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高中数学第二章随机变量及其分布2.1第2课时离散型随机变量及其分布列2学案新人教A版

2.1

第二课时

离散型随机变量及其分布列(2)

1.课时目标 (1) 理解离散型随机变量的分布列的定义与性质; (2) 了解两点分布的定义; (3) 理解超几何分布的定义. 2.基础预探 1. 一般 地,若离散型随机变 量 X 可 能取的不同值为 x1 , x2 ,

, xi ,

xn , X 取 每一个值

xi (i ? 1, 2,
X P

, n) 的概率 P( X ? xi ) ? pi ,以表格形式表示如下:
x1 p1 x2 p2 … … xi pI … … xn pn

这个表格称为离散型随机变量 X 的___________,简称为 X 的___________. (2)X 的分布列从整体上反映了随机变量取各个值的可能性的大小,反映了随机变量取值 的规律性.为了表达简单,也用等式 P( X ? xi ) ? pi , i ? 1, 2, 2.离散型随机变量的分布列的性质 (1) pi ? ____, i ? 1, 2,

, n 表示 X 的分布列.

, n;

(2)

?p
i ?1

n

i

? ______ .

3.如果随机变量 X 的分布列是 X P 分布,而称 p ? P( X ? 1) 为成功概率. 4.在含有 M 件次品的 N 件产品中,任取n件,其中恰有 X 件次品数,则事件 ? X ? k? 发生的 概率为
P( X

0 _____

1 _____

我们称这样的分布为两点分布列.如果随机变量 X 的分布列为两点分布列,就称 X 服从两点

? k ) ? _____, k ? 0,1, 2, , m, 其中 m ? min ?M , n? ,且 n ? N , M ? N , n, M , N ? N * ,
X
0

称分布列 0
CM CN ? M CN
n n?0 1

1
CM CN ? M CN
n n ?1


m


CM CN ? M CN
n n?m

P



为超几何分布列.如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列,则称随机变量 X 服从超几何分 布. 二、学习引领 1.求离散型随机变量的分布列的步骤

(1)首先确定随机变量 X 的取值; (2)分析每个 X 的取值对应的随机事件; (3)求出每个随机事件的概率值; (4)列表对应,得到分布列. 2. 求 P(a ? X ? b) 对应的概率 由于离散型随机变量取的各个可能值对应的事件之间彼此互斥。因此离散型随机变量 在某一范围 a ? X ? b 内取值的概率 P(a ? X ? b) 等于 a ? X ? b 范围内可能取到的各个 X 值对应的概率值之和. 3.两点分布深入理解 两点分布又称 0-1 分布.由于只有两个可能结果的随机试验叫伯努利试验,所以这种 分布还称为伯努利分布.两点分布的应用非常广泛,如抽取的一次彩券是否中奖;买回的一 件产品是否为正品;新生婴儿的性别;投篮一次是否命中等等,都可以用两点分布来研究. 4.超几何分布深入理解 超几何分布是一种常见的离散型随机变量的分布, 它的主要特点是: 给出的随机实验中 的所有的元素仅有两类组成, 然后从中抽取一部分, 求特定分类中元素的个数为n的概率值。 超几何的概率公式,不要死记硬背,应该结合实例,理解其含义,弄清参数 N,M,n, r 之间的关系。其具体含义如下:“给出的N个元素中有一类元素为M个,另外一类N-M
k 个,从一类元素为M个的元素中取出 k 个的概率。”其中 CM 为从一类元素为M个的元素中 n?k n n ? k 个的种数,CN 取出 k 个的种数,CN 为从总 ? M 为从一类元素为N-M个的元素中取出

的N个元素中取出n个元素的种数。 三、典例导析 题型一 概率分布列的性质应用 例 1 下列不能成为离散型随机变量 X 的分布列的是(

).

