ? a ? 2 , 则 1 ? ab 2 ? 1 ? a(a ? 2) ? ?(a 2 ? 2a ? 1) ? 0 ,这与已知条件相矛盾, ∴ a ? b 2 ? 2 ? 0 。∴ a ? b 2 =0,即 b 2 ? ?a 。
? ?a 2 ? a ? 3a ? 1 ? ? (2a ? 1) ? 4a ? 1 ? 6 ∴? ? ?? ? ? ? ?2 ? ? ?32 。 a a ? ? ? ?
5 5

错题总结
错题题号 错题比例 错题原因 错题知识点小结

课堂运用

课后作业

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