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高中数学人教A版选修2—3 期望与方差


1、2
学习目标:

离散型随机变量的期望与方差

1.理解离散型随机变量的期望与方差的概念

2.灵活运用离散型随机变量的期望与方差的公式进行计 算

一、期望 仔细阅读第10页教材,得出期望的概念 定义:一般地,若离散型随机变量 ? 的概率分布为:

?
P

x1 P1 P2

x2

??? ???

xn Pn

??? ???

则称 E? ? x1 p1 ? x2 p2 ? ??? ? xn pn ? ???为? 的数学期望或 平均数、均值,数学期望又简称为期望。它反映了离散 型随机变量取值的平均水平。

期望与分布列的关系:1)期望是建立在分布列的基础上的, ( ? ? xi) 分布列中随机变量 ? 的一切可能值 xi 与对应的概率 p i 的乘积的和就叫做随机变量 ? 的数学期望。 2)离散型随机变量的分布列和期望虽然都是从整体和全局 上刻画随机变量的,但二者大有不同。分布列只给出了随机 变量取所有可能值的概率,而期望却反映了随机变量取值的 平均水平。 二、随机变量函数的期望。(第10页) E (a? ? b) ? aE? ? (其中 b a、b为常数) (1)当a=0时,E(b)=b,即常数的数学期望就是这个常数本身。 (2)当a=1时,E(? +b)=E ?+b,即随机变量 ? 与常数之和的期 望等于 ? 的期望与这个常数的和。 (3)当b=0时,E(a ? )=aE ? ,即常数与随机变量乘积的期望等 于这个常数与随机变量期望的乘积。

三、方差、标准方差的定义。
当已知随机变量?的分布列为( P ? ? xk) ?p ( k ? 1, 2, ???)时,则称 k
2 2 2 D? =(x1 ? E?) p1 ? (x2 ? E?) p2 ? ??? ? (xn ? E?) pn ? ???为?的方差。

?? ? D? ,?? 为?的根方差或标准差。 注:

随机变量?的方差与标准差都反映了随机变量? 取值的稳定与波动, 标准差与随机变量本身有相同的单位。
四、期望与方差的关系。

集中与离散的程度,D? 越小,稳定性越高,波动越小,显然D? ? 0,

方差是随机变量另一个重要的数字特征,它表现了随机变量所 值的相对于它的期望的集中与离散的程度。由方差的定义可知, 方差是建立在期望这一概念之上的。

五、随机变量函数的方差。

D (a? ? b) ? a 2 D?。如果? ~ B (n,p),则D? ? npq 其中q ? 1 ? p。如果随机变量? 服从几何分布, q 且P(? =k)=g(k,p),则D? = 2 。 p
注: ()当 1 a=0时,D(b)=0,即常数的方差等于0。
(2)当a=1时,D(? +b)=D?,即随机变量与常数之和的方差就 等于这个随机变量的方差本身。 (3)当b=0时,D(a?)=a 2 D?,即随机变量与常数之积的方差, 等于这个常数的平方与这个随机变量方差的乘积。

补充题 1、已知随机变量ξ的分布列是 ξ 4 a P 0.3 0.1 9 b 10 0.2 Eξ=7.5,则a=

A)5 B)6 C)7 D)8

解:0.1+0.3+b+0.2=1

b=0.4

4×0.3+a×0.1+9×0.4+10×0.2=7.5 a=7

2、已知随机变量ξ的分布列是 ξ -1 0 1 则Dξ等于 P 0.5 0.3 0.2 A)0.7 B)0.61 C)-0.3 解:Eξ=-0.5+0.2=-0.3 Dξ=0.72×0.5+0.32×0.3+1.32×0.2 =0.61 D)0

3、如果ξ是离散型随机变量,η=3ξ+2,那么 A

A)Eη=3Eξ+2,Dη=9Dξ
B)Eη=3Eξ,Dη=3Dξ+2 C)Eη=3Eξ+2,Dη=9Dξ+4 D)Eη=3Eξ+4,Dη=3Dξ+2 4、设随机变量ξ∽B(n,p),且Eξ=1.6,Dξ=1.28, 则 A)n=8,p=0.2 B)n=4,p=0.4 A C)n=5,p=0.32 D)n=7,p=0.45