A. B. C. D. 思路导析:抓住分布列的两条性质:概率值非负、分布列的所有概率值的和为 1,进行判断。 解:选项 A 中 0.5,0.2,0.3,0 都不小于 0,且 0.5+0.2+0.3+0=1,所以选项 A 可以作为随 机变量 X 的分布列.同理,选项 B、D 也可作为随机变量 X 的分布列.而选项 C 中,虽然

1 2 2 1 ? ? ? 1 ,但 x ? 1 对应的概率 ? ? 0 ,不符合性质 pi ? 0 ,所以选项 C 不能成 3 3 3 3 为随机变量 X 的分布列.
有? 方 法 规 律 : 离 散 型 随 机 变 量 具 有 两 条 性 质 : (1) pi ? 0 ( i =1 , 2 , … ,

n );

(2) p1 ? p2 ? 分布列。

? pn ? 1.只要有一条不满足,则此分布列不可能是任何离散型随机变量的

变式训练:已知随机变量 X 的分布列为

X P
则 m 的值为( A.
1 15

1
1 15

2
2 15 4 15

3
m

4
4 15

5
1 3


2 15

B.

C.

1 5

D.

题型二 概率分布列求法 例 2 厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规定 也需随机抽取一定数量的产品做检验,以决定是否接收这批产品.若厂家发给商家 20 件产 品,其中有 3 件不合格,按合同规定该商家从中任取 2 件进行检验,只有 2 件都合格时才接 收这批产品,否则拒收.求该商家可能检验出不合格产品数 X 的分布列。 思路导析:首先,易知检验出不合格产品数可能为 0,1,2,此即为故 X 所有可能的取值;然 后找出 X=0,X=1,X=2 所对应的事件,运用概率知识求得分布列。 解:X 可能的取值为 0,1, 2 , 从而有 P ? X ? 0 ? ?
2 C17 136 , ? 2 C20 190

P ? X ? 1? ?

1 1 C3 C17 51 C32 3 , ? P X ? 2 ? ? ? ? 2 2 C20 190 C20 190

所以 X 的分布列为 X

0
136 190

1

2

P

51 190

3 190

方法规律:求离散型随机变量的分布列,首先要根据具体情况确定随机变量 X 的取值情况, 然后利用排列、组合与概率知识求出 X 取各个值的概率,最后列成表格的形式,故掌握好排 列、组合、基本计数原理知识,是处理分布列的基础和前提。 变式训练:小华在鱼缸中养了 3 条白色、2 条红色和 4 条黑色的金鱼,现从中任取 2 条金鱼 进行观察,每取得一条白色金鱼得 1 分,每取得一条红色金鱼得 2 分,每取得一条黑色金鱼 得 0 分,用 X 表示所得的分数,求 X 的概率分布列。 题型三 超几何分布 例 3 某研究机构准备举办一次数学新课程研讨会,共邀请 50 名一线教师参加,使用不同 版本教材的教师人数如下表所示 版本 人教 A 版 人教 B 版 苏教版 北师大版

人数

20

15

5

10

(1)从这 50 名教师中随机选出 2 名代表发言, 问这 2 人使用相同版本教材的概率是多少? (2)若随机选出的 2 名教师都使用人教版教材,现设使用人教 A 版教材的教师人数为 X, 求随机变量 X 的分布列。 思路导析: (1)2 人使用相同版本教材可能有四种情况,都用人教 A 版、人教 B 版、苏教版、 北师大版,可用古典概型的公式求概率值。 (2)从人教版共 35 人中找出两人,显然,使用 人教版的教师的人数 X 满足超几何分布。 解: (1)2 人所使用版本相同的概率为
2 2 2 C20 ? C15 ? C52 ? C10 350 2 ? ? 。 2 C50 1225 7

(2) 选出的 2 人中使用 A 版教材的教师人数 X 为离散型随机变量, 且 X 服从参数为 N=35, M=20,n=2 的超几何分布,X 可能的取值为 0,1, 2 , 从而有

P( X ? 0) ?

2 1 1 2 C15 C20 C15 C20 3 60 38 , , 。 ? P ( X ? 1) ? ? P ( X ? 2) ? ? 2 2 2 C35 17 C35 119 C35 119

所以,随机变量 ? 的分布列是 X P 0 1 2

3 17

60 119

38 119

方法规律: 判断是否是超几何分布关键是看模型是否满足如下前提: 给出的随机实验中的所 有的元素仅有两类组成,然后从中抽取一部分,求特定分类中元素的个数为n的概率值。 变式训练:某 10 人兴趣小组,其中有 5 名团员,从中任选 4 人参加某项活动,用 X 表示 4 人中的团员人数,求 X 的分布列. 四、随堂练习 1.设某项试验的成功率是失败率的 2 倍,用随机变量 X 去描述 1 次试验的成功次数,则

P( X ? 0) = (
A. 1 B.

) C.

1 2

1 3

D.

1 4

2.设袋中有 80 个红球,20 个白球,若从袋中任取 10 个球,则其中恰有 6 个红球的概率为 ( )
4 6 C80 C10 A. 10 C100 6 4 C80 C10 B. 10 C100 4 6 C80 C20 C. 10 C100 6 4 C80 C20 D. 10 C100

3.已知随机变量 ? 的分布列为

?
P
则 ? 最可能出现的值是 ( ) A. 0.5 B. -1

-1 0.5

0 0.3

1 0.2

C. 0

D. 1

4. 在一个口袋中装有 5 个白球和 3 个黑球,这些球除颜色外完全相同,从中摸出 3 个球, 至少摸到 2 个黑球的概率为______________ 5.某一射手射击所得的环数 ξ 的分布列如下: ξ 4 0.02 5 0.04 6 0.06 7 0.09 8 0.28 9 0.29 10 0.22

P

求此射手“射击一次命中环数≥7”的概率__________________________

6.某马戏团有 9 只动物,其中 4 只猴子,2 只老虎,3 只长颈鹿,现从中选出 3 只动物参加 表演,设 X 为选出的猴子的只数,求 X 的分布列。 能力提高 1.一批产品分为一、二、三级,其中一级品是二级品的两倍,三级品为二级品的一半, 从这批产品中随机抽取一个检验,其级别为随机变量 ? ,则 P ( ? ? ? A.

1 3

5 ) ?( 3
D.



1 7

B.

2 7

C.

3 7

4 7

2.在 15 个村庄中,有 7 个村庄交通不太方便,现从中任意选 10 个村庄,用 X 表示 10 个村 庄中交通不方便的村庄数,下列概率中等于 A P(X=2) B P(X≤2) ,C
4 6 C7 C8 的是( 10 C15

)

P(X=4)

D.P(X≤4)

3.设离散型随机变量 ? 的分布列为 P(? ? k ) ? 么 n 的值为

1 (k ? 1, 2, n

, n) ,如果 P(? ? 4) ? 0.3 ,那

4. 若随机变量 ? 只取两个值 x1 和 x2 ,并且 ? 取 x1 的概率是它取 x2 概率的 4 倍,则 ? 的分 布列是

5.某电视台举办一个短信有奖竞答,四首经典老歌,将原唱者的序号编辑成短信发送至信 息台,每位原唱者只对应一首老歌,观众每答对一个得 4 分,答错得-1 分。假如甲知道其

中一首歌的原唱者,另外 3 首歌,甲随意作答,他得分记作 X,求 X 的所有可能取值及 X 的 分布列。 .

6.从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛, 设随机变量 ? 表示所选 3 人中女生的人数., 求(1)求随机变量 ? 的分布列. (2)“所选 3 人中女生人数 ? ? 1 ”的概率.

参考答案 2.1 第二课时 离散型随机变量及其分布列(2) 2.基础预探 1.概率分布列 三、典例导析 例 1 变式训练 答案:C 答案: :因为 分布列 2. 0

1

3. 1-p



4.

CM CN ? M CN
n

k

n?k

1 2 4 1 1 ? ? m ? ? ? 1 ,解得 m= ,故选C. 5 15 15 15 3

例 2 变式训练 解:由题意知,X 的可能取值为 0,1, 2,3, 4 。 因为 P( X ? 0) ?
2 C4 1 ? , 2 C9 6

1 1 1 1 C4 C3 1 C32 ? C4 C2 11 P( X ? 1) ? 2 ? , P( X ? 2) ? ? , 2 C9 3 C9 36 1 1 2 C3 C2 1 C2 1 , P( X ? 3) ? 2 ? P( X ? 4) ? 2 ? C9 6 C9 36

所以 X 的概率分布列为

?

0

1

2

3

4

P

1 6

1 3

11 36

1 6

1 36

例 3 变式训练 解析:X 的可能取值为 0、1、2、3、4.