解:np=1.6,npq=1.28, q=0.8, p=0.2,n=8

1 5、若随机变量ξ服从几何分布,且P(ξ=k)=g(k, 3 )

又η=2ξ+1,则随机变量η的期望和方差分别是
A) 3,6 B) 7,24 C) 7,25 D) 6,24 选B 解:Eξ=3, Dξ=6 Eη=2Eξ+1=7,Dη=4Dξ=24

6、设ξ为离散型随机变量,则E(Eξ-ξ)等于 A A) 0 B) 1 C) 2 D) 不确定 E(Eξ-ξ)=(Eξ-x1)p1+(Eξ-x2)p2+… = Eξ(p1+p2+…)-(x1p1+x2p2+…)

= Eξ- Eξ=0

步步高例题 例1、袋中有4只红球,3只黑球,今从袋中随机取出4只 球,设取到一只红球得2分,取得一只黑球得1分,试求得 分ξ的数学期望。 解:取出4只球颜色分布情况是: 4红得8分,3红1黑得7分,2红2黑得6分,1红3黑得5分
3 C1 C 4 4 3 P ? ? ? 5? ? ? 4 C7 35 3 1 C4 C3 12 P ? ? ? 7? ? ? 4 C7 35 2 2 C4 C3 18 P ? ? ? 6? ? ? 4 C7 35 0 C4 C 1 4 3 P ? ? ? 8? ? ? 4 C7 35

4 18 12 1 44 ? E? ? 5 ? ? 6 ? ? 7 ? ? 8 ? ? 35 35 35 35 7

例2、设在15个同类型的零件中有两个是次品,每次任 取1个,共取3次,并且每次取出不再放回,若以ξ表示取 出次品的个数,求ξ期望Eξ和方差Dξ。
3 2 C13 C1 C 22 12 2 13 解:P ? ?=0 ? = 3 = P ? ?=1? = 3 = C15 35 C15 35 1 C2 C 1 2 13 P ? ?=2? = 3 = C15 35 22 12 1 2 E? ? 0 ? ? 1 ? ? 2 ? ? 35 35 35 5 2 2 2 2 ? 22 ? 2 ? 12 ? 2? 1 ? D? ? ? 0 ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? 2 ? ? ? 5 ? 35 ? 5 ? 35 ? 5 ? 35 ? 52 ? 175

例3、海关大楼顶端镶有A、B两面大钟,它们的日走时 误差分别为ξ1,ξ2(单位s),其分布如下: 根据这两面 ξ1 -2 -1 0 1 2 大钟日走时 P 0.05 0.05 0.8 0.05 0.05 误差的期望 和方差比较 ξ2 -2 -1 0 1 2 这两面大钟 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 的质量。

D?1 ? ? ?2 ? 0 ? ? 0.05 ? ? ?1 ? 0 ? ? 0.05 ? ? 0 ? 0 ? ? 0.8 ?
2 2 2

解: E?1 ? 0,E?2 ? 0,? E?1 ? E?2
2 2

? 1 ? 0 ? ? 0.05 ? ? 2 ? 0 ? ? 0.05 ? 0.5 2 2 2 D? 2 ? ? ?2 ? 0 ? ? 0.1 ? ? ?1 ? 0 ? ? 0.2 ? ? 0 ? 0 ? ? 0.4 2 2 ? 1 ? 0 ? ? 0.2 ? ? 2 ? 0 ? ? 0.1 ? 1.2 ? D?1 ? D?2
由上可知,A面大钟的质量较好。

方法小结
1.要求能够根据定义写出离散型随机变量的分布列,能够根 据期望和方差的定义求出离散型随机变量的期望和方差. 2.期望反映离散型随机变量的取值的平均水平,方差则反映 离散型随机变量的稳定性.计算期望和方差的目的重在应 用,能够根据实际情况和具体要求,对产品质量等作出估计, 进而作出正确合理的决策. 3.可利用公式计算二项分布,几何分布的期望和方差.


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