P( X ? 0) ?

1 3 C50C54 C5 C5 1 5 ? P ( X ? 1) ? ? ; ; 4 4 C10 C10 42 21

3 1 C52C52 10 C5 C 5 P( X ? 2) ? ? ; P( X ? 3) ? 4 5 ? ; 4 C10 C 21 21 10

P( X ? 4) ?

C54C50 1 ? . 4 C10 42
1 2 3 4

所以 X 的分布列为 X P 0

1 42

5 21

10 21

5 21

1 42

四、随堂练习 1.答案:C 解析:用“ X ? 0 ”表示试验失败,“ X ? 1 ”表示试验成功,设失败的概率为 p ,成功 的概率为 2 p ,则 ? 的分布列为 X P 0 1

p

2p

由 p ? 2 p ? 1 ,则 p ? 2.答案:D

1 ,因此选 C. 3
6 4 C80 C20 。 10 C100

解析:取出红球的个数 X 服从参数 N=100,M=80,n=10,所以 P( X ? 6) ? 3.答案:B

解析:因为 P(? ? ?1) ? 0.5 的概率值最大,故 ? 最可能出现的值是-1。 4.答案:

2 7

1 3 C32C5 ? C3 2 解析:这是一个超几何分布问题,至少摸到 2 个黑球的概率等于 P ? = 3 7. C8

5.答案:0.88

解析:根据射手射击所得的环数 ξ 的分布列,有 P(ξ =7)=0.09,P(ξ =8)=0.28,P(ξ =9)=0.29,P(ξ =10)=0.22. 所求的概率为 P(ξ ≥7)=0.09+0.28+0.29+0.22=0.88. 6.解:根据题意,选出的猴子的只数 X 为离散型随机变量,且 X 服从参数为 N=9,M=4,n=3 的超几何分布,它的可能取值为 0,1,2,3 所以 P(? ? 0) ?

C3 5 5 ? , 3 C9 42

2 C1 10 4 C5 P(? ? 1) ? 3 ? , C9 21

P(? ? 2) ?

1 C2 5 4 C5 ? , 3 C9 14

P(? ? 3) ?

C3 1 4 ? . 3 C9 21

? 的分布列为:

?
P

0

1

2

3

5 42

10 21

5 14

1 21

能力提高 1.答案:D 解析:设二级品有 k 个,所以 一级品有 2 k 个,三级品有

k 7 个,总数为 k 个。 2 2

所以分布列为

1 5 4 P( ? ? ? ) ? P(? ? 1) ? 3 3 7
2.答案:C
4 6 C7 C8 解析:随机变量 X 服从参数为 N=15,M=7,n=10 的超几何分布,故有 P(X=4)= . 10 C15

3.答案:10 解析:因为 P(? ? k ) ?

1 (k ? 1, 2,3, n

, n) ,所以

P(? ? 4) ? P(? ? 1) ? P(? ? 2) ? P(? ? 3) ?
4. 答案:

3 ? 0.3 ,所以 n ? 10 n

?
P

x1
4 5

x2
1 5

解析:由题意 P(? ? x1 ) ? 4P(? ? x2 ) ,而 P(? ? x1 ) ? P(? ? x2 ) ? 1, 所以 P (? ? x2 ) ? 5.解:若甲只答对其中的一首,则其余三首都错,此时 X=4-3=1 若甲答对其中的两首,则其余两首都错,此时 X=8-2=6 若甲答全答对 ,则 X=16 故 X 的所有可能取值为 1,6,16。
1 1 C3 C2 1 1 1 1 , P(? ? 6) ? 3 ? , P(? ? 16) ? 3 ? P(? ? 1) ? 3 ? A3 6 A3 3 A3 2

1 5

所以其分布列为

?
P

1

6

16

1 3

1 2

1 6
k 3? k C2 C4 , k ? 0, 1, 2 。 3 C6

6.解: (1) ? 可能取的值为 0,1,2。 所以, ? 的分布列为

P(? ? k ) ?

?
P

0

1

2

1 5

3 5

1 5

(2) “所选 3 人中女生人数 ? ? 1 ”的概率为 P(? ? 1) ? P(? ? 0) ? P(? ? 1) ?

4 5




